中學(xué)數(shù)學(xué)解題途徑六法

摘 要：“良好的方法能使我們更好地發(fā)揮運用天賦的才能，而拙劣的方法可能阻礙才能的發(fā)揮?！睌?shù)學(xué)習(xí)題類型繁多，技巧靈活，不可能總結(jié)出一套普遍適用的解題法則.一些結(jié)構(gòu)簡單的問題，通過精心的聯(lián)想就能找到合 數(shù)學(xué)習(xí)題類型繁多，技巧靈活，不可能總結(jié)出一套普遍適用的解題法則.一些結(jié)構(gòu)簡單的問題，通過適當(dāng)?shù)穆?lián)想就能找到合理的解題途徑；而結(jié)構(gòu)復(fù)雜，抽象多變的數(shù)學(xué)題，需要在聯(lián)想的基礎(chǔ)上，聯(lián)合運用解題方法和技能技巧，才能逐步探求解題線索.本文以各種數(shù)學(xué)思維方法作指導(dǎo)，總結(jié)出六種中學(xué)數(shù)學(xué)解題的途徑，供同仁們參考.

一、枚舉尋徑法

有些數(shù)學(xué)問題中包含著多種可能情形，難以用一個算式完成解答.這時可以根據(jù)問題的條件，把各種可能情況一一列舉分別予以考查，從而完成原題的解答.這是完全歸納法在解題中的具體運用.在枚舉各種可能情況時，要充分利用劃分的思想，做到既不重復(fù)，又不遺漏.

例1.就k的不同取值，討論方程x2+（k-1）y2-3ky+2k=0代表何種曲線.

思考方法：這是一道解析幾何的討論題，枚舉k值的各種情況，就是對k值進行劃分.為此應(yīng)用二元二次方程的判別式ΔB2-4AC可以從定型和定位入手，對k進行二次劃分.

略解：ΔB2-4AC=02-4×1×（k-1）=4（1-k）.

若Δ>0，即k<1時，方程代表雙曲線形.當(dāng)k<-8或0

若Δ=0，即k=1時，方程代表拋物線形.此時方程為x2=3（y-■）即表示頂點在（0，■），對稱軸為y軸，開口向上的一條拋物線；

若Δ<1，即k>1時，方程代表橢圓形.當(dāng)12時，表示長軸平行于x軸的橢圓.

二、特殊探索法

當(dāng)一個問題無法入手時，我們不妨先考慮一下這個問題的特殊情況，當(dāng)特殊情況得到解決的辦法時，往往會對一般的解法有所啟示，從而探明解題方法.特殊法是不完全歸納法在解題中的靈活運用.

例2.在△ABC中，AB=AC，證明BC邊上的任意一點P到其他兩邊的距離和是一個定值.

思考方法：定值多少不知道，而P又是BC上的任意一點是導(dǎo)致解題困難的原因.把點P取為一個特殊點B，試一試看.

證明：當(dāng)點P就是B點時，它到兩邊距離之和就是AC邊上的高BD.任取BC邊上一點P，由點P分別向AC、AB作垂線，垂足分別是E、F，現(xiàn)在只需證PE+PF=DB即可.作PG//AC，交BD于點G，于是PE=GD，且∠FBP=∠C=∠CPB，從而Rt△PGB≌Rt△PFB，因而PF=BG，于是，PE+PF=BG+GD=BD.證畢.

三、逆推嘗試法

有些數(shù)學(xué)問題，條件和結(jié)論之間的關(guān)系比較復(fù)雜，直接從已知條件入手有時會在途中迷失方向，使解題無法進行下去.在這種情況下，不妨按照下面的途徑來逆推：（1）假設(shè)結(jié)論成立，看看可以推出什么性質(zhì)；（2）想一想推出的性質(zhì)和結(jié)論是不是互逆的，如果可逆，那么推出的性質(zhì)可以作為結(jié)論的“需知”；（3）進而考查推出的性質(zhì)和條件在邏輯上有什么必然的聯(lián)系，從而使解題的方向逐步明確.逆推法是分析法在探索解題途徑中的運用.

例3.在△ABC中，若sinA，SinB，SinC成等差數(shù)列，求證：cot（■），cot（■），cot（■）也成等差數(shù)列.

思考方法：假設(shè)結(jié)論成立，即有cot（■）+cot（■）=2cot（■）……（1）而由條件可推得sinA+sinC=2sinB……（2），為證得結(jié)論成立，只需由（2）推出（1）.

