裂縫性頁巖氣藏水平井產(chǎn)能預測模型

徐兵祥，李相方，HAGHIGHI Manouchehr，張 磊，龔 崛，葛濤濤

(1.中海油研究總院新能源研究中心，北京100027;2.中國石油大學石油工程學院，北京102249;3.阿德萊德大學澳大利亞石油學院，SA5005)

頁巖氣商業(yè)化開發(fā)主要依賴于水平井鉆井技術和多級壓裂工藝的發(fā)展［1-3］。復雜的完井方式與頁巖低孔低滲、含吸附氣等特點使頁巖氣產(chǎn)氣規(guī)律呈現(xiàn)新的特點:長期非穩(wěn)態(tài)流動［4-5］;線性流動［6-7］;解吸氣對產(chǎn)量貢獻。因此常規(guī)遞減曲線［8-11］已不適合頁巖氣藏。頁巖氣滲流模型的發(fā)展經(jīng)歷了由徑向流模型［12-13］向線性流模型［14-21］的轉變，線性流模型也由最初僅考慮壓裂區(qū)產(chǎn)量貢獻的SRV模型［14-18］到綜合考慮壓裂區(qū)和未壓裂區(qū)產(chǎn)量貢獻的復合氣藏模型［19-21］。目前該復合氣藏模型假設未壓裂區(qū)為單孔系統(tǒng)，未考慮可能存在的天然裂縫的影響。筆者基于未壓裂區(qū)雙重孔隙特點，建立頁巖氣多級壓裂水平井產(chǎn)能預測模型，為頁巖氣開發(fā)動態(tài)預測提供理論方法。

1 物理模型建立

在均質油氣藏中，水力壓裂一般會誘導出平板雙翼裂縫，而在裂縫性油氣藏中，水力誘導裂縫能夠與天然裂縫發(fā)生溝通、耦合，形成復雜的裂縫網(wǎng)絡系統(tǒng)。多級壓裂水平井物理模型有以下3種情況:

(1)“平板雙翼裂縫”型，多存在于均質油氣藏中。如圖1(a)所示，沿水平井筒分布著多條垂直裂縫，裂縫呈平板狀。

(2)“體積壓裂”型，存在于裂縫性油氣藏中。如圖1(b)所示，水力壓裂誘導形成復雜的裂縫網(wǎng)絡系統(tǒng)，使得井筒周圍存在一個體積壓裂區(qū)(stimulated reservoir volume，SRV)［3，22］，該區(qū)裂縫導流能力高、基質－裂縫接觸面積大，而外圍未壓裂改造區(qū)域儲層物性差。

(3)“體積壓裂”與“主裂縫”混合型［3，22］。對于加砂壓裂，若儲層導流能力低，攜砂能力有限，大量支撐劑會分布在井筒附近裂縫中，形成高導流能力主裂縫。如圖1(c)所示，沿水平井筒分布著多條主裂縫，主裂縫之間分布著許多誘導裂縫。

對于天然裂縫性頁巖氣藏，圖1(b)、(c)兩種模型均可能存在。圖1(b)模型可用雙重介質復合氣藏(壓裂區(qū)與未壓裂區(qū))進行描述。圖1(c)模型中壓裂區(qū)包括含支撐劑高導流主裂縫與不含或微含支撐劑裂縫，主裂縫對氣井初期產(chǎn)量影響很大，但在頁巖氣很長的生產(chǎn)周期內(nèi)，產(chǎn)量主要受基質物性影響，這里將主裂縫與體積壓裂區(qū)誘導裂縫一起考慮，取其平均效果。經(jīng)過這樣處理后，圖1(b)、(c)中模型可用相同數(shù)學模型進行描述，只是裂縫滲透率意義不同。

2 數(shù)學模型及其求解

2.1 基本假設

圖2為雙孔復合氣藏模型示意圖，包括內(nèi)區(qū)(體積壓裂區(qū)，1區(qū))和外區(qū)(未壓裂區(qū)，2區(qū))，中間為一口水平井。儲層包括裂縫系統(tǒng)與基質系統(tǒng)。假設:

(1)氣藏為雙孔系統(tǒng)，基質塊為平板狀，均質、等厚、等溫;

(2)裂縫到井筒、內(nèi)區(qū)基質到內(nèi)區(qū)裂縫、外區(qū)裂縫到內(nèi)區(qū)裂縫、外區(qū)基質到外區(qū)裂縫的流動均為線性流動;

(3)氣藏為單相氣生產(chǎn)，不考慮水平井端部流體流動;

