結(jié)合稀疏逼近的正則化方法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問題

在利用邊界結(jié)點(diǎn)法（BKM）通過徑向基函數(shù)和Laplace算子、重調(diào)和算子的基本解的線性組合來表示問題的解時(shí)，需利用已知的一部分邊界上的邊界條件來推導(dǎo)該線性組合中的待定系數(shù)，該過程涉及求解超定線性方程組，由于邊界條件給得不充分，Cauchy問題的解不唯一，故需要用正則化方法來得到逼近解析解的結(jié)果，我們選擇使用稀疏逼近正則化方法（又稱lp約束正則化方法），該方法能很好地解決Cauchy問題的不適定性，能很好地反演出跳躍較大的參數(shù)部分。本文針對(duì)若干具有光滑邊界或分段光滑邊界的數(shù)值算例，驗(yàn)證了該方法的有效性，而且所得的數(shù)值計(jì)算結(jié)果關(guān)于噪聲是準(zhǔn)確的并隨已知數(shù)據(jù)噪聲的減小而收斂。

稀疏逼近正則化Cauchy問題一、引言

二維雙調(diào)和方程在很多實(shí)際問題中需要用到。但是實(shí)際的工程應(yīng)用中，已知的邊界條件可能不完整或者不準(zhǔn)確，這樣的問題就是反問題，一般來說反問題是不適定的。本文研究的Cauchy問題就是一種反問題，因而在求解過程中，用基本解方法得到的最小二乘問題的解是不唯一的，需要通過使用正則化方法提高原問題數(shù)值求解的準(zhǔn)確度。

用基本解方法求解齊次雙調(diào)和方程會(huì)導(dǎo)致離散的Cauchy問題的線性方程不是滿秩的或是超定的，其解的適定性存在問題，故本文將使用稀疏逼近的正則化方法來求解離散方程組，以避免直接求解非齊次方程時(shí)會(huì)出現(xiàn)的不確定性。

傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法是將線性反問題

并選擇二次罰項(xiàng)，以使得近似解具有光滑性。本文選擇的稀疏逼近正則化方法，即Φ（x）=x1，同時(shí)借助稀疏逼近的優(yōu)勢(shì)，在減少結(jié)點(diǎn)數(shù)目的同時(shí)，仍得到較好的結(jié)果。

若該問題有解，則在求解過程中會(huì)出現(xiàn)病態(tài)的線性方程組，方程組不滿秩或者是超定的且條件數(shù)很大。本文使用結(jié)合稀疏逼近的正則化方法的邊界結(jié)點(diǎn)法求解滿足邊界條件（5）的雙調(diào)和方程（3）或（4）。

五、總結(jié)

本文使用稀疏逼近正則化方法結(jié)合邊界結(jié)點(diǎn)法求解非齊次雙調(diào)和方程的Cauchy問題，從數(shù)值試驗(yàn)的結(jié)果可以看出，這是可行的。并且從以上算例中可以看出，在對(duì)源點(diǎn)數(shù)、結(jié)點(diǎn)數(shù)和內(nèi)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系，以及源點(diǎn)到邊界的距離作[3]中的要求的情況下，計(jì)算結(jié)果與[3]類似，但是精度更高。結(jié)果是較準(zhǔn)確的，且在該范圍內(nèi)，誤差非常小，即使所取點(diǎn)數(shù)較多，計(jì)算時(shí)間仍然較少。當(dāng)邊界條件有較小噪聲時(shí)，計(jì)算結(jié)果仍然是穩(wěn)定的，且隨噪聲的減小而收斂。

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