在函數(shù)零點問題中求解參數(shù)范圍

楊作義 王芳

“根據(jù)函數(shù)零點的情況，討論參數(shù)的范圍”是高考考查的重點和難點.對于這類問題，我們既可以利用零點定理求解，也可以利用數(shù)形結(jié)合思想求解.

利用零點定理求解參數(shù)范圍

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且滿足f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0.這就是零點定理.

對于在高中階段常遇到的問題：“已知連續(xù)函數(shù)y=f（x）在[a，b]上單調(diào)，且在（a，b）上存在一個零點，求參數(shù)范圍”，可用f（a）·f（b）<0求解.

例1 [2012年高考數(shù)學(xué)天津卷（理科）第4題改編] 已知函數(shù)f（x）=2x+x3-a （a∈R）在區(qū)間（0，1）上存在一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解： 觀察可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，又f（x）在區(qū)間（0，1）上存在一個零點，故f（0）·f（1）<0，整理得（1-a）（3-a）<0，解得1

利用數(shù)形結(jié)合思想求解參數(shù)范圍

如果函數(shù)F（x）可以轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)g（x），h（x）之差的形式，那么F（x）的零點問題就可以看作函數(shù)g（x），h（x）圖象的交點問題，函數(shù)F（x）的零點就是函數(shù)g（x），h（x）圖象交點的橫坐標(biāo).同樣的，方程F（x）=g（x）-h（x）=0的實數(shù)根問題，實質(zhì)也是F（x）的零點問題，也可以看作函數(shù)g（x），h（x）圖象的交點問題.因此，對于含參函數(shù)F（x）=g（x）-h（x），我們可以利用數(shù)形結(jié)合思想作出g（x），h（x）的圖象，并根據(jù)兩圖象的交點情況求解參數(shù)范圍.

例2 [2011年高考數(shù)學(xué)北京卷（理科）第13題] 已知函數(shù)f（x）=■，x≥2；（x-1）3，x<2.若關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是 .

解： 當(dāng)x≥2時， f（x）=■，此時f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，且0

當(dāng)x<2時， f（x）=（x-1）3，此時f（x）過點（1，0）與（0，-1），且在（-∞，2）上單調(diào)遞增.當(dāng)x→2時， f（x）→1.

如圖1所示，作出函數(shù)y=f（x）的圖象.關(guān)于x的方程f（x）=k有兩個不等的實根即y=f（x）的圖象與直線y=k有兩個交點，故當(dāng)且僅當(dāng)0

在例2中，根據(jù)f（x）的表達(dá)式，我們能很容易地確定其單調(diào)性、極值等，故可直接作出f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.在作圖時，要注意利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)，標(biāo)出函數(shù)的零點、極值、最值等要素，盡量把圖象畫準(zhǔn)確，避免誤判.

例3 [2013年高考數(shù)學(xué)北京卷（文科）第18題第（2）問] 已知函數(shù)f（x）=x2+xsinx+cosx.若曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同的交點，求實數(shù)b的取值范圍.

解： f′（x）=2x+xcosx+sinx-sinx=x（2+cosx）.因為2+cosx>0，所以當(dāng)x>0時， f′（x）>0， f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時， f′（x）<0， f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減.當(dāng)x=0時， f（x）min = f（0）=1.

如圖2所示，作出函數(shù)f（x）的草圖.因為曲線y=f（x）與直線y=b有兩個不同的交點，故實數(shù)b的取值范圍是（1，+∞）.

在例3中，函數(shù)f（x）形式復(fù)雜，直接作出其圖象有困難，因此可以先通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出大致圖象，再觀察f（x）的圖象與直線y=b的圖象的交點.通過平移直線y=b確定交點個數(shù)，即可求得參數(shù)范圍.

例4 [2013年高考數(shù)學(xué)陜西卷（理科）第21題第（2）問] 已知函數(shù)f（x）=ex （x>0），討論曲線y=f（x）與曲線y=mx2 （m>0）公共點的個數(shù).

