拋物方程方法的非均勻網(wǎng)格技術(shù)研究

張青洪 廖 成 盛 楠 陳伶璐

(西南交通大學(xué)電磁場(chǎng)與微波技術(shù)研究所，四川 成都 610031)

引 言

近年來(lái)，對(duì)流層電波傳播問(wèn)題的研究引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，特別是大氣波導(dǎo)對(duì)通信系統(tǒng)、雷達(dá)系統(tǒng)以及電子系統(tǒng)的影響已成為各國(guó)學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)[1-5].

拋物方程(Parabolic equation,PE)方法可以同時(shí)處理復(fù)雜大氣結(jié)構(gòu)和不規(guī)則地形對(duì)電波傳播的影響，能在相同距離點(diǎn)上計(jì)算不同高度的電波衰減值，因而PE既能預(yù)測(cè)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)之間的路徑傳播損耗，也可以進(jìn)行區(qū)域電磁特性覆蓋預(yù)測(cè)，是目前計(jì)算對(duì)流層電波傳播問(wèn)題最為準(zhǔn)確、有效的模型之一[6].

自20世紀(jì)40年代Leontovich和Fock[7]首次提出PE方法以來(lái)，雖然人們?cè)诓粩嗟匮芯啃矢?、?zhǔn)確性好、穩(wěn)定性強(qiáng)的PE數(shù)值解法，但都是基于均勻網(wǎng)格來(lái)實(shí)現(xiàn)的[8-9].若整個(gè)計(jì)算域皆采用一致性細(xì)網(wǎng)格來(lái)描述，則勢(shì)必占用過(guò)多的計(jì)算資源和較長(zhǎng)的運(yùn)算時(shí)間，這對(duì)于一些偵察遠(yuǎn)距離目標(biāo)的雷達(dá)系統(tǒng)，將很難滿(mǎn)足其實(shí)時(shí)性的要求；若采用一致性粗網(wǎng)格來(lái)描述，則會(huì)給PE的計(jì)算帶來(lái)較大的誤差.基于此，本文研究了PE的非均勻網(wǎng)格技術(shù)，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，提高其計(jì)算效率.

目前，PE的數(shù)值解法主要有分步傅里葉解法(Split-Step Fourier Transform,SSFT)和有限差分解法[10-11].在大尺度傳播環(huán)境中，SSFT可方便地用于計(jì)算傳播空間媒質(zhì)變化、地形起伏變化及地表電磁參數(shù)變化等條件下的電波傳播問(wèn)題[12].另外，相對(duì)于有限差分解法，SSFT是一種采用了快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)技術(shù)的頻域算法，在步進(jìn)求解過(guò)程中，其步長(zhǎng)幾乎不受波長(zhǎng)的限制，因此適合與非均勻網(wǎng)格技術(shù)相結(jié)合.本文將采用SSFT研究PE的非均勻網(wǎng)格技術(shù)，并利用該技術(shù)求解復(fù)雜大氣結(jié)構(gòu)中不規(guī)則地形上的電波傳播問(wèn)題以及研究非整格點(diǎn)上的場(chǎng)值求解方法，同時(shí)將計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)PE進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該算法的高效性.

1 拋物方程的非均勻網(wǎng)格技術(shù)

設(shè)電磁場(chǎng)時(shí)諧因子為e-iωt，在直角坐標(biāo)系(x,y,z)下，假設(shè)ψ為任意場(chǎng)分量，且與y無(wú)關(guān)，則對(duì)于水平極化波，只有Ey為非零的電場(chǎng)分量，即ψ(x,z)=Ey(x,z)；對(duì)于垂直極化波，只有Hy為非零的磁場(chǎng)分量，即ψ(x,z)=Hy(x,z).在電波傳播過(guò)程中，ψ滿(mǎn)足二維標(biāo)量波動(dòng)方程[13]

(1)

式中：k0為真空中的傳播常數(shù)；n為媒質(zhì)的折射率.定義沿x軸正向傳播的波函數(shù)為

u(x,z)=e-ik0xψ(x,z)，

(2)

將u(x,z)代入波動(dòng)方程(1)中可得

(3)

假設(shè)在電波傳播過(guò)程中折射指數(shù)n不隨距離x變化，將式(3)分解化簡(jiǎn)可得前向拋物方程

(4)

式中：Q為偽微分算子，且

(5)

由于存在偽微分算子Q，在復(fù)雜的邊界條件下方程無(wú)法得到解析解，必須對(duì)Q作近似處理，通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求解.采用Feit-Fleck近似[14]，可以得到Feit-Fleck型寬角PE方程為

ik0(n-1)u(x,z).

