基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的變分問題的Noether定理*

龍梓軒，張 毅

(1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州 215009;2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州 215009)

分?jǐn)?shù)階微積分的歷史可以追溯到1695年Leibniz和L'Hospital之間的討論［1］，但是直到最近的40年間分?jǐn)?shù)階微積分在科學(xué)和工程各領(lǐng)域才得到廣泛的應(yīng)用［2－3］，包括:經(jīng)典和量子力學(xué)、場論和最優(yōu)控制等。1996年，Riewe［4］首先開展了分?jǐn)?shù)階變分問題的研究，提出了將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于非保守系統(tǒng)動力學(xué)和耗散系統(tǒng)的建模，初步形成了分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程和分?jǐn)?shù)階Hamilton方程。之后，分?jǐn)?shù)階變分問題得到了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、動力學(xué)與控制等研究領(lǐng)域的眾多學(xué)者的高度關(guān)注，并取得了一系列重要成果［5－9］。

為了建立非保守系統(tǒng)動力學(xué)模型，El-Nabulsi于2005年在分?jǐn)?shù)階微積分的框架下基于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義提出了一種新的建模方法［8］，稱之為類分?jǐn)?shù)階變分方法。該方法的特點在于分?jǐn)?shù)階時間積分僅引進一個實參數(shù)α，所得到的Euler-Lagrange方程形式簡單且類似于經(jīng)典的方程。該Euler-Lagrange方程的新穎之處在于存在一個作用在系統(tǒng)上的廣義分?jǐn)?shù)階外力，尤其是方程中不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，而僅僅依賴于分?jǐn)?shù)階積分的階α。最近，El-Nabulsi將這種動力學(xué)建模思想進一步加以推廣，提出了基于按周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階模型［9］。

對稱性和守恒量的概念在物理學(xué)和數(shù)學(xué)中扮演著重要角色。對稱性在數(shù)學(xué)上是用變換群來描述的，即系統(tǒng)在變換群作用下保持的某種不變性，它對系統(tǒng)的動力學(xué)行為和定性性質(zhì)具有深刻影響。守恒量在變分學(xué)和最優(yōu)控制方面的一個典型應(yīng)用是約化系統(tǒng)的自由度，從而實現(xiàn)維數(shù)的降低和微分方程積分的簡化。1918年德國女?dāng)?shù)學(xué)家Noether提出了一個定理，揭示了Hamilton作用量在群的無限小變換下的不變性與守恒量之間的潛在關(guān)系。關(guān)于動力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量的研究是數(shù)學(xué)、物理學(xué)、分析力學(xué)的一個重要發(fā)展方向［10－16］。最近，基于El-Nabulsi提出的類分?jǐn)?shù)階模型，我們開展了變分問題的Noether對稱性研究［17－19］。本文進一步研究基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階模型下的Noether理論，建立了類分?jǐn)?shù)階Noether定理，給出了類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換和Noether準(zhǔn)對稱變換的定義和判據(jù)，建立了類分?jǐn)?shù)階Noether對稱性與守恒量之間的關(guān)系。本文結(jié)果具有普遍意義，不僅經(jīng)典的Noether定理是其特例，而且可以進一步推廣到各類約束力學(xué)系統(tǒng)，例如非完整系統(tǒng)、Birkhoff系統(tǒng)等。

1 基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階變分問題

定義1［9］設(shè)f(t)是在區(qū)間［a，b］上的連續(xù)函數(shù)。對于t∈［a，b］，按正弦周期律拓展的階為α(α＞0)的左右分?jǐn)?shù)階積分定義為

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個廣義坐標(biāo)qk(k=1，…，n)來確定，系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L=L( τ ，q，q˙)。按照El-Nabulsi提出的非保守力學(xué)系統(tǒng)建模的類分?jǐn)?shù)階變分方法［9］，類分?jǐn)?shù)階變分問題定義如下:

求積分泛函

在固定邊界條件

上述變分問題稱為基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階變分問題，泛函 (3)又可稱為基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量，當(dāng)α=1時，上述問題成為經(jīng)典的力學(xué)系統(tǒng)的變分問題。

對上式第二部分分部積分，并利用邊界條件 (4)，我們有

將式 (6)代入式 (5)，有

由積分區(qū)間［a，b］的任意性，我們得到

式 (8)可稱為基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階d'Alembert-Lagrange原理。原理 (8)既適用于完整約束系統(tǒng)，也適用于非完整約束系統(tǒng)。

