一道幾何競(jìng)賽題的多種證法

廖如舟

2006年第57屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克有一道平面幾何題為：

設(shè)M為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為△ABM的外接圓上 （不含點(diǎn)M）的中點(diǎn)， 點(diǎn)Q為△AMC的外接圓上 （不含點(diǎn)M）的中點(diǎn)，求證：AM⊥PQ。

本文整理學(xué)生的解答，給出另外八個(gè)不同的且頗具特色的證明。

證法1 設(shè)△ABM的外心與△AMC的外心分別為O1與O2，顯然，直線PO1與PO2交于△ABC的外心O，而M為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC。分別過O1、O2作BC的垂線，垂足分別為K、L，則K、L分別為AM、MC的中點(diǎn)，所以，KM=ML，不難知道，KM=OO1sinB，ML=OO2sinC，于是，由KM=ML及正弦定理，并注意∠AMB +∠CMA=180，我們得到：

。

因此，PQ∥O1O2，而O1O2⊥AM，故AM⊥PQ。

證法2 考慮△ABC與△MQP，顯然，分別過M、Q、P作BC、CA、AB的垂線， 這三條垂線交于△ABC的外心O，由正交三角形定理，分別過A、B、C作QP、PM、MQ的垂線， 則所作三條垂線也交于一點(diǎn)或互相平行。注意MP、MQ分別平分∠AMB和∠CMA，于是，在射線MA上取一點(diǎn)N，使MN=MB，則MP⊥BM，MQ⊥CN，所以，AN⊥PQ，即AM⊥PQ。

證法3 設(shè)PM與AB交于K，QM與AC交于L， 容易知道，△APK∽△KPM， △PBM∽△AKM，所以，PA2 = PMPK，PMKM=MAMB于是，

PM2PA2 = PM2PKPM=PMKM = MAMB。

同理，QM2QA2 =MAMC，而MB=MB，所以，PM2PA2 =QM2QA2。故AM⊥PQ。

證法4 設(shè)△ABM與△AMC的外心分別為O1、O2，則AM⊥O1O2， PO1⊥AB， PO2⊥AC，于是，設(shè)PO1與PO2交于O，則∠OO1O2 = ∠BAM，∠O1O2O =∠MAC，由正弦定理，

。

所以，PQ∥O1O2，而O1O2⊥AM，故AM⊥PQ。

證法5 設(shè)△ABM與△AMC的外心分別為O1、O2，以A為位似旋轉(zhuǎn)中心作位似旋轉(zhuǎn)變換，使O1→B，則O2→C，O1O2的中點(diǎn)N→BC的中點(diǎn)M， 所以，∠AMN =∠ACO2， 而∠CO2Q=∠CMA，O2Q⊥AC，因此MN⊥BC，于是，直線PO1、QO2、MN三線交于ΔABC的外心O。注意OM⊥BC，OQ⊥AC，O1O2⊥AM， 所以， ∠O2ON =∠ACM， ∠NO2O =∠MAC， 從而△O1NO∽△AMC，于是， 。同理， ，兩式相乘，并注意O1N = NO2即得 ，所以，PQ∥O1O2，而O1O2⊥AM，故AM⊥PQ。

證法6 設(shè)AB、AC的中點(diǎn)分別為E、F，則PE⊥AB，QF⊥AC，因M為BC的中點(diǎn)，所以，AE= FM，AF= EM，∠AFM = 180 ∠MEA，而∠PAE = ∠AMB = ∠AQC =∠AQF，因此△PAE∽△AQF，所以 。又∠PAQ = 90 + ∠EAF = 90° + ∠AFM = ∠PEM， 于是△PAQ∽△PEM， 從而∠QPA = ∠MPE， 進(jìn)而∠MPQ = ∠EPA， 但∠AMP = ∠PMB = ∠PAE， PE⊥AE，故AM⊥PQ。

證法7 因P為AB弧的中點(diǎn)，所以，PB = PA，以P為旋轉(zhuǎn)中心作旋轉(zhuǎn)變換， 使A→B，設(shè)Q→Q′，則BQ′= AQ = CQ，BQ′與AQ的交角等于∠BPA，而∠AQC =∠AMB =180°∠BPA，即AQ與CQ的交角也等于∠BPA，所以，BQ′∥QC，即BQ′ QC，又M為BC的中點(diǎn)，因此，Q、M、Q′三點(diǎn)共線，且M為QQ′的中點(diǎn)。 另一方面，因△PAB∽△PQQ′，所以，∠PAB =∠PQQ′，于是，∠MPQ = ∠PAB， 而∠AMP=∠ABP=∠PAB，∠PAB+ ∠PAB=90°，所以，∠AMP + ∠MPQ = 90°，故AM⊥PQ。

證法8 以M為反演中心、MA為反演半徑作反演變換，則B、C皆為自反點(diǎn)， 直線AM為自反直線。設(shè)A的反點(diǎn)為A′，則A′在直線AM上，且△ABM的外接圓的反形為直線A′B，△AMC的外接圓的反形為直線A′C，點(diǎn)P的反點(diǎn)P′為直線PM與A′B的交點(diǎn)，點(diǎn)Q的反點(diǎn)Q′為直線QM與A′C的交點(diǎn)，直線PQ的反形為△MP′Q′的外接圓。因MP、MQ分別平分∠AMB和∠CMA， 所以， MP′⊥MQ′， 且

。

從而P′Q′∥BC。設(shè)A′M與P′Q′交于N，因M是BC的中點(diǎn)， 所以， N是P′Q′的中點(diǎn)。再注意MP′⊥MQ′即知N為ΔMP′Q′的外心，這說明直線A′M與△MP′Q′的外接圓正交，因此，AM與PQ正交，故AM⊥PQ。