如何妙學(xué)垂徑定理

李朝碧

摘 要：學(xué)習(xí)任何知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性是最重要的。學(xué)習(xí)某種定理首先要理解，隨后巧妙記憶，最后加以運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：垂徑定理；積極性；理解；記憶；運(yùn)用

學(xué)好垂徑定理是學(xué)好圓的關(guān)鍵，對農(nóng)村學(xué)生來說，要學(xué)好垂徑定理，所花費(fèi)的時(shí)間和精力就要比別人多得多。他們不能通過大量的資料查找，只能仔細(xì)地觀察生活，從生活中提煉有關(guān)垂徑定理的知識(shí)，并用于指導(dǎo)他們學(xué)會(huì)更好地生活。通過多次的學(xué)習(xí)與交流，我總結(jié)出了農(nóng)村學(xué)生學(xué)好垂徑定理的小小妙招。

一、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性

觀察現(xiàn)實(shí)生活中與垂徑定理有關(guān)的事物，組織編題，并提問，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓他們愿意思考，勇于探索。例如，某地（當(dāng)?shù)氐孛┯幸皇皹蚴菆A弧形，正常水位下水面寬是50 m，水面到橋拱的距離為12 m，每年端午節(jié)可能漲水，漲水時(shí)，水面到拱橋的距離不能低于2 m，否則就要采取應(yīng)急措施，如果今年漲水時(shí)水面寬為25 m，請問是否要采取應(yīng)急措施。這是學(xué)生生活中可能會(huì)遇到的問題，所以許多學(xué)生都會(huì)思考到底用什么知識(shí)來解答。遇到這樣的問題可以讓學(xué)生積極地交流、討論。經(jīng)過討論，學(xué)生得出好幾種實(shí)用的解決辦法。

比如，（1）在拱橋中央用一根2 m長的竹竿去測。（2）在拱橋中央吊一根2 m的繩索去測，繩索接近水面的一端固定重物。學(xué)生各抒己見，與此同時(shí)我們要考慮拱橋足夠高時(shí)又該怎么辦，因此我也和學(xué)生交流一下我的方法（可以利用這個(gè)理論知識(shí)解決半徑足夠長時(shí)的圓的問題）：要求當(dāng)漲水時(shí)，水面寬為25 m時(shí)是否采取應(yīng)急措施，只要求出橋拱到水面的距離。當(dāng)這距離小于25 m時(shí)，則無需采取應(yīng)急措施，因此只有求出橋拱的半徑R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)式解求R。解：不需要采取應(yīng)急措施。設(shè)橋拱的半徑為R，則：R-（R-12）=25，解得R=32。當(dāng)拱橋與水面距離為2 m時(shí)，水面寬應(yīng)為2×32-（32-2）=24。∵25>24∴當(dāng)水面寬為25 m時(shí)，水面與橋拱距離大于2 m，無需采取應(yīng)急措施。

二、引導(dǎo)學(xué)生正確理解垂徑定理

垂徑定理是由圓具有對稱性引申而來的。講解垂徑定理要先讓學(xué)生復(fù)習(xí)弦、弧、直徑、軸對稱圖形的性質(zhì)，特別是對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線段。由對稱軸垂直平分對應(yīng)點(diǎn)的連線段引申到弦、弧、直徑的關(guān)系。具體操作如下：①在紙上畫一圓，標(biāo)明直徑AB；②沿AB對折，在兩半圓上任找一重合點(diǎn)記為C與D；③打開，連接C、D；④把AB和CD的交點(diǎn)記作E，圓心記為O，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可知AB垂直平分CD，通過實(shí)際操作得AC與AD重合，BC與BD重合，CE與DE重合，由此可得出：若AB是直徑，且AB⊥CD，則AC=AD，BC=BD，CE=DE。描述為：垂直于弦的直徑平分弦所對的兩?。▋?yōu)弧和劣?。?。題設(shè)：圓的直徑垂直于弦。結(jié)論：弦被直徑平分，弦所對的兩條弧也被平分。

三、巧妙記憶，推出垂徑定理的推論

垂徑定理包含五點(diǎn)內(nèi)容：①過圓心的直徑；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎Φ牧踊?。其中任取兩個(gè)作為題設(shè)，另外三個(gè)作為結(jié)論都是成立的。例如，已知平分于弦的直徑，垂直于弦并且平分于弦所對的優(yōu)弧和劣弧。

四、運(yùn)用所學(xué)解決問題

在運(yùn)用垂徑定理解決問題時(shí)，我們往往會(huì)發(fā)現(xiàn)：

1.圖形在變化，因此我們就必須掌握它有哪些變式？

①求平行弦之間的距離（弦在直徑的同側(cè)或異側(cè)）。例如，把兩根很直的木棍平行放在簸箕里，已知木棍的長度分別是1.2 m和0.8 m，而簸箕的半徑為1 m。問：這兩根木棍之間的距離是多少？這是現(xiàn)實(shí)生活中同學(xué)們常見的兩樣?xùn)|西，所以他們會(huì)很快想出有兩種方法，把簸箕看成一個(gè)圓。一種方法是把木棍放在直徑的同側(cè)；另一種是放在直徑的兩側(cè)。方法想出后，請同學(xué)把實(shí)際問題抽象化，求出兩根木棍間的距離。本題容易忽略第二種方法，本題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的分類討論思想，由于圓是軸對稱圖形，涉及圓內(nèi)兩平行弦的幾何問題，在解題時(shí)一定要考慮全面，分類求解不能漏解。②垂徑定理往往要與勾股定理結(jié)合。作圖時(shí)常常要構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理計(jì)算。

2.解題時(shí)，還需作輔助線，那就需要提供正確的添加輔助線的位置。

（作者單位 貴州省仁懷市火石崗中學(xué)）