數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中滲透的思考和設(shè)計(jì)

林錳　柴艷有

【摘要】本文從自身的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)， 強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲入數(shù)學(xué)文化的重要性，介紹了數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中如何滲透，以及可以采取哪些辦法將數(shù)學(xué)文化滲入微積分的教學(xué)，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的基本概念和基本思想方法之余，領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)、體會(huì)數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)的艱辛、明了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、感受數(shù)學(xué)的美，了解相關(guān)微積分概念的發(fā)展歷史， 微積分對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)以及微積分與其他學(xué)科的關(guān)系等數(shù)學(xué)文化知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】微積分 數(shù)學(xué)文化教學(xué) 教學(xué) 滲透

【中圖分類號(hào)】O172 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）05-0134-02

1.引 言

眾所周知，我們國(guó)家是一個(gè)數(shù)學(xué)大國(guó)，也是一個(gè)數(shù)學(xué)古國(guó)，早在2000多年前，我們祖先就有“周三經(jīng)一”的思想，也就是今天人們講的圓周率π，而西方國(guó)家到了17世紀(jì)才有這樣的概念，陳景潤(rùn)關(guān)于“哥德巴赫猜想”的卓越工作，令世界震驚。然而，從數(shù)學(xué)的公眾形象談起，在大多數(shù)公眾的心目中是一堆數(shù)字和公式，抽象、深?yuàn)W甚至神秘，而對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值也不甚了了。

數(shù)學(xué)的這種公眾形象從發(fā)展現(xiàn)代教育與科學(xué)的角度看是堪憂的。微積分學(xué)更是大學(xué)中作為工具的基礎(chǔ)課程之一， 是關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)， 對(duì)于在大學(xué)就讀的學(xué)生來講，在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)的文化精神、數(shù)學(xué)的思維方法，都是學(xué)生們潛在的一種工具，對(duì)于現(xiàn)代化社會(huì)而言，數(shù)學(xué)素質(zhì)應(yīng)該是公民所必須具備的一種基本素質(zhì).所以，將數(shù)學(xué)文化融入微積分教學(xué)中，不僅僅是為了學(xué)生在大一學(xué)習(xí)中能在了解數(shù)學(xué)文化的背景下掌握大學(xué)必修工具學(xué)科的知識(shí)，也是為了切實(shí)地將我國(guó)的教育提高到現(xiàn)代的先進(jìn)的水準(zhǔn)，使人們樹立起正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，具有十分重要的意義。

2.數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中滲透的意義

微積分學(xué)是高等院校的教學(xué)中一門傳統(tǒng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，它不僅為學(xué)習(xí)工科類專業(yè)和經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的知識(shí)提供了必要的工具，更能培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生的精密思維能力，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去思考專業(yè)問題。

但傳統(tǒng)的微積分教學(xué)重視的是數(shù)學(xué)抽象性、邏輯性、系統(tǒng)性，注重定理的論證、公式的推導(dǎo)和解題的演練，而忽視了數(shù)學(xué)的文化層面，由于其本身抽象性等原因， 這樣給不少學(xué)生留下了數(shù)學(xué)課枯燥的印象，因而失去學(xué)習(xí)微積分的熱情與興趣。筆者通過十幾年的“微積分”課程教學(xué)實(shí)踐和幾年的“數(shù)學(xué)文化”課程教學(xué)感受，深切體會(huì)到在微積分教學(xué)中適時(shí)恰當(dāng)?shù)娜谌霐?shù)學(xué)文化元素，不僅能讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想方法對(duì)人類文明的貢獻(xiàn)、體會(huì)數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)的艱辛、明了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、感受數(shù)學(xué)的美等等，也能讓學(xué)生在定理、公式的證明過程中，不單單死記硬背而是掌握理解的思想方法，既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，又可以最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 ，從而達(dá)到相對(duì)最佳教學(xué)效果。

3.數(shù)學(xué)文化在微積分教學(xué)中滲透的內(nèi)容

3.1揭示微積分中數(shù)學(xué)語(yǔ)言的文化背景，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解

