保險公司在風險相依模型中均值-方差準則下的最優(yōu)投資策略*

谷愛玲，李仲飛, 申曙光

(1. 中山大學數(shù)學與計算科學學院，廣東 廣州 510275；2. 廣東工業(yè)大學應用數(shù)學學院，廣東 廣州 510006；3. 中山大學金融工程與風險管理研究中心，廣東 廣州 510275)

1952年文獻[1]提出了均值-方差投資組合選擇理論，之后此理論得到后人的不斷應用及推廣[2-5]?，F(xiàn)在均值-方差準則已經(jīng)成為現(xiàn)代投資理論的基礎。自從保險公司被允許向金融市場投資以來，保險公司的最優(yōu)投資問題成為學者們研究的焦點[6-10]。鑒于均值-方差準則的優(yōu)點，部分學者在此準則下研究了保險公司的最優(yōu)投資問題。如文獻[11-14]：文獻[11]依據(jù)最大值原理給出了保險公司的最優(yōu)投資策略；文獻[12]在粘性解的意義下給出了最優(yōu)的投資策略；文獻[13]根據(jù)鞅方法給出了保險公司的最優(yōu)投資策略，其中保險公司的索賠過程由一維Lévy過程描述，保險公司只投資于一個無風險資產(chǎn)和一個風險資產(chǎn)，風險資產(chǎn)的價格過程由一般的布朗運動描述；文獻[14]利用隨機控制的方法得到均值-方差準則下的最優(yōu)投資策略，其中保險公司的索賠過程由一維Lévy過程描述，金融市場由一個無風險資產(chǎn)和一個風險資產(chǎn)組成，風險資產(chǎn)的價格過程由一維的Lévy過程驅(qū)動。然而上述文獻中保險公司的盈余過程只用一個變量表示，相當于保險公司只經(jīng)營一種保險業(yè)務。事實上，保險公司包括多個業(yè)務部門，保險公司的盈余由各個業(yè)務部門的業(yè)績決定。因此，采用多變量描述保險公司的風險模型顯得更為合理。本文采用兩個變量描述保險公司的風險模型 (可以理解為保險公司含有兩個業(yè)務部門)，分別在基準準則和均值-方差準則下討論保險公司的最優(yōu)投資問題，推廣了文獻[14]的部分結(jié)果。

為了更好的描述保險公司的盈余過程，很多學者已經(jīng)采用多變量來描述保險公司的風險模型。具體參見文獻[15-19]，其中多數(shù)文獻[15-18]研究了保險公司的破產(chǎn)概率問題，只有文獻[18-19 ]涉及到了保險公司的最優(yōu)投資問題。文獻[18]考慮了具有兩個業(yè)務部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，其中金融市場由兩個幾何布朗運動描述的風險資產(chǎn)構成，每個業(yè)務部門投資一個風險資產(chǎn)。在投資策略為常數(shù)的假設下，文獻[18]以最小化破產(chǎn)概率為目標得到最優(yōu)的常數(shù)投資策略；文獻[19]研究了具有n個業(yè)務部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，每個業(yè)務部門投資一個風險資產(chǎn)，用兩個不同的n維Lévy過程分別描述n個業(yè)務部門的索賠之間的相關性和n個風險資產(chǎn)價格跳動之間的相關性。文獻[19]以最大化保險公司終端財富的負指數(shù)效用為目標，得到了最優(yōu)投資策略的半解析解，且最優(yōu)投資策略是與初始盈余無關的常數(shù)。文獻[18]和文獻[19]雖然以多變量描述保險公司的風險過程，且考慮了每個業(yè)務部門之間索賠的相關性，然而，他們得到的最優(yōu)投資策略均為常數(shù)且與保險公司的索賠過程無絲毫關系，這顯然與事實不符，之所以得到這樣的結(jié)果與他們采用的投資準則有關。因此，為了制定更為有效合理的投資策略，必須選擇合適的投資準則。于是，本文選用均值-方差作為投資準則，并且得到了與初始盈余以及保險公司的索賠相關的最優(yōu)投資策略。