(4)考慮吸附氣解吸對產(chǎn)量的影響;

(5)不考慮表皮系數(shù)與井儲效應影響。

圖2 雙孔復合氣藏模型Fig.2 Dual porosity composite reservoir model

2.2 連續(xù)性方程及邊界條件

運用擬壓力與擬時間函數(shù)考慮氣體參數(shù)隨壓力與時間的變化，同時運用修正的總壓縮系數(shù)Ct來考慮基質孔隙中氣體解吸［23］。

擬壓力為

擬時間為

修正的總壓縮系數(shù)為

解吸壓縮系數(shù)為

式中，p為壓力，MPa;psc取0.1 MPa;ˉp為平均地層壓力，MPa;μ為黏度，mPa·s;z為氣體壓縮因子;zsc為0.1 MPa、25℃ 下氣體壓縮因子;ˉz為平均地層壓力對應的氣體壓縮因子;m(p)為擬壓力，MPa2·(mPa·s)－1;ta為擬時間，d;Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa－1;Cf和Cg分別為巖石與氣體的壓縮系數(shù)，MPa－1;Cd為解吸壓縮系數(shù)，MPa－1;Tsc取25℃;pL為蘭式壓力，MPa;φm為基質孔隙度;μ(ˉp)為平均地層壓力下氣體黏度，mPa·s;Ct(ˉp)為平均地層壓力下綜合壓縮系數(shù)，MPa－1。

無因次變量定義見表1。

表1 無因次變量定義Table 1 Definition of dimensionless variable

根據(jù)無因次產(chǎn)量與壓力的關系，得到

(1)1區(qū)裂縫和基質無因次偏微分方程與邊界條件分別為

(2)2區(qū)裂縫和基質無因次偏微分方程與邊界條件分別為

初始條件:氣藏各處原始地層壓力相同，因此擬壓力函數(shù)相等，

內(nèi)邊界條件:假設氣井以定井底壓力生產(chǎn)，因此任何時間井底擬壓力函數(shù)相同。

內(nèi)外區(qū)交接面處條件:假設兩區(qū)交接面處壓力與氣體流速相等，由于溫度壓力相等時氣體黏度也相等，因此流速相等，

外邊界條件:此處分別考慮無限大邊界與封閉邊界兩種情況:

2.3 基質方程的解

內(nèi)區(qū)(1區(qū))控制方程及邊界條件為

初始條件為

內(nèi)邊界條件為

外邊界條件為

zD=1，mDm1=mDf1.

類似的可得到2區(qū)的Laplace空間解為

2.4 裂縫方程的解

將基質方程的解代入裂縫方程中，得

其中

根據(jù)產(chǎn)量與壓力關系式(1)，得到Laplace空間關系為

根據(jù)上面定解條件，求得不同外邊界條件下定井底壓力laplace空間產(chǎn)量解。

封閉邊界解為其中

無限大邊界解為

3 新模型驗證

3.1 與其他解析解對比

建立的頁巖氣新模型假設內(nèi)區(qū)和外區(qū)均為雙孔系統(tǒng)，該模型解析解不僅適用于裂縫性頁巖氣復合氣藏，同時若改變 ω1、ω2、ξ、η、yDf和 yDe等無因次參數(shù)值和條件，還可適用于其他頁巖氣模型或假設情況，如單孔復合氣藏(內(nèi)區(qū)雙孔+外區(qū)單孔)、SRV模型(雙孔，僅含有內(nèi)區(qū))和均質氣藏(單孔系統(tǒng))。若令ω2等于1，意味著外區(qū)氣藏屬于單孔系統(tǒng)，這與Brohi等［19］建立的模型假設相同，解的形式也完全一致，其他解形式轉化如表2所示。這既證明了新模型及解析解的正確性，也說明了該模型的普遍性，可以用來描述均質氣藏線性流動、雙孔瞬態(tài)線性流動模型(SRV模型)和單雙孔復合氣藏模型。

表2 不同線性流動模型解Table 2 Linear flow solutions for different models

3.2 數(shù)值模擬驗證

給出的解析解既適用于氣井情況，也同樣適用于單相液情況，此時只需采用壓力、時間分別替換擬壓力、擬時間。為了驗證解析解的可靠性，運用E-clipse三維差分數(shù)值模擬器建立單相氣和單相液(水)2個雙孔介質復合地層數(shù)值模型進行誤差分析。為簡化模型，不考慮吸附氣的影響。由于E-clipse軟件雙孔模型中假設基質到裂縫為擬穩(wěn)態(tài)竄流且為三維徑向流，而上述解析解假設基質到裂縫為非穩(wěn)態(tài)且為線性流，為保證兩種模型假設一致性，數(shù)值模型中需要定義一維滲透率(有針對性給定某一方向滲透率，其他方向賦值為零)，以滿足線性流動假設;另外為了減小由擬穩(wěn)態(tài)竄流代替非穩(wěn)態(tài)竄流而引起的誤差，需要測試給出一個合適的基質形狀因子σ值。

