談圓錐曲線中的方程思想

蘇金鳳

數(shù)學(xué)思想方法是在一定的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法的基礎(chǔ)上形成的數(shù)學(xué)意識和方略，它對理解、掌握、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，解決數(shù)學(xué)問題能起到促進(jìn)和深化的作用.圓錐曲線是解析幾何乃至高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)思想方法的重要載體，方程的思想方法在圓錐曲線中有著廣泛的應(yīng)用.

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，對于一些形式上看是以非方程的問題出現(xiàn)時(shí)，但經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)變換或構(gòu)造，使這一非方程問題轉(zhuǎn)化為方程形式并應(yīng)用方程的有關(guān)性質(zhì)處理這一問題，進(jìn)而使數(shù)學(xué)問題得到很好的解決，這一思想方法稱之為“方程的思想方法”.

我們知道，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，而解析法就是借助于坐標(biāo)用代數(shù)方法解決幾何問題的方法.由于圓錐曲線都和方程存在一一對應(yīng)關(guān)系即圓錐曲線上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)是其方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，因此可以把許多圓錐曲線問題用解方程或利用方程的性質(zhì)來解決.如圓錐曲線定義應(yīng)用問題，圓錐曲線幾何性質(zhì)問題，求方程問題，關(guān)于交點(diǎn)及弦長問題等，都可拋開具體曲線而從方程入手加以解決.

一、關(guān)于圓錐曲線的定義應(yīng)用問題

圓錐曲線是滿足條件的動點(diǎn)的軌道，由定義可得到動點(diǎn)所滿足的條件，而將此條件用坐標(biāo)表示后即得圓錐曲線方程，曲線上任一點(diǎn)都滿足曲線方程，從而可拋開具體幾何圖形，用方程的思想方法著手解決一些問題.

例如：已知橢圓■+■=1上一點(diǎn)到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，求此點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離.

解此題需按橢圓的定義列出方程，解方程得此題結(jié)果為7，關(guān)鍵在于按定義列出方程.

二、關(guān)于圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題

橢圓、雙曲線、拋物線的簡單幾何性質(zhì)均為可拋開具體圓形，而只對其方程進(jìn)行研究得到，如橢圓的幾何性質(zhì)如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線等可直接從方程■+■=1（a>b>0）得到，雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)同樣從其方程可得到.在有關(guān)圓錐曲線性質(zhì)問題中，只要按其性質(zhì)列出方程即可求解.

例如，已知橢圓■+■=1和雙曲線■+■=1有公共焦點(diǎn)，求雙曲線的漸近線方程.

此題用方程的思想方法求解.注意到雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，漸近線為y=±■，橢圓焦點(diǎn)也在x軸上，只需由已知列方程：C■=3m2-5n2=2m2+3n2=C■解得■=■，所以漸進(jìn)線方程是y=±■.

三、關(guān)于求方程問題

求曲線方程是圓錐曲線部分一種重要題型，所用方法一般有待定系數(shù)法、定義法、直譯法，相關(guān)點(diǎn)法.前兩種方法多用于能確定動點(diǎn)軌跡類型時(shí)，由型定方程，由已知定參數(shù)，后兩種方法多用于有直接或間接等量關(guān)系時(shí)，按等量關(guān)系列出方程從而可求出方程.

例如：雙曲線上有動點(diǎn)■-y2=1是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，求△PF1F2的重心M的軌跡方程.

此題中M點(diǎn)的運(yùn)動受到P點(diǎn)的制約，而P點(diǎn)在已知曲線上運(yùn)動，所以只要找到從M點(diǎn)的坐標(biāo)和P點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，將P點(diǎn)的坐標(biāo)用M點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來，即找到M點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，代入已知曲線方程問題就容易解決了.

四、關(guān)于交點(diǎn)及弦長的問題

對于直線與圓錐曲線交點(diǎn)及弦的問題，往往用直線方程與圓錐曲線聯(lián)立得出方程組，若無解，則直線與曲線無交點(diǎn)，若有一解，則直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，若有兩解則直線與曲線有兩交點(diǎn).而交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與方程組消去y所得關(guān)于x的方程的解相等，縱坐標(biāo)與方程組消去元x所得關(guān)于y的方程的解相等.若所得一元二次方程，判別式適用、韋達(dá)定理適用，則“設(shè)而不求”是解交點(diǎn)及弦長問題中常用的方法.“不求”不代表“不用”，用什么呢？主要是用方程的根與系數(shù)的關(guān)系，直線斜率與方程的根之間的關(guān)系，及相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)之間關(guān)系.

例如：點(diǎn)M（1，1）位于橢圓■+■=1內(nèi)部，過點(diǎn)M的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A、B，且M為線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程及 的值.

此題是求弦所在直線方程和弦長的題目，考慮到A、B兩點(diǎn)在橢圓上，設(shè)A（x1，x2），B（y1，y2）代入橢圓方程成立，作差可出現(xiàn)含 x1+x2，x1-x2，y1+y2，y1-y2的等式，而■為直線的斜率，又M為線段AB中點(diǎn)，即有x1+x2=2，y1+y2=2，從而直線的點(diǎn)斜式方程易得.在求弦長AB時(shí)，A、B為直線與橢圓的交點(diǎn)，從而A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為直線方程與橢圓方程消去y得關(guān)于x的一元二次方程的兩根，從而由韋達(dá)定理可得x1+x2，x1x2的值，再由弦長公式AB=■可得AB的值.

由以上可見，方程的思想方法在圓錐曲線中比較重要，只有熟悉圓錐曲線的相關(guān)基礎(chǔ)知識與方法，才能抓住相等關(guān)系，列出方程或構(gòu)造方程，自如地運(yùn)用方程思想解決圓錐曲線問題.

（作者單位 陜西省榆林第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)）