函數(shù)對稱性的探究

史廷波

函數(shù)是中學數(shù)學教學的主線，是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，也是整個高中數(shù)學的基礎。函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關系不僅廣泛存在于數(shù)學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，本文通過函數(shù)自身的對稱性和不同函數(shù)之間的對稱性這兩個方面來探討函數(shù)與對稱有關的性質(zhì)。

一、函數(shù)自身的對稱性探究

定理1.函數(shù)y=f（x）的圖像關于點A（a，b）對稱的充要條件是

f（x）+f（2a-x）=2b

證明：（必要性）設點P（x，y）是y=f（x）圖像上任一點，∵點P（x，y）關于點A（a，b）的對稱點P‘（2a-x，2b-y）也在y=f（x）圖像上，∴2b-y=f（2a-x）

即y+f（2a-x）=2b故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得證。

（充分性）設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0）

∵f（x）+f（2a-x）=2b∴f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。

故點P‘（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）圖像上，而點P與點P‘關于點A（a，b）對稱，充分性得征。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關于原點O對稱的充要條件是f（x）+f（-x）=0

定理2.函數(shù)y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱的充要條件是

f（a+x）=f（a-x）即f（x）=f（2a-x）

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像關于y軸對稱的充要條件是f（x）=f（-x）

定理3.①若函數(shù)y=f（x）圖像同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。

②若函數(shù)y=f（x）圖像同時關于直線x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2|a-b|是其一個周期。

③若函數(shù)y=f（x）圖像既關于點A（a，c）成中心對稱又關于直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期。

以下給出③的證明：

∵函數(shù)y=f（x）圖像既關于點A（a，c）成中心對稱，

∴f（x）+f（2a-x）=2c，用2b-x代x得：

f（2b-x）+f[2a-（2b-x）]=2c………………（*）

又∵函數(shù)y=f（x）圖像直線x=b成軸對稱，

∴f（2b-x）=f（x）代入（*）得：

f（x）=2c-f[2（a-b）+x]…………（**），用2（a-b）-x代x得

f[2（a-b）+x]=2c-f[4（a-b）+x]代入（**）得：

f（x）=f[4（a-b）+x]，故y=f（x）是周期函數(shù)，且4|a-b|是其一個周期

二、不同函數(shù)對稱性的探究

定理4.函數(shù)y=f（x）與y=2b-f（2a-x）的圖像關于點A（a，b）成中心對稱。

定理5.①函數(shù)y=f（x）與y=f（2a-x）的圖像關于直線x=a成軸對稱。

②函數(shù)y=f（x）與a-x=f（a-y）的圖像關于直線x+y=a成軸對稱。

③函數(shù)y=f（x）與x-a=f（y+a）的圖像關于直線x-y=a成軸對稱。

現(xiàn)證定理5中的③

設點P（x0，y0）是y=f（x）圖像上任一點，則y0=f（x0）。記點P（x，y）關于直線x-y=a的軸對稱點為P‘（x1，y1），則x1=a+y0，y1=x0-a，∴x0=a+y1，y0=x1-a代入y0=f（x0）之中得x1-a=f（a+y1）∴點P‘（x1，y1）在函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上。

同理可證：函數(shù)x-a=f（y+a）的圖像上任一點關于直線x-y=a的軸對稱點也在函數(shù)y=f（x）的圖像上。故定理5中的③成立。

推論：函數(shù)y=f（x）的圖像與x=f（y）的圖像關于直線x=y成軸對稱。

三、函數(shù)對稱性應用舉例

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f（10+x）為偶函數(shù)，且f（5-x）=f（5+x），則f（x）一定是（ ）

（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) （B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

（C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f（10+x）為偶函數(shù)，∴f（10+x）=f（10-x）.

∴f（x）有兩條對稱軸x=5與x=10，因此f（x）是以10為其一個周期的周期函數(shù)，∴x=0即y軸也是f（x）的對稱軸，因此f（x）還是一個偶函數(shù)。

故選（A）

例2：設定義域為R的函數(shù)y=f（x）、y=g（x）都有反函數(shù)，并且f（x-1）和g-1（x-2）函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱，若g（5）=1999，那么f（4）=（ ）。

（A）1999；（B）2000；（C）2001；（D）2002。

解：∵y=f（x-1）和y=g-1（x-2）函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱，

∴y=g-1（x-2）反函數(shù)是y=f（x-1），而y=g-1（x-2）的反函數(shù)是：y=2+g（x），∴f（x-1）=2+g（x），∴有f（5-1）=2+g（5）=2001

故f（4）=2001，應選（C）

例3.設f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（1+x）=f（1-x），當-1≤x≤0時，

f（x）=- x，則f（8.6）=_________

解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)∴x=0是y=f（x）對稱軸；

又∵f（1+x）=f（1-x）∴x=1也是y=f（x）對稱軸。故y=f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，∴f（8.6）=f（8+0.6）=f（0.6）=f（-0.6）=0.3

例4.函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）

解：函數(shù)y=sin（2x+ ）的圖像的所有對稱軸的方程是

∴x= -π，顯然取k=1時的對稱軸方程是x=- 故選（A）

例5.設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當0≤x≤1時，f（x）=x，則f（7.5）=（ ）

（A）0.5 （B）-0.5 （C）1.5 （D）-1.5

解：∵y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；

又∵f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），∴直線x=1是y=f（x）對稱軸，故y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)。

∴f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5故選（B）

（作者單位：貴州省道真縣道真中學數(shù)學組）