數(shù)值模型模擬液體時，輸入?yún)?shù)為:kf1=10×10－3μm2，kf2=1 × 10－3μm2，km1=km2=0.01 × 10－3μm2;φf1=0.0005，φf2=0.0001，φm1=φm2=0.05;σ1=0.011 m－2，σ2=0.00011 m－2;yf=22.86 m;ye=304.80 m;xe=1219.20 m;h=30.48 m;Bw=1;Ct=5.07× 10－4MPa－1;μ =0.607 mPa·s;pi=55.16 MPa;pwf=10.34 MPa。模擬氣體時，輸入?yún)?shù)為:kf1=0.01 ×10－3μm2，kf2=0.001 × 10－3μm2，km1=km2=0.000 2 × 10－3μm2;φf1=0.000 5，φf2=0.000 1，φm1=φm2=0.05;σ1=0.215 m－2，σ2=0.001 1 m－2;yf=30.48 m;ye=304.80 m;xe=1 219.20 m;h=30.48 m;T=413.9 K;Ct=9.85 ×10－3MPa－1;μ =0.0294 mPa·s;pi=55.16 MPa;pwf=10.34 MPa。

根據(jù)數(shù)值模型輸入?yún)?shù)，對應的解析解計算參數(shù)為:對于液體，ω1=0.01，ω2=0.002，λ1=0.8，λ2=0.08，A=7.43 ×10－4m2，yDf=0.084，yDe=1.118，ξ=10，η =9.92;對于氣體，ω1=0.01，ω2=0.002，λ1=320，λ2=16，A=7.43×10－4m2，yDf=0.112，yDe=1.118，ξ=10，η =9.92，Δm(p)=1.19×105MPa2/(mPa·s)。

圖3為數(shù)值解與解析解對比曲線。該曲線包括線性流和邊界效應兩大流動階段。從圖3中可以看出解析解與數(shù)值解吻合較好。

圖3 數(shù)值模擬與新模型解析解對比Fig.3 Comparison of numerical simulation and analytical solution

為了方便計算，采用產(chǎn)量與擬時間關系進行對比。解析解產(chǎn)氣量與擬時間的關系直接由式(18)反演得到;同時數(shù)值解產(chǎn)氣量－時間關系需要轉換成產(chǎn)氣量－擬時間關系，計算擬時間需要已知平均地層壓力。起初運用全氣藏平均地層壓力計算擬時間，得到圖3(b)中最上面曲線。該曲線在初期、后期與解析解曲線擬合較好，而中期偏離較大。分析原因為中期平均地層壓力計算不合理。初期流動主要受裂縫系統(tǒng)控制，整個儲層裂縫系統(tǒng)均發(fā)揮作用，運用全氣藏平均地層壓力是合理的;后期流動主要受基質系統(tǒng)控制，運用全氣藏平均地層壓力也是合理的;然而在生產(chǎn)中期，產(chǎn)量主要受內(nèi)區(qū)基質系統(tǒng)控制，壓力降主要消耗在內(nèi)區(qū)，若是運用全氣藏平均地層壓力(壓力值偏大)計算氣體參數(shù)會引起較大誤差。因此，生產(chǎn)中期應采用內(nèi)區(qū)平均地層壓力計算氣體參數(shù)，通過該法校正得到的曲線與解析解吻合較好。

4 裂縫性頁巖氣藏典型曲線

4.1 典型曲線及流動階段劃分

基于解析解式(18)和(19)分別建立不同λ2值時無限大與封閉頁巖氣藏典型曲線，如圖4所示。

由圖4(a)(ω1=10－2，ω2=10－3，λ1=10－3，ξ=η=20，yDf=1)可以看出，曲線流動階段為線性流與過渡流交替。新模型與SRV模型典型曲線初期階段重合，中后期差別較大。流動階段達到內(nèi)區(qū)邊界后，SRV模型典型曲線出現(xiàn)驟降，呈典型的邊界效應特征;新模型則出現(xiàn)明顯的過渡流階段，時間取決于外區(qū)竄流系數(shù)λ2，λ2值越大，過渡流持續(xù)時間越短。該過渡流呈外區(qū)裂縫－基質雙線性流動特征，在雙對數(shù)曲線上為－1/4斜率直線。