解： 曲線y=f（x）與曲線y=mx2 （m>0）公共點的個數(shù)就是函數(shù)h（x）=ex-mx2 （x>0）的零點個數(shù)，也即方程ex=mx2 （x>0）的實數(shù)根的個數(shù).

整理得m=■ （x>0），令g（x）=■，則g′（x）=■=■.當(dāng)x∈（0，2）時，g′（x）<0，g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，+∞）時，g′（x）>0，g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）min=g（2）=■.又當(dāng)x→0時，g（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時，g（x）→+∞.

如圖3所示，作出g（x）=■ （x>0）的圖象與直線y=m （m>0）的圖象.當(dāng)m∈0，■時，直線y=m與曲線g（x）無交點，即曲線y=f（x）與曲線y=mx2 （m>0）無公共點；同理可得，當(dāng)m=■時，曲線y=f（x）與曲線y=mx2 （m>0）有1個公共點.當(dāng)m∈■，+∞時，曲線y=f（x）與曲線y=mx2 （m>0）有2個公共點.

在例4中，直接根據(jù)含參二次函數(shù)y=mx2（m>0）與曲線f（x）=ex（x>0）的圖象討論它們的交點個數(shù)和參數(shù)m的取值之間的關(guān)系，比較難判斷.由于兩曲線的公共點的個數(shù)就是函數(shù)h（x）=ex-mx2 （x>0）的零點個數(shù)，所以可以通過討論函數(shù)h（x）的零點和參數(shù)的關(guān)系來求得結(jié)果.但是求導(dǎo)后算式復(fù)雜，零點很難確定，這條路走不通.而函數(shù)h（x）=ex-mx2的零點就是方程ex=mx2的實數(shù)根，因此我們考慮利用參數(shù)分離法，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠓匠蘭=■的實數(shù)根個數(shù)的問題，討論直線y=m與曲線g（x）=■的交點情況，這樣就相對便利了.

【練一練】

（1） 已知函數(shù)f（x）=mx2-2x+1有且僅有一個正實數(shù)的零點，則實數(shù)m的取值范圍是

（A） （-∞，1] （B） （-∞，0]∪{1}

（C） （-∞，0）∪（0，1] （D） （-∞，1）

（2） 已知函數(shù)f（x）=x3-3x2-9x+3，若函數(shù)g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有3個零點，求實數(shù)m的取值范圍.

【參考答案】

（1） B （當(dāng)m=0時， f（x）=-2x+1，函數(shù)零點為x=■，滿足題意. 當(dāng)m≠0時，若Δ=（-2）2-4m=0，則m=1，由此可得唯一零點x=1，滿足題意. 若Δ>0，則函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個不同的交點.因為f（0）=1，所以x=0不是函數(shù)的零點.此時若函數(shù)f（x）的圖象開口向上，則兩個零點必定同為正或同為負(fù)，不合題意；只有當(dāng)f（x）的圖象開口向下時，兩個零點一正一負(fù)，符合題意.因此有Δ=（-2）2-4m>0，m<0.解得m<0.綜上可得m∈（-∞，0]∪{1}）

（2） 解： f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3），其圖象為開口向上的二次圖象，零點為x1=-1，x2=3. 結(jié)合[-2，5]可得，當(dāng)x∈[-2，-1）∪（3，5]時， f′（x）>0；當(dāng)x∈（-1，3）時， f′（x）<0. 所以函數(shù)f（x）在[-2，-1）和（3，5]上單調(diào)遞增，在（-1，3）上單調(diào)遞減.

故f（x）極小值=f（3）=24， f（x）極大值=f（-1）=8，且 f（-2）=1， f（5）=8.

如圖4所示，作出函數(shù)f（x）的大致圖象，要使函數(shù)g（x）=f（x）-m在[-2，5]上有3個零點，只要使函數(shù)f（x）在[-2，5]上的圖象與直線y=m有3個交點即可.

由圖4可知，當(dāng)m∈[8，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m至多有2個交點；當(dāng)m∈[1，8）時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m有3個交點；當(dāng)m∈（-24，1）時，有2個交點；當(dāng)m∈（-∞，-24]時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=m至多有1個交點.故m∈[1，8）.