游走在垂線與垂面之間

王芳

從高中最核心的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法出發(fā)，探討數(shù)學(xué)智慧.

幾何法和向量法是求解立體幾何問(wèn)題的兩大方法.向量法側(cè)重于量化和計(jì)算，其本質(zhì)是把幾何問(wèn)題代數(shù)化.幾何法則更能體現(xiàn)立體幾何的真正韻味——通過(guò)縝密的推理和演繹，體味空間想象的魅力.接下來(lái)，我們將從幾何法入手，通過(guò)對(duì)一張重要知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的解讀，領(lǐng)略立體幾何那交織著邏輯與想象的別樣風(fēng)景.

重中之重是垂線

高中階段，立體幾何模塊的絕大部分知識(shí)都是圍繞著“平行”與“垂直”這兩種特殊的位置關(guān)系展開(kāi)的.圖1基本囊括了求解高中立體幾何問(wèn)題所需的定理或定義.

① “線∥線→線∥面”即線面平行的判定定理： 平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行.

② “線∥面→線∥線”即線面平行的性質(zhì)定理： 一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

③ “線∥面→面∥面”即面面平行的判定定理： 一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

④ “面∥面→線∥面”即線面平行的定義： 如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線都平行于另一個(gè)平面.

⑤ “線⊥線→線⊥面”即線面垂直的判定定理： 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

⑥ “線⊥面→線⊥線”即線面垂直的定義： 一條直線垂直于一個(gè)平面，則該直線與該平面內(nèi)所有直線都垂直.

⑦ “線⊥面→面⊥面”即面面垂直的判定定理： 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

⑧ “面⊥面→線⊥面”即面面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

⑨ “線⊥面→線∥線”即線面垂直的性質(zhì)定理： 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

⑩ “線∥線→線⊥面”： 兩條平行線中的一條垂直于某個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

？輥？輯？訛 “面∥面→線⊥面”： 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則該直線也垂直于另一個(gè)平面.

？輥？輰？訛 “線⊥面→面∥面”： 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

從圖1可以看出，“線面垂直”知識(shí)處于該知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的核心地位，是聯(lián)系其他立體幾何知識(shí)的“交通要道”.

“線面垂直”的相關(guān)定理、定義不僅廣泛應(yīng)用于立體幾何證明題，也大量出現(xiàn)在立體幾何計(jì)算題中.

如圖2所示，要求直線l與平面α所成角∠PAO的大小，必然要用到垂線PO.在圖3中，要求二面角α-l-β的平面角∠PAO的大小，還是不能回避垂線PO.可見(jiàn)，無(wú)論是求空間角還是距離，“垂線”在立體幾何計(jì)算題中都有著舉足輕重的地位，可謂是一“垂”定音.

然而，相較于平行關(guān)系，垂直關(guān)系顯得更難判斷一些.

如圖4所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，我們不難看出BC1∥平面AB1D1、平面AB1D1∥平面BC1D，卻很難察覺(jué)出A1C⊥BC1、 A1C⊥平面AB1D1.

那么，能否找到一種有效的方法，快捷、準(zhǔn)確地得到垂線或垂面呢？

發(fā)生在垂線與垂面之間的視覺(jué)游戲

我們回顧圖1中⑦和⑧所示的兩條定理.

⑦ “線⊥面→面⊥面”即面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

這告訴我們：經(jīng)由垂線，可以“生長(zhǎng)”出無(wú)數(shù)個(gè)過(guò)這條垂線的平面，它們都與已知平面垂直.簡(jiǎn)言之，“有垂線的地方就有垂面”.

⑧ “面⊥面→線⊥面”即面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

這告訴我們：“有垂面的地方就有垂線”.

這兩條定理把垂線與垂面緊緊地捆綁在一起.

現(xiàn)在，讓我們玩一個(gè)類(lèi)似“擊鼓傳花”的游戲，以“垂線→垂面→垂線→垂面→……”的形式不斷傳遞 （見(jiàn)圖5），直至得到所需的結(jié)論.

傳遞①： 已知PA⊥平面ABC？圯平面PAB⊥平面ABC.