圖4 不同λ2時頁巖氣壓裂水平井產(chǎn)量典型曲線Fig.4 Production characteristic curves of fractured horizontal well with different λ2in shale gas reservoir

如圖4(b)(ω1=10－2，ω2=10－4，λ1=10－1，ξ=η=10，yDf=0.1，yDe=10)所示，封閉性外邊界氣藏情況有些不同。由于封閉性氣藏裂縫流動容易達到邊界，因此后期過渡流之后不會出現(xiàn)雙線性流動階段。繼內(nèi)區(qū)基質邊界效應之后，典型曲線流動階段包括過渡流、外區(qū)基質線性流和外區(qū)邊界效應。當外區(qū)竄流系數(shù)λ2值較高時，外區(qū)作用對典型曲線的影響有可能提前。

基于以上分析，總結出新典型曲線存在以下流動階段:

(1)階段1為裂縫線性流。該流動階段包括內(nèi)區(qū)與外區(qū)裂縫線性流動。裂縫滲透率與基質滲透率相比要大的多，因此早期階段外區(qū)裂縫線性流動同樣可以觀察到。該階段典型曲線呈－0.5斜率直線。

(2)階段2為過渡流Ⅰ。該階段可能存在兩種情況:一是雙線性流動，為基質與裂縫線性流動綜合作用，雙對數(shù)曲線呈－0.25斜率直線;二是裂縫系統(tǒng)邊界效應，裂縫流動很快達到邊界，基質系統(tǒng)線性流動還未形成。

(3)階段3為內(nèi)區(qū)基質線性流。該階段內(nèi)區(qū)基質流動占主要作用，雙對數(shù)典型曲線呈－0.5斜率，該階段時間取決于基質塊尺寸和基質滲透率。

(4)階段4為過渡流Ⅱ。內(nèi)區(qū)基質線性流動結束后，基質邊界流動開始占主要作用，同時外區(qū)也有部分供氣。

(5)階段5為外區(qū)雙線性流動(無限大氣藏時存在)。當外區(qū)為無限大儲層時，外區(qū)裂縫線性流動與基質線性流動同時作用，形成雙線性流動。典型曲線呈－0.25斜率，如圖4(a)所示，該階段持續(xù)時間隨著λ2增加而縮短。

(6)階段6為外區(qū)基質線性流。該階段產(chǎn)量主要由外區(qū)基質系統(tǒng)提供，為外區(qū)基質線性流動控制，雙對數(shù)典型曲線呈－0.5斜率。

(7)階段7為外邊界效應(封閉氣藏時存在)。對于封閉氣藏，當流動達到外邊界時，表現(xiàn)為外邊界效應控制，雙對數(shù)曲線上無因次產(chǎn)量驟降。

4.2 參數(shù)敏感性分析

4.2.1 裂縫滲透率比

內(nèi)外區(qū)裂縫滲透率比值ξ對典型曲線有一定影響。如圖5(ω1=10－2，ω2=10－3，λ1=10－2，λ2=10－4，yDf=1)所示，當ξ值較大時，無因次產(chǎn)氣量較低，且到達外區(qū)線性流動的時間推遲。ξ值不會改變后期流動階段劃分，但當ξ值較小時，外區(qū)氣藏對產(chǎn)氣的影響會提前，因此會影響內(nèi)區(qū)基質流動階段時間。

圖5 無限大氣藏條件下ξ值(η≈ξ)對典型曲線影響Fig.5 Effect of ξ(η≈ξ)on characteristic curves in infinite reservoir

4.2.2 氣藏尺寸

內(nèi)區(qū)尺寸取決于水力裂縫的延伸范圍，而外區(qū)尺寸受井距以及諸如斷層等地質因素影響。分別運用無因次長度yDf和yDe研究內(nèi)區(qū)與外區(qū)尺寸對典型曲線影響。

圖6為不同yDf和yDe對典型曲線的影響。圖6(a)中 ω1=10－2，ω2=10－3，λ1=10－2，λ2=10－5，ξ= η =50，圖 6(b)中 ω1=10－2，ω2=10－4，λ1=10－1，λ2=10－3，ξ= η =10，yDf=0.1?？梢钥闯?曲線起點相同，yDf較大時，初期裂縫線性流動階段持續(xù)較長，產(chǎn)量高，同時較大yDf值曲線流動階段劃分更清晰。yDf值對內(nèi)區(qū)基質線性流動結束時間影響較小;外區(qū)尺寸對無因次產(chǎn)量影響很大，yDe值越大，無因次產(chǎn)氣量越大;yDe值對典型曲線流動階段、外區(qū)邊界效應時間幾乎無影響。