微積分學(xué)中的很多概念，既可以用常用語(yǔ)言表述，也可以用“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”來表述，例如在數(shù)列{xn}的極限概念中，■xn=A的定義，用一般語(yǔ)言描述為為“當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列xn與定數(shù)A無限的接近，要多近有多近”，另一種更精確的描述為“對(duì)任意給定的ε>0，總可以找到N∈Z+，使得當(dāng)n>N時(shí)，總有|xn-A|<ε。后者就是所謂的”數(shù)學(xué)語(yǔ)言，即“ε-N”語(yǔ)言，同時(shí)還有類似的“ε-δ”語(yǔ)言等等，這些都是一種簡(jiǎn)約、抽象的科學(xué)語(yǔ)言，它作為數(shù)學(xué)思維的載體是進(jìn)行有效數(shù)學(xué)交流的前提。

在微積分教學(xué)中， 我們幾乎處處可見數(shù)學(xué)語(yǔ)言，但若是在知識(shí)的傳授和應(yīng)用中忽視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的產(chǎn)生背景和其內(nèi)涵的討論，會(huì)造成一些學(xué)生只能對(duì)其“死記硬背”，甚至對(duì)其產(chǎn)生一定的誤解，同時(shí)感受到微積分概念的枯燥和抽象。

如果我們?cè)谥v授概念的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的同時(shí)，介紹其產(chǎn)生的背景， 指出真理被發(fā)現(xiàn)的艱辛常常是多少代人共同努力的結(jié)果，這樣才能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的特征有所認(rèn)識(shí)。例如，在講授上述極限概念的“ε-N”等語(yǔ)言中，我們同時(shí)講述微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具幾乎在十七世紀(jì)同一時(shí)期，為牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)立微積分學(xué)的初期，由于當(dāng)時(shí)微積分的理論基礎(chǔ)非常薄弱，常常有不能自圓其說的情況。不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因此，它遭到了當(dāng)時(shí)不少人的猛烈抨擊，如貝克萊等。數(shù)學(xué)史上將其稱為“貝克萊悖論”，直白的講，就是“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個(gè)矛盾。這一問題的提出在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。后由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步，使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化，再后來，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”語(yǔ)言。

3.2 融入微積分中豐富的史料，感受數(shù)學(xué)文化的理性精神

微積分作為伴隨著人類文明的發(fā)展而發(fā)展的工具，從公元前五世紀(jì)無窮小概念的萌芽到十七世紀(jì)牛頓、萊布尼茲最終建立微積分，再到十九世紀(jì)極限概念的最終確立，經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河，所以，在微積分教學(xué)中，可以適時(shí)適當(dāng)?shù)剡x取關(guān)于介紹數(shù)學(xué)發(fā)展的數(shù)學(xué)文化以豐富教學(xué)。例如，牛頓的老師巴羅在對(duì)無窮小分析中已察覺到切線問題與求積問題的互逆關(guān)系，但執(zhí)著于幾何思維妨礙他進(jìn)一步逼近微積分的基本定理。 雖然牛頓，萊布尼茲創(chuàng)立微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就， 但其中也存在邏輯上的問題，在這一時(shí)期除去貝克萊之外，還有一個(gè)比薩大學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教授格蘭弟（Grandi），他在級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散含混不清的情況下，提出了一個(gè)怪論叫作“從虛無到創(chuàng)造萬有”，來攻擊微積分學(xué)中的無窮級(jí)數(shù)。在柯西的努力下，才使連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上?？挛髦?，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù)。1892年，另一個(gè)數(shù)學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實(shí)數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。

也正是很多帶著批判眼光的學(xué)者的“怪論”才使如牛頓、柯西、傅里葉、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等很多的數(shù)學(xué)家能在自己各自領(lǐng)域上潛心研究，從而有了我們今天較為完善的微積分學(xué)。在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。通過將其穿插融入微積分教學(xué)中，不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，而且在使學(xué)生緩解聽課疲勞的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)家們平凡而偉大的人格魅力，以及對(duì)數(shù)學(xué)執(zhí)著的追求精神，并從中獲得鼓舞和激勵(lì)，在學(xué)習(xí)中正確對(duì)待自己遇到的各種困難，培養(yǎng)勇于進(jìn)取、堅(jiān)忍不拔的拼搏精神。