本文借鑒文獻[19]中的保險公司的風險模型，研究了具有兩個業(yè)務部門的保險公司的最優(yōu)投資問題。不同于文獻[19]，文中的金融市場不僅由兩個風險資產(chǎn)組成，而且還包括一個無風險資產(chǎn)，這樣保險公司可以將錢存入銀行或向銀行借款，更符合現(xiàn)實；而且文中的投資由專門的業(yè)務部門負責管理，這樣可以在降低保險公司面臨的風險的基礎上，更好的利用公司的總盈余為公司帶來更高利潤。文中以兩個相關的布朗運動分別表示兩業(yè)務部門的額外保費收入，用二維的Lévy過程刻畫兩業(yè)務部門的索賠過程，以描述兩個索賠過程在索賠次數(shù)及強度上的相關性。當Lévy測度取特殊值時，保險公司的風險模型就可轉(zhuǎn)化為文獻[18]中的風險模型。文中兩個風險資產(chǎn)的價格過程是由帶跳的幾何布朗運動描述。由于某些風險資產(chǎn)(如股票)價格的跌漲與某一些經(jīng)濟現(xiàn)象， 政策條款的出臺，政治事件的發(fā)生密切相關。這就引發(fā)了風險資產(chǎn)之間也存在一定的相關性。我們分別用兩個相關的布朗運動和一個二維的Lévy過程刻畫兩風險資產(chǎn)價格的波動和跳，以描述兩風險資產(chǎn)之間的相關性。本文分別采用基準準則和均值-方差準則建立了兩個相應的優(yōu)化問題。利用動態(tài)規(guī)劃方法，我們得到第一個優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的解析式；結(jié)合第一個優(yōu)化問題的結(jié)果，利用對偶定理得到第二個優(yōu)化問題的最優(yōu)投資策略和有效前沿。我們發(fā)現(xiàn)：在只有一個業(yè)務部門且風險資產(chǎn)只有一個的情況下，我們的最優(yōu)投資策略與文獻[14]在某種情況下的投資策略一致。

1 基本假設

設(Ω,F,{Ft}0≤t≤T,P)是賦流完備的概率空間，其中Ft表示到時刻t為止所獲得的信息總和，時刻t的決策基于信息流Ft，T是有限正數(shù)，代表投資期的長度。假設文中所有隨機過程均為此賦流概率空間上的適應過程。假設保險公司有兩個業(yè)務部門，兩個業(yè)務部門的索賠風險是相關的且索賠過程由Lévy過程驅(qū)動(參見文獻[19])。于是，第i個業(yè)務部門的盈余過程可描述為

Xi(t)=xi+cit+σiBi(t)-

(1)

假設允許保險公司將其盈余投資于金融市場且金融市場由一個無風險資產(chǎn)(如債券)和兩個風險資產(chǎn) (如股票) 組成。無風險資產(chǎn)的價格過程滿足

dS0(t)=r0S0(t)dt,S0(0)=s0,t∈[0,T]

(2)

其中，r0>0是常數(shù)，表示無風險利率；風險資產(chǎn)的價格過程由Lévy過程描述

i=1,2,t∈[0,T]

(3)

(4)

2 基準準則下的最優(yōu)投資

這一節(jié)，尋求最優(yōu)的投資策略使得保險公司的終端盈余盡可能達到某一個基準值(M>0)。如用距離的平方來刻畫終端財富與M的偏差，則形成下列的優(yōu)化問題

(5)

因此，在初始狀態(tài)(t,x)下的最優(yōu)值函數(shù)可以表示為

(6)

其中，Et,x[·]表示在X(t)=x下的條件期望。我們的目標是尋求優(yōu)化問題(6)的最優(yōu)投資策略π*以及最優(yōu)值函數(shù)V(t,x)。

接下來，我們利用動態(tài)規(guī)劃方法給出優(yōu)化問題(6)的Hamilton-Jacobi-Bellman(簡稱HJB)方程。 為方便，對?W(t,x)∈C1,2定義變分算子

π2(t)z2)1{‖z‖<1}]vS(dz)+

(7)

滿足邊界條件W(T,x)=(x-M)2。

為方便表述，記

(8)

(9)

W(t,x)=P(t)x2+Q(t)x+R(t)