圖6 氣藏尺寸對典型曲線的影響Fig.6 Effect of reservoir size on characteristic curves

4.2.3 儲容比

圖7為儲容比對典型曲線影響(λ1=10－2，λ2=10－5，ξ=η =20，yDf=0.5)?？梢钥闯?儲容比 ω1值越大，初期裂縫線性流動階段產(chǎn)氣量越高;不同ω2時曲線重合，原因為外區(qū)裂縫系統(tǒng)氣體對產(chǎn)氣貢獻較基質系統(tǒng)氣體小。儲容比對典型曲線總體影響不大。

圖7 無限大氣藏條件下儲容比對典型曲線影響Fig.7 Effect of ω on characteristic curves in infinite reservoir

4.3 未壓裂區(qū)天然裂縫重要性

為了說明外區(qū)雙孔系統(tǒng)的重要性，對比了SRV模型、Brohi模型與新模型典型曲線特征。由于新模型中ξ和η的定義與Brohi模型不同，因此采用一套有因次參數(shù)進行計算，基本輸入?yún)?shù)為kf1=0.01×10－3μm2，kf2=0.001 × 10－3μm2，km1=km2=0.0001 ×10－3μm2，φf1=0.001，φf2=0.0001，φm1=φm2=0.1，σ1=1.07 ×10－3m－2，σ1=1.07 ×10－4m－2，λ1=λ2=1，ω1=0.01，ω2=0.001，Brohi模型取 ξ=100，η =99.1，A=9.3 ×104m2，yDf=1;新模型取 ξ=10，η =9.91，A=9.3 ×104m2，yDf=1。模型假設外區(qū)為無限大，運用不同外區(qū)裂縫滲透率與基質形狀因子研究雙孔系統(tǒng)參數(shù)對產(chǎn)氣的影響。

圖8(a)對比了不同外區(qū)裂縫滲透率下SRV模型、Brohi模型與新模型典型曲線?？梢钥闯?典型曲線在初期重合;在生產(chǎn)后期，外區(qū)儲層對典型曲線產(chǎn)生較大影響。對于SRV模型，當流動達到內(nèi)區(qū)儲層邊界后，無因次產(chǎn)量qD驟降;對于Brohi模型，qD下降速率先增加，解釋為內(nèi)邊界效應影響，繼而變?yōu)橹本€下降;對于新模型，曲線特征類似于Brohi模型，但無因次產(chǎn)量qD比Brohi模型要高，且隨著外區(qū)裂縫滲透率增加而增加。

圖8(b)為外區(qū)基質形狀因子σ2對典型曲線的影響?？傮w說來，新模型比SRV模型、Brohi模型無因次產(chǎn)量高。不同外區(qū)σ2值對過渡流Ⅱ階段影響明顯，σ2值越低，過渡流Ⅱ階段時間越長，典型曲線呈－0.25斜率直線，解釋為外區(qū)雙線性流動。

外區(qū)雙重孔隙特征較單一介質產(chǎn)氣量高，即使在裂縫滲透率(5×10－7μm2)與基質滲透率處于同一數(shù)量級時或σ2值很小時也同樣成立。

圖8 SRV模型、Brohi模型與新模型典型曲線對比Fig.8 Characteristic curve comparison of SRV model，Brohi's model and new model

5 結論

(1)建立的頁巖氣多級壓裂水平井模型考慮了未壓裂區(qū)雙重孔隙特征以及解吸氣對產(chǎn)量影響。該模型適用范圍廣，既適用于均質氣藏、雙孔瞬態(tài)流動模型，又適用于天然裂縫性氣藏;數(shù)值模型驗證表明該解析解與數(shù)值解吻合度高。

(2)發(fā)展了新的頁巖氣藏產(chǎn)量典型曲線，總結出頁巖氣多級壓裂水平井包含7個流動階段，且呈線性流與過渡流交替。氣藏尺寸、竄流系數(shù)、裂縫滲透率比對典型曲線影響很大，而儲容比的影響不明顯。

(3)未壓裂區(qū)天然裂縫對頁巖氣后期產(chǎn)量具有正作用，對裂縫性頁巖氣藏進行產(chǎn)能預測時不可忽略。

致謝 感謝阿德萊德大學澳大利亞石油學院Dennis Cooke博士和Pavel Bedrikovetski教授對本研究工作的幫助與建議。

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