3.3 探索生活中的教學(xué)素材，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美

數(shù)學(xué)有三個(gè)層面：一個(gè)層面就是公式定理， 像勾股定理、 求根公式等等。第二個(gè)層面就是思想， 就是我們公理化思想， 數(shù)形結(jié)合、 函數(shù)思想等等。 還有一個(gè)層次就是文化價(jià)值。數(shù)學(xué)有好的數(shù)學(xué)，有價(jià)值的數(shù)學(xué)， 有意義的數(shù)學(xué)， 這是一種看法。

數(shù)學(xué)文化的價(jià)值不僅在于知識(shí)本身，而且在于它的應(yīng)用價(jià)值，從這個(gè)角度講，數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)是數(shù)學(xué)學(xué)科與數(shù)學(xué)文化結(jié)合的最佳點(diǎn)。因此，教師應(yīng)將學(xué)生的生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)合起來，讓學(xué)生熟知、親近的生活進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂，在解決實(shí)際問題過程中培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。例如，在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的教學(xué)中，可以讓學(xué)生思考將熟悉的生活情境抽象成最值問題，如“用鐵皮做成一個(gè)容積一定的容器， 問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)，才能使用料最??？”。

又如，在講微分方程時(shí)，可以舉例如下：“熊熊的烈火錘煉著一把刀具，想把刀具拿出來放在實(shí)驗(yàn)室，假設(shè)實(shí)驗(yàn)室的室溫是攝氏24°，當(dāng)時(shí)，刀具的溫度是150°，10分鐘后刀具的溫度是100°，那么20分鐘后刀具的溫度是多少度呢？” 并給出給出數(shù)學(xué)模型是：

■=-k（u-uα）

其中u為刀具在t時(shí)的溫度，k>0為一個(gè)常數(shù)，uα為室溫，解這個(gè)方程可以算出20分鐘后刀具的溫度是64°。

這使教學(xué)變得生動(dòng)有趣，這不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能培養(yǎng)他們?cè)诮鉀Q問題過程中學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)解釋生活中的現(xiàn)象，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

4.總結(jié)

如果把數(shù)學(xué)看成僅僅是邏輯， 僅僅是形式，僅僅是思想的體操，那么我們就是很少注意文化的層面，而在微積分的教學(xué)活動(dòng)滲入數(shù)學(xué)文化， 就是為了使學(xué)生對(duì)作為工具基礎(chǔ)學(xué)科的微積分課程有一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系和與生活中的聯(lián)系有一個(gè)基本的認(rèn)同和體會(huì)， 同時(shí)，也是為了使得微積分課堂中再也不是以往單一枯燥的“定理、公式、習(xí)題……”等基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是通過“介紹定義定理的發(fā)現(xiàn)者、背景分析”，使學(xué)生了解微積分學(xué)中一些概念產(chǎn)生的始末，以及賴以生長(zhǎng)的“土壤”，以豐富學(xué)生對(duì)其的感性體驗(yàn)；還通過講一段“數(shù)學(xué)故事、數(shù)學(xué)家逸事”，使數(shù)學(xué)知識(shí)折射出人類的意志和智慧的光芒，使學(xué)生在感動(dòng)、開心之余更好地理解掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；也就是使微積分教學(xué)更有親和力. 在同學(xué)們對(duì)其興趣倍感增加之后， 再進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的嚴(yán)格訓(xùn)練， 才能起到事半功倍的效果， 才能使學(xué)生在輕松愉悅之后更好地理解和思考微積分思想的真諦。

總之，在微積分教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，就是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化和人類文明的整合，搞清楚數(shù)學(xué)的文化背景，搞清楚數(shù)學(xué)成就的文化價(jià)值，把數(shù)學(xué)的結(jié)果的文化品位發(fā)掘出來， 用文化的視野來看數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的眼光來看文化， 發(fā)展現(xiàn)代數(shù)學(xué)， 弘揚(yáng)世界的文化。

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