在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想

葉建平

摘 要： 數(shù)形結(jié)合在教學(xué)及生產(chǎn)生活實踐中有著廣泛的應(yīng)用，通過這一重要的方法，諸多數(shù)學(xué)問題成功地得到了解決。數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中一個重要的數(shù)學(xué)思想，作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最重要的一個環(huán)節(jié)，它貫穿于教學(xué)的始終。

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 培養(yǎng)能力

數(shù)形結(jié)合思想主要是指利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化來解決各類實際問題[1]。一是借助幾何圖形的性質(zhì)使得抽象的數(shù)式問題變得形象和直觀，得到意想不到的解題思路和解題方法；二是把某些幾何圖形問題通過聯(lián)想轉(zhuǎn)化成為數(shù)式問題，得到較簡便的解題方法。所以數(shù)形結(jié)合實際上是把直觀而具體的圖形與抽象而復(fù)雜的數(shù)式結(jié)合，使形象與抽象的兩種思維結(jié)合，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化、圖形認識培養(yǎng)學(xué)生形象、靈活的思維，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化、抽象問題形象化的過程。

一、由數(shù)式聯(lián)想到圖形，進行數(shù)形結(jié)合，通過圖形解決數(shù)式的問題。

有機的數(shù)形結(jié)合，能夠把化抽象的問題為具體，化復(fù)雜的問題為簡單。

1.利用數(shù)軸來闡述絕對值、相反數(shù)這類有關(guān)概念，以及有理數(shù)的四則運算等[2]。數(shù)軸是一種重要的工具，借助數(shù)軸能夠直觀體現(xiàn)許多數(shù)學(xué)問題，也能夠展示數(shù)形結(jié)合思想。因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理引入數(shù)軸幫助學(xué)生掌握相反意義概念，了解絕對值、相反數(shù)的內(nèi)涵，全面掌握比較有理數(shù)大小方式，深刻理解有理數(shù)運算意義法則等，進而圓滿完成教學(xué)任務(wù)。如圖①：已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的點如圖，借助數(shù)軸很容易找出表示-a和-b的點，從而順利地比較出a、b、-a、-b之間的大小關(guān)系。

圖①

2.通過幾何圖形推導(dǎo)出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。

3.巧借函數(shù)的圖像求解函數(shù)題目的最值問題。如點P點在x軸上，點A（-2，3），B（3，1）在x軸的同一側(cè)，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如圖②，先找到B點關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，則PA+PB最小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出P點的坐標，而AB′的長度則是PA+PB的最小值；如圖③，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點P，則PA-PB最小，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出P點的坐標，而AB的長度則是PA+PB的最小值。此外還可以探究當點A、B在x軸的兩側(cè)的情況。

圖② 圖③

二、由圖形聯(lián)想到數(shù)式數(shù)形結(jié)合，用數(shù)式來解決圖形的問題。

此類問題的解決關(guān)鍵就是利用數(shù)式的精確性來表明圖形的一些屬性；把圖形的信息轉(zhuǎn)化成代數(shù)的信息，通過數(shù)量特征將圖形問題進而轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決。這在初中數(shù)學(xué)中運用較多，如：

1.用數(shù)量來表示角度大小和線段長短，并進行相應(yīng)大小長短的比較。

2.用有序?qū)崝?shù)對表示在平面直角坐標系內(nèi)的點的位置。

3.用數(shù)式來描述點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系[3]。

三、巧用數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)合情推理。

1.通過直觀的幾何圖形求解代數(shù)問題能夠激發(fā)學(xué)生思維、誘發(fā)直覺判斷，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，進行大膽的假設(shè)推理，從而形成合情推理，進而培養(yǎng)出合情推理的習(xí)慣。

如華東師大版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級上冊第80頁第25題，我們從圖④中可看出第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈……（以此類推）。①第一層的圓圈個數(shù)為1=1 ；②前兩層的圓圈個數(shù)總和為1+3=4=2 ；③前三層的圓圈個數(shù)總和為1+3+5=9=3 ；④前四層的圓圈個數(shù)總和為1+3+5+7=16=4 ……（以此類推）由此可歸納出前n層圓圈個數(shù)和為1+3+5+（2n-1）=n.數(shù)形結(jié)合，直觀明了。

圖④

2.借助幾何圖形解決復(fù)雜的代數(shù)問題。在一些情況中，許多表面上看起來復(fù)雜錯綜的應(yīng)用題，其實我們只需要把其中所涵蓋的各項條件逐一拆分開來，通過數(shù)形結(jié)合思想把它們對應(yīng)的示意圖畫出，就能立即使復(fù)雜的應(yīng)用題變得淺顯易懂。如利用勾股定理求取代數(shù)式的最值問題：請構(gòu)圖求出代數(shù)式 的最小值。如圖⑤，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，當點C滿足在AE上時，AC+CE的值最小。若設(shè)CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，則AE就是所求的代數(shù)式 的最小值。

圖⑤

四、在運用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)注意的問題。

由于綜合運用題并不是單純的由數(shù)式聯(lián)想圖形或者由圖形形聯(lián)想數(shù)式的問題，因此利用數(shù)形結(jié)合解有關(guān)的問題時要注意以下幾個問題。

1.數(shù)與形進行轉(zhuǎn)化要求前后一致；

2.用數(shù)的精確性準確的來表示圖形的一類特征；

3.把數(shù)轉(zhuǎn)化成形時要注意考慮圖形的涉及各種情形。因為有些數(shù)學(xué)問題相對的圖形如果不具有唯一性，就要求根據(jù)特定的情況作出相對應(yīng)的圖形，才能討論進而求解。

總之，我們應(yīng)當在教學(xué)實踐中科學(xué)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生綜合分析和解決問題的能力，把數(shù)形結(jié)合思想作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)所必需的基礎(chǔ)工具，利用幾何圖形、數(shù)軸、坐標系等，結(jié)合相關(guān)教材習(xí)題內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生，并使他們在實踐中養(yǎng)成反思的習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，全面提升教學(xué)水平。

參考文獻：

[1]黃家超. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法[J]. 教育教學(xué)論壇， 2011， 30： 035.

[2]楊華江. 活躍的 “數(shù)軸”[J]. 數(shù)理天地（初中版）， 2007， 6： 014.

[3]李明， 張銳. 構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究， 2012， 31（2）： 67-67.