反Hermite矩陣方程

袁學帥,李 園

(內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)學學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

反Hermite矩陣方程

袁學帥,李 園

(內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)學學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043)

在有Hermite矩陣方程解的存在性條件的基礎上討論了反Hermite矩陣方程解的存在性條件，并給出了相應的解的表達式.

計算數(shù)學；Hermite矩陣方程；反Hermite矩陣方程；解的存在性

Hermite矩陣是復數(shù)域中一類特殊的矩陣, 它在控制論、經(jīng)濟管理、電子技術等領域都有廣泛的應用，關于它的研究已經(jīng)取得了豐富的結果.楊昌蘭等[1-2]討論了數(shù)域上以下矩陣方程的求解：

XAY=A

(1)

其中A是非退化矩陣.得出了如下的結果：

引理1 設A為非退化矩陣，P為任意矩陣，且使A+P和A-P均為非退化矩陣，則:

X=(A+P)(A-P)-1

(2)

Y=(A+P)-1(A-P)

(3)

是方程(1)的解.

引理2 設A為非退化矩陣.X，Y為方程(1)的解，且X+E和X-E為非退化矩陣，則存在矩陣P，使A+P和A-P均為非退化矩陣，且式(2)，(3)成立，這里E為單位矩陣.

隨著應用的需要和研究的深入，近年來已經(jīng)有許多文獻對Hermite矩陣的進一步推廣作了研究.2006年，羅兵等[3]研究了一類次Hermite矩陣方程的求解.2009年，尹景本等[4]研究了一類廣義Hermite矩陣方程的求解.2012年，鄭建青[5]研究了一類擬次Hermite矩陣方程的求解.2010年，嚴益水等[6]研究了二次Hermite矩陣方程的解.2012年，袁暉坪等[7]研究了二次廣義Hermite矩陣方程的解.本文對Hermite矩陣的研究作進一步的推廣，討論了反Hermite矩陣方程解的存在性條件，并給出了相應解的表達式.

1 主要結果

下面討論復數(shù)域上矩陣方程:

X*AX=A

(4)

的一般解，這里A為反(斜)Hermite矩陣.X*表示X的共軛轉置.

熟知，復矩陣A稱為Hermite的，如果A*=A；A稱為反(斜)Hermite的，如果A*=-A.

主要結果如下：

定理1 設A是非退化復斜Hermite矩陣，P為Hermite矩陣，使A+P,A-P均為非退化，則:

K=(A+P)-1(A-P)

(5)

為方程(4)的解.

證明K*=(A-P)*((A+P)-1)*=(A*-P*)(A*+P*)-1=(-A-P)(-A+P)-1=(A+P)(A-P)-1.

定理2A為非退化復斜Hermite矩陣，K為方程(4)的非退化解，且E+K和E+K-1均為非退化矩陣，則K形如式(5)，其中P為一個Hermite矩陣.

證明由于K*AK=A,令:

P=A(E-K)(E+K)-1

(6)

下面證明P為Hermite矩陣.P*=((E+K)-1)*(E-K)*A*=(E+K*)-1(E-K*)A*.

由于K*AK=A，得K*=AK-1A-1，故：

因為(K+E)(K+E)-1(K-E)=K-E,故：(K+E)-1(K+E)(K-E)=K-E.

又由于(K+E)(K-E)=(K-E)(K+E)，因而得到：(K+E)-1(K-E)(K+E)=K-E，(K+E)-1(K-E)=(K-E)(K+E)-1.

故(K+E)-1和K-E可換，可推出：P*=A(E-K)(E+K)-1.

故P為Hermite矩陣.

故A+P為非退化矩陣，由式(6)，P(E+K)=A(E-K)，因而：P+PK=A-AK，(A+P)K=A-P.所以K=(A+P)-1(A-P)，K形如式(5)，且P為Hermite矩陣，證畢.

以下考慮方程:

XAX=A

(7)

其中X為Hermite矩陣解.

定理3 設A為非退化復斜Hermite矩陣，P為任意Hermite矩陣，且使A+P和A-P均為非退化，滿足AP=-PA，則：K=(A+P)-1(A-P)為方程(7)的Hermite矩陣解.

證明由定理1，K=(A+P)-1(A-P)為X*AX=A的解，下面證明K*=K,即K為方程(7)的Hermite解.

事實上，由AP+PA=0,可得:A2+AP+PA+P2=A2-AP-PA+P2，(A+P)2=(A-P)2，即：

(A+P)-1(A-P)=(A+P)(A-P)-1

(8)

故而由定理1的證明，由式(8)得：K*=(A+P)(A-P)-1=K.證畢.

作為定理3的逆向定理，有：

定理4 設A為非退化復斜Hermite矩陣，K為方程(7)的非退化Hermite解，且E+K和E-K-1均為非退化矩陣，且K形如：K=(A+P)-1(A-P).且適合AP+PA=0.

證明由于K*=K,故K*AK=A,K為(4)的解，由定理2，故K形如:K=(A+P)-1(A-P).

其中P為Hermite矩陣.由K*=K，由定理2的證明:(A+P)-1(A-P)=(A+P)(A-P)-1.

故而(A+P)2=(A-P)2，即：A2+AP+PA+P2=A2-AP-PA+P2，即AP+PA=0.

[1] 楊昌蘭.一個二次矩陣方程的解[J].工科數(shù)學,1997,13(1):129-130.

[2] 楊昌蘭,王龍波.Hermite矩陣方程[J].數(shù)學研究與評論,2004,24(3):500-502.

[3] 羅兵,宋乾坤.次Hermite矩陣方程[J].大學數(shù)學,2006,22(5):160-162.

[4] 尹景本,曹建兵.廣義Hermite矩陣方程[J].河南科技學院學報,2009,37(1):70-72.

[5] 鄭建青.擬次Hermite矩陣方程的解[J].大學數(shù)學,2012,28(5):90-93.

[6] 嚴益水,楊忠鵬,陳清華.關于二次Hermite矩陣方程的解的注記[J].福建師范大學學報,2010,26(1):1-5.

[7] 袁暉坪.二次廣義Hermite矩陣方程的解[J].吉林大學學報,2012,50(2):281-283.

[8] 袁暉坪,李慶玉.二次廣義Hermite矩陣方程[J].山東大學學報,2012,47(2):74-77.

InverseHermiteMatrixEquation

YUAN Xue-shuai,LI Yuan

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

Yang discussed the existence conditions of the solution of Hermite matrix equation. This paper discusses the conditions for the existence of solutions of the inverse Hermite matrix equation based on Yang. and gives the expression of the solution of inverse matrix equation.

computational mathematics；Hermite matrix equation；inverse Hermite matrix equation；existence of solution

2013-06-12.

內(nèi)蒙古自然科學基金項目(2011MS0114).

袁學帥(1986-)，男，碩士，主要從事計算數(shù)學的研究.

O156.1

A

1008-8423(2013)03-0285-02