(6)

利用SSFT算法求解可得

(7)

SSFT是一種步進(jìn)算法，因此必須先計(jì)算場(chǎng)的初始值才能步進(jìn)求解.拋物方程初始場(chǎng)的求解公式為

ug(x0,z)

sin(pz)dp).

(8)

式中：A(p)為發(fā)射天線(xiàn)的方向圖函數(shù)，且p=k0sinα；Ht為天線(xiàn)的高度；R為地面的反射系數(shù)，計(jì)算公式如式(9)

(9)

2 數(shù)值算例

2.1 水平地面電波傳播特性仿真及分析

為了驗(yàn)證PE方法非均勻網(wǎng)格技術(shù)的有效性，本文先仿真了電波在水平地面上的傳播特性，并將其仿真結(jié)果與采用均勻細(xì)網(wǎng)格及雙射線(xiàn)法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

圖1為電波傳播至50.04 km處不同高度上的傳播因子.由圖1可知：PE采用非均勻網(wǎng)格技術(shù)計(jì)算的結(jié)果與采用均勻細(xì)網(wǎng)格及雙射線(xiàn)法計(jì)算的結(jié)果吻合很好，由此驗(yàn)證了拋物方程非均勻網(wǎng)格技術(shù)的有效性.

圖1 電波傳播50.04 km時(shí)不同高度上的傳播因子

表1為分別采用均勻細(xì)網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格時(shí)PE計(jì)算所需要的網(wǎng)格空間(水平網(wǎng)格數(shù)×高度網(wǎng)格數(shù))和計(jì)算時(shí)間對(duì)比.

表1 網(wǎng)格空間和計(jì)算時(shí)間對(duì)比

從表1可以看出：采用非均勻網(wǎng)格技術(shù)的PE節(jié)省了計(jì)算所占用的內(nèi)存空間和所需時(shí)間，提高了計(jì)算效率.

2.2 標(biāo)準(zhǔn)大氣結(jié)構(gòu)中不規(guī)則地形上的電磁特性模擬及分析

本算例計(jì)算了一個(gè)包含不規(guī)則地形、標(biāo)準(zhǔn)大氣結(jié)構(gòu)等復(fù)雜環(huán)境的電磁特性，具體的參數(shù)設(shè)置如下：

1) 發(fā)射源信息

發(fā)射天線(xiàn)高25 m，發(fā)射頻率為1 GHz，天線(xiàn)水平極化，其方向圖為2.1所述的高斯方向圖函數(shù)，其中：θbw=3°.

2) 環(huán)境信息

假設(shè)地面上大氣為標(biāo)準(zhǔn)大氣.地表的相對(duì)介電常數(shù)為15，導(dǎo)電率為0.03 S/m，地形剖面如圖2所示，其中尖峰A高度H1= 50 m，距發(fā)射站 3.04 km，尖峰B高度H2=80 m，距發(fā)射站8 km，尖峰C高度H3=80 m，距發(fā)射站10 km，正弦山峰D的地形函數(shù)為

-ω

(10)

式中：h=150 m；x1=16 km；w=1 km.

圖2 地形剖面圖

本算例中非均勻網(wǎng)格劃分的標(biāo)準(zhǔn)為：在有不規(guī)則地形存在的區(qū)域采用細(xì)網(wǎng)格，而其它區(qū)域采用粗網(wǎng)格.圖3和圖4為分別采用均勻粗網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格計(jì)算得到的全空間電波傳播因子分布偽彩圖.

圖3 采用均勻粗網(wǎng)格時(shí)空間傳播因子偽彩圖

圖4 采用非均勻網(wǎng)格時(shí)空間傳播因子偽彩圖

由圖3和圖4可知：PE采用均勻粗網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果中忽略了第一個(gè)尖峰的影響，且對(duì)地形的體現(xiàn)也比較粗糙，而采用非均勻網(wǎng)格則能更好地描述地形對(duì)電波傳播的影響，其計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確.