傳遞②： 增加條件“BC⊥AB”，因?yàn)槠矫鍼AB∩平面ABC=AB，由平面PAB⊥平面ABC？圯BC⊥平面PAB.

傳遞③： BC⊥平面PAB？圯平面PBC⊥平面PAB.

傳遞④： 增加條件“AD⊥PB于D”，因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAB=PB，故由平面PBC⊥平面PAB？圯AD⊥平面PBC.

傳遞⑤： 聯(lián)結(jié)DC，由 AD⊥平面PBC？圯平面ADC⊥平面PBC.

傳遞⑥： 增加條件“BE⊥DC于E”，因?yàn)槠矫鍭DC∩平面PBC=DC，而B(niǎo)E⊥DC，故由平面ADC⊥平面PBC？圯BE⊥平面ADC.

通過(guò)上述傳遞，我們發(fā)現(xiàn)了一條顯著規(guī)律：垂線、垂面是交替出現(xiàn)的，即由平面α上的垂線l1可以確定該平面的垂面β，而由垂面α，β又能得到其中一個(gè)垂面的垂線l2.

在傳遞中，盡管垂線l1或垂面α是固定的，但由此延伸出的垂面β或垂線l2卻不是唯一的.

所有過(guò)平面α的垂線l1的平面均為平面α的垂面，即一條垂線可以引出一系列過(guò)該垂線的垂面.

如圖6所示，在傳遞①中，只要在BC上任取一點(diǎn)M，就能得到平面PAM⊥平面ABC.如圖7所示，在傳遞⑤中，只要在PC上任取一點(diǎn)N，就能得到平面ADN⊥平面PBC.

同樣的，一條交線可以分別在兩個(gè)垂面內(nèi)延伸出“一排”垂線.

如圖8所示，在傳遞②中，若在交線AB上任取一點(diǎn)Q，在平面ABC內(nèi)作QT⊥AB，就有QT⊥平面PAB.同理，若在平面PAB內(nèi)作QS⊥AB，就有QS⊥平面ABC.

盡管我們可以根據(jù)“垂線、垂面是交替出現(xiàn)的”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)以上“游戲”找出足夠多的垂線和垂面，但在具體解題時(shí)，我們應(yīng)優(yōu)先考慮通過(guò)傳遞，從題中現(xiàn)成的線或面中尋找垂直于已知垂面的垂線或過(guò)已知垂線的垂面，并嘗試?yán)盟鼈兘忸}.若這些現(xiàn)成的線或面不適用于解題，再考慮利用作輔助線等手段尋找合適的垂線或垂面來(lái)解題.

通過(guò)傳遞，從題中現(xiàn)成的線或面中尋找垂直于已知垂面的垂線或過(guò)已知垂線的垂面，并嘗試?yán)盟鼈兘忸}.若這些現(xiàn)成的線或面不適合用來(lái)解題，再考慮通過(guò)作輔助線等手段尋找合適的垂線或垂面來(lái)解題.解題中的運(yùn)用

如圖9所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形.已知BD=2AD=8，AB=2DC=4■.

（1） 設(shè)M是PC上任意一點(diǎn)，求證：平面MBD⊥平面PAD；

根據(jù)“有垂面的地方就有垂線”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，條件“平面PAD⊥平面ABCD”意味著在這兩個(gè)平面中，必定能找到垂直于交線AD的直線.

根據(jù)“有垂線的地方就有垂面”這條經(jīng)驗(yàn)，可由BD？奐平面MBD得到平面MBD⊥平面PAD.

【練一練】

如圖12所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在面ABC上的投影H必在

（A） 直線AB上 （B） 直線BC上

（C） 直線AC上 （D） △ABC內(nèi)部

【參考答案】

A （要求C1在面ABC上的投影H的位置，就是要尋找平面ABC上過(guò)點(diǎn)C1的垂線的垂足.若能找到過(guò)點(diǎn)C1且垂直于平面ABC的平面，過(guò)點(diǎn)C1作兩平面交線的垂線，即可得垂足.

由∠BAC=90°可得AC⊥AB，又AC⊥BC1，而B(niǎo)C1∩AB=B，故AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1，交線為AB.

因?yàn)镃1∈平面ABC1，所以C1在平面ABC上的投影H必在交線AB上）