其中P(t)、Q(t)和R(t)是關于t的確定性連續(xù)函數(shù)，滿足邊界條件P(T)=1,Q(T)=-2M,R(T)=M2。根據(jù)W(t,x)的表達式，我們得到下列等式

將上式代入HJB方程，簡化得

(10)

對(10)式左端大括號內(nèi)π1(t)和π2(t)求導，根據(jù)一階條件得

于是，

下面具體求解P(t)、Q(t)和R(t)。將π1(t,x)和π2(t,x)代入(10)式，有

Ptx2+Qtx+Rt+(2P(t)x+Q(t))(c+xr0)+

令上式中x2和x的系數(shù)以及常數(shù)項分別為零，得

Pt+P(t)(2r0-A)=0,P(T)=1;

Qt+Q(t)(r0-A)+2P(t)c=0,Q(T)=-2M;

求解上面三個一階線性微分方程得

P(t)=e-(2r0-A)(t-T);

故

定理 2的證明與文獻[20]中的定理8.1類似，從略。

3 均值-方差準則下的最優(yōu)投資

本節(jié)我們建立均值-方差模型。在定理2的基礎上借助對偶理論，我們得到均值-方差問題的最優(yōu)投資策略以及有效前沿，并分析了兩風險資產(chǎn)的相關性對有效前沿的影響。

3.1 模型的建立與求解

首先，我們建立均值-方差模型。用方差來度量保險公司的風險，在終端財富期望達到某一定值M>0的情形下，選擇最優(yōu)的投資策略使終端財富的方差最小，即

(11)

問題(11)是一個條件極值問題，不妨令其值函數(shù)為J(x0)。我們通過拉格朗日乘子法，將問題(11)轉(zhuǎn)化為無條件極值問題。 引入拉格朗日乘子λ∈R，定義拉格朗日函數(shù)

(12)

利用對偶理論，有

(13)

下面尋求最優(yōu)的投資策略π*和拉格朗日乘子λ*，使得J(x0)=Jπ*(x0,λ*)。

(14)

Jπ*(x0,λ)關于λ是一個凹函數(shù)，故上式對λ求導，得到最大值點λ*

(15)

概括上述的分析過程，可得到如下定理

定理3 均值-方差問題 (11) 的有效前沿為

(16)

相應的最優(yōu)投資策略為

(17)

注4 定理3表明： 投資在風險資產(chǎn)1 (或2) 上的金額不僅與風險資產(chǎn)1(或2)的收益狀態(tài)有關而且與資產(chǎn)2 (或1) 的收益情況緊密聯(lián)系，這主要是資產(chǎn)的相關性決定的。

注5 當業(yè)務部門只有一個且金融市場只包含一個風險資產(chǎn)和一個無風險資產(chǎn)時，定理3 可退化為文獻[14]中的定理4.2，其中參數(shù)α=0,λ(t)是常數(shù)。