圖5為電波傳播至20.04 km時(shí)不同高度上的傳播因子輸出，并將其與PE采用均勻細(xì)網(wǎng)格及均勻粗網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.

圖5 電波傳播至20.04 km處不同高度上的傳播因子

由圖5可知：PE采用均勻粗網(wǎng)格時(shí)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生了較大誤差，而采用非均勻網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果與采用均勻細(xì)網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果吻合很好，且其計(jì)算結(jié)果更精確.

表2為分別采用均勻細(xì)網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格時(shí)拋物方程網(wǎng)格空間(水平網(wǎng)格數(shù)×高度網(wǎng)格數(shù))及計(jì)算時(shí)間對(duì)比.

表2 網(wǎng)格空間和計(jì)算時(shí)間對(duì)比

由表2可知：在本算例中，相對(duì)于均勻細(xì)網(wǎng)格而言，采用非均勻網(wǎng)格技術(shù)后，PE的網(wǎng)格數(shù)下降達(dá)68%，計(jì)算時(shí)間減少了71%.這表明采用非均勻網(wǎng)格技術(shù)的PE既保證了計(jì)算精度，又極大地減少了計(jì)算所占的內(nèi)存和時(shí)間，具有高效性.

2.3 非整格點(diǎn)上的電場(chǎng)值求解

圖6中，r和r+Δx在整格點(diǎn)上，D點(diǎn)位于非整格點(diǎn)上.

圖6 非整格點(diǎn)網(wǎng)格示意圖

傳統(tǒng)的PE計(jì)算過(guò)程中，非整格點(diǎn)處的場(chǎng)值一般是通過(guò)前后二格點(diǎn)處的場(chǎng)值線(xiàn)性插值得到，具體的插值方法為

(11)

通過(guò)采用非均勻網(wǎng)格技術(shù)來(lái)計(jì)算，具體就是在D處取Δx=D-r，這樣就相當(dāng)于把D轉(zhuǎn)換到整格點(diǎn)上，進(jìn)而求解.

采用2.2節(jié)中綜合環(huán)境的算例，計(jì)算了電波傳播至20 km時(shí)不同高度的衰減.

圖7為不同距離處的網(wǎng)格步長(zhǎng)分布圖.

圖7中非均勻網(wǎng)格采取的最小步長(zhǎng)為20 m，最大步長(zhǎng)為160 m，需要得到20 km處不同高度的場(chǎng)值.由于距離20 km不在整格點(diǎn)上，故它步長(zhǎng)單獨(dú)處理，此時(shí)Δx=40 m.

圖8為采用非均勻網(wǎng)格PE計(jì)算的結(jié)果與采用線(xiàn)性插值及均勻細(xì)網(wǎng)格計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖，算例中均勻細(xì)網(wǎng)格步長(zhǎng)值為20 m，此時(shí)計(jì)算距離剛好處在整格點(diǎn)上.

由圖8可知：PE采用非均勻網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果與采用均勻細(xì)網(wǎng)格計(jì)算的結(jié)果一致，比線(xiàn)性插值結(jié)果更準(zhǔn)確，因此更適合于求解非整格點(diǎn)上的場(chǎng)值.

圖7 非均勻網(wǎng)格步長(zhǎng)分布圖

圖8 電波傳播至20 km時(shí)不同高度傳播因子對(duì)比

3 結(jié) 論

研究了拋物方程方法的非均勻網(wǎng)格技術(shù)，并結(jié)合典型對(duì)流層環(huán)境的電波傳播問(wèn)題對(duì)其有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證.實(shí)例仿真了復(fù)雜大氣結(jié)構(gòu)中不規(guī)則地形上的電波傳播特性，并將計(jì)算精度、計(jì)算時(shí)間等與均勻網(wǎng)格拋物方程結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.結(jié)果表明，采用非均勻網(wǎng)格的PE既具有良好的精度,又能減少計(jì)算內(nèi)存和時(shí)間，具有綜合優(yōu)勢(shì)，這對(duì)快速而準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)電磁波在復(fù)雜環(huán)境中的傳播特性具有重要的意義.

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