對于完整約束系統(tǒng)，δqk(k=1，…，n)是相互獨立的，因此由式 (8)得出

方程 (9)是完整約束系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange 方程［9］。

2 類分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量的變分

引進無限小群變換

其展開式為

其中εσ(σ=1，…，r)為無限小參數(shù)，，為無限小群變換的生成元或生成函數(shù)。

類分?jǐn)?shù)階作用量 (3)在變換前后的差為

對于任意函數(shù)F，其非等時變分Δ與等時變分δ之間有關(guān)系［10］

于是有

由式 (15)，式 (13)可表為

由式 (11)和 (15)，上式可進一步表為

公式 (13)和 (17)是類分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分的基本公式。

3 類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換

下面我們來建立基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換的定義和判據(jù)。

定義2 如果類分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量 (3)是無限小群變換 (10)的不變量，即對每一個無限小變換，始終成立

則稱無限小變換是類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換。

由定義2和變分公式 (13)，我們有如下判據(jù)。

判據(jù)1 對于無限小群變換 (10)，如果滿足條件

則變換是系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換。

由定義2和變分公式 (17)，我們有如下判據(jù)。

判據(jù)2 對于無限小群變換 (11)，如果滿足條件

則變換是系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換。

利用關(guān)系

并考慮到無限小參數(shù)εσ的獨立性，則式 (19)可表為r個方程

式 (22)亦可作為系統(tǒng)對稱變換的判據(jù)。當(dāng)取r=1時，式 (22)可稱為類分?jǐn)?shù)階Noether等式

其次，我們來建立類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換的定義和判據(jù)。

設(shè)L′是另外的Lagrange函數(shù)，如果變換 (10)精確到一階小量滿足條件

則稱類分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量 (3)是無限小群變換 (10)下的準(zhǔn)不變量。由此確定的L′和L具有同樣的運動微分方程，則變換稱為類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換，有

將式 (25)代入式 (24)，得到

式 (26)的左端在變換 (10)下是一階小量，因此，其右端應(yīng)為同階小量，可用ΔG代替G，而

因此有

定義3 如果類分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量 (3)是無限小群變換 (10)的準(zhǔn)不變量，即對每一個無限小變換，始終成立

其中G=G(τ，q，)，則稱無限小變換是類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換。

由定義3和公式 (13)，我們得到如下判據(jù)。

判據(jù)3 對于無限小群變換 (10)，如果滿足條件

則變換 (29)是類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換。

由定義3和公式 (19)，我們得到如下判據(jù)。

判據(jù)4 對于無限小群變換 (11)，如果滿足條件

則變換是類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換。其中

利用關(guān)系 (21)， (31)，并考慮到εσ的獨立性，則式 (29)可表為r個方程

式 (32)亦可作為系統(tǒng)準(zhǔn)對稱變換的判據(jù)，函數(shù)Gσ=Gσ(τ，q)稱為規(guī)范函數(shù)。當(dāng)取r=1時，式(32)給出類分?jǐn)?shù)階Noether等式

利用判據(jù)1和判據(jù)2可以判斷所論系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱性，利用判據(jù)3和判據(jù)4可以判斷所論系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱性。

4 完整系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether定理

首先，基于上述類分?jǐn)?shù)階動力學(xué)模型，給出完整系統(tǒng)的守恒量定義。

定義4 函數(shù)Iτ，q，˙( )q稱為完整系統(tǒng) (9)的守恒量，當(dāng)且僅當(dāng)沿著完整系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程 (9)的解曲線恒成立

對于完整系統(tǒng)，如果能找到其類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換或準(zhǔn)對稱變換，便可找到與之相應(yīng)的守恒量。有如下定理:

定理1 對于完整系統(tǒng) (9)，如果無限小群變換 (11)是定義2意義下的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，則系統(tǒng)存在r個線性獨立的守恒量，形如

證明 因為無限小群變換是系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，由定義2，有，即

將方程 (9)代入上式，由積分區(qū)間的任意性和參數(shù)εσ的獨立性，得到

積分之，便得式 (35)。證畢。

定理2 對于完整系統(tǒng) (9)，如果無限小群變換 (11)是定義3意義下的類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換，則系統(tǒng)存在r個線性獨立的守恒量，形如

定理1和定理2可稱為完整系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether定理。由Noether定理可知，對于完整約束系統(tǒng)，如能找到系統(tǒng)的一個類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換或準(zhǔn)對稱變換，便有可能得到系統(tǒng)的一個守恒量。

例 平面Kepler問題的Lagrange函數(shù)為

試研究其基于按正弦周期律拓展的分?jǐn)?shù)階積分的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱性與守恒量。

首先，尋找類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換。類分?jǐn)?shù)階廣義Noether等式 (32)給出

方程 (40)有解

生成元 (41)對應(yīng)于系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱變換，生成元 (42)對應(yīng)于系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對稱變換。

由定理1，相應(yīng)于生成元 (41)，系統(tǒng)存在如下守恒量

式 (43)是我們得到的系統(tǒng)的類分?jǐn)?shù)階Noether對稱性 (35)導(dǎo)致的守恒量。

由定理2，相應(yīng)于生成元 (42)，守恒量式(35)給出

因此，對應(yīng)生成元 (42)的無限小變換是平庸的。

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