推論1 若保險公司投資于同一個風險資產(chǎn) (假設為風險資產(chǎn)1)，則均值-方差問題(11)的有效前沿為

相應的最優(yōu)投資策略為

3.2 結(jié)果分析

不失一般性，本節(jié)以t=0時刻為例分析兩支股票的相關性對均值-方差問題(11) 的最優(yōu)投資策略及有效前沿的影響。

由最優(yōu)投資策略的解析形式 (17) 知， 時刻t=0 時的最優(yōu)投資為

可見，保險公司根據(jù)兩風險資產(chǎn)收益率的比較而選擇不同的投資形式。具體情況如下：

第二支股票的賣空金額不得超過

其中

其中

4 結(jié)束語

本文研究了具有兩個業(yè)務部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，其中兩業(yè)務部門的索賠之間及所投資的風險資產(chǎn)之間都存在一定的相關性。這一問題切合實際。如保險公司包括財產(chǎn)保險業(yè)務和人身保險業(yè)務，當一場車禍發(fā)生時，會同時發(fā)生財產(chǎn)保險的索賠及醫(yī)療費用的償付等。本文借鑒文獻[19]中的風險相關性，用兩維的Lévy 測度描述兩業(yè)務部門的索賠過程。金融市場由一個無風險資產(chǎn)和兩個風險資產(chǎn)組成，且風險資產(chǎn)的價格過程是用二維的Lévy 過程表示跳的幾何布朗運動描述。分別依據(jù)基準準則和均值-方差準則，我們得到了最優(yōu)投資策略以及相應的最優(yōu)值函數(shù)的解析形式。進一步，我們具體分析了均值-方差準則下的最優(yōu)投資策略，發(fā)現(xiàn)投資某一資產(chǎn)上最優(yōu)投資策略與兩個風險資產(chǎn)的參數(shù)密切相關。同時，證實了投資于不同的風險資產(chǎn)比投資于同一風險資產(chǎn)更有利于降低風險；對于具有正相關的的兩個風險資產(chǎn)，保險公司應該投資于價格的跳動及波動均有相關性的風險資產(chǎn)，這樣更有利于降低保險公司在終端時刻面臨的風險。

本文的不足之處是只考慮了含兩個業(yè)務部門的保險公司的最優(yōu)投資問題，沒有考慮保險公司的再保險策略。事實上，由于粘性解的產(chǎn)生，同時考慮保險公司的再保險和投資問題比較難處理。但這可作為我們以后的研究方向。

參考文獻：

[1] MARKOWITZ H. Portfolio selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 77-91.

[2] LI D, NG W L. Optimal dynamic portfolio selection: multiperiod mean-variance formulation [J]. Mathematical Finance, 2000, 10: 387-406.

[3] ZHOU X Y, LI D. Continuous-time mean-variance portfolio selection: a stochastic LQ framework [J]. Applied Mathematics and Optimization, 2000, 42: 19-33.

[4] LIM A E B, ZHOU X Y. Mean-variance portfolio selection with random parameters in a complete market [J]. Mathematics of Operations Research, 2002, 27: 101-120.

[5] ZHOU X Y, YIN G. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: a continuous time model [J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2003, 42: 1466-1482.

[6] TAKSAR M, MAKUSSEN C. Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios [J]. Finance Stochastics, 2003, 7: 97-121.

[7] PROMISLOW D S, YOUNG V R. Minimizing probability of ruin when claims flow Brownian motion with drift [J]. North American Actuarial Journal, 2005, 9: 109-128.

[8] LUO S L. Ruin minimization for insurers with borrowing constraints [J]. North American Actuarial Journal, 2008, 12: 143-174.

[9] 曾燕, 李仲飛. 線性約束下保險公司的最優(yōu)投資策略 [J]. 運籌學學報, 2010, 14(2): 106-118.

[10] YANG H L, ZHANG L H. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2005, 37: 615-634.

[11] ZENG Y, LI Z F, LIU J J. Optimal strategies of benchmark and mean-variance portfolio selection problems for insurers [J]. Journal of Industrial and Management Optimization, 2010, 6: 483-496.

[12] BAI L H, ZHANG H. Dynamic mean-variance problem with constrained risk control for the insurers [J]. Mathematical Methods of Operations Research, 2008, 68: 181-205.

[13] WANG Z W, XIA J M, ZHANG L H. Optimal investment for an insurer: the martingale approach [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2007, 40: 322-334.

[14] DELONG K, GERRARD R. Mean-variance portfolio selection for a non-life insurance company [J]. Math Meth Oper Res, 2007, 66: 339-367.

[15] YUEN K C, GUO J Y, WU X Y. On the first time of ruin in the bivariate compound Poisson model [J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2006, 38: 298-308.

[16] COLLAMORE J F. Importance sampling techniques for the multidimensional ruin problem for general Markov additive sequences of random vectors [J]. The Annals of Applied Probability, 2002, 12: 382-421.

[17] HULT H, LINDSKOG F. Heavy-tailed insurance portfolios: buffer capital and ruin probabilities [R]. School of ORIE, Cornell University, Technical Report No.1441, 2006.

[18] 張明善, 姚珣, 趙武,等. 二元風險模型下的保險公司最優(yōu)投資策略 [J]. 管理工程學報, 2011, 25: 228-231.

[20] FLEMING W H, SONER H M. Controlled markov processes and viscosity solutions [M]. Berlin，New York: Springer, 1993.