證：由已知條件得，sinA+sinC=2sinB即2sin[■]cos[■]=

2sin（A+C）

由此得2sin[■]cos[■]=4sin[■]cos[■]，而sin[■]≠0.

得cos[■]=2cos[■]，移項得，cos[■]-cos[■]=cos[■]，即2sin（■）sin（■）=sin（■）（3），又cot（■）+cot（■）=

■+■=■=■=■=2cot（■），故命題得證.

四、變更問題法

數(shù)學(xué)是一個有機的整體，它的各部分之間相互聯(lián)系，相互滲透，為問題的轉(zhuǎn)化提供了有利的條件.有些數(shù)學(xué)問題使用通常方法難以奏效時，可以根據(jù)題設(shè)及其特點把問題轉(zhuǎn)化為另一種易于求解的形式，從而尋求原題的解題途徑.

例4.已知a■+b■=1，求a2+b2.

思考方法：用常規(guī)進行思考，將遇到困難.但觀察已知等式可得，1-≤b≤1，且a、b中至少有一個為正數(shù).于是不妨設(shè)a=sinα， 0≤a≤■，b=sinβ，-■≤β≤■.將問題轉(zhuǎn)換為三角問題.

解：a=sinα，0≤α≤■，b=sinβ，-■≤β≤■.

由題設(shè)得sinα cosβ+cosα sinβ=1，即sin（α+β）=1

因為-■≤α+β≤π，所以α+β=■，α=■-β，

故a2+b2=sin2α+sin2β=sin2（■-β）+sin2β=cos2β+sin2β=1.

五、數(shù)形結(jié)合法

直角坐標(biāo)平面和極坐標(biāo)平面上的點與曲線，復(fù)平面上的點和向量，它們都與有序?qū)崝?shù)對或方程與之對應(yīng).這種對應(yīng)奠定了數(shù)形結(jié)合的理論基礎(chǔ).“數(shù)離形時缺直覺，形缺數(shù)時難入微”.一般來說，與方程、函數(shù)、不等式、復(fù)數(shù)及三角有關(guān)的問題，運用“形”這個直觀模型，常有變中求定，動中求靜，化難為易之作用.

例5.解不等式4■<2-■

思考方法：如果采用純代數(shù)方法解，將要分多種情況討論，而且計算量大，采用數(shù)形結(jié)合，則能克服上述弊端.

解：令y1=4■，y2=2-■即求y1

的解集為[-2，■][■，2].

六、化簡條件法

有些數(shù)學(xué)問題，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不太容易入手。這時可以簡化題中的某些已知條件，甚至?xí)簳r撇開不管，先開了一個簡化命題.這種簡化問題，對于解答原題，常常能起到穿針引線的作用.簡化條件法是類比法在解題中的具體運用.

例6.設(shè)a，b，c均是非負(fù)實數(shù)，且a+b+c=1.又設(shè)x1，x2，x3均為正數(shù)，且y1=ax1+bx2+cx3，y2=bx1+cx2+ax3，y3=cx1+ax2+bx3

求證：y1y2y3≥x1x2x3.

思考方法：本題條件比較復(fù)雜，注意到x1，x2，x3；y1，y2，y3具有輪換對稱的特點，我們可以把原題減少一個變量，考慮下面的簡化命題：

設(shè)a，b是均非負(fù)實數(shù)，且a+b=1，又設(shè)x1x2均為正數(shù)，且y2=bx1+ax2.求證：y1y2≥x1x2.

簡化后的命題比原命題要簡單得多，顯然有y1y2=（ax1+bx2）（bx1+

ax2）=ab（x21+x22）+（a2+b2）x1x2≥2abx1x2+（a2+b2）x1x2

=（a+b）2x1x2=x1x2

化簡后的命題與原命題的結(jié)構(gòu)完全一致，于是上述證明途徑，可用以指導(dǎo)原題的證明.應(yīng)用均值不等式、三數(shù)和的立方公式及不等式的性質(zhì)不難證明原題。

化簡命題法體現(xiàn)了解題中“進”與“退”的辯證思想，當(dāng)“進”有困難時，不妨?xí)簳r退下來，退到容易看清楚問題的地方，看透了，認(rèn)準(zhǔn)了，然后再前進.

關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)的解題途徑，絕不止上述六種。教師在傳授知識的同時特別在例題的教學(xué)中，要不時時機地滲透數(shù)學(xué)思想，總結(jié)解題方法和揭示解題途徑.這樣，對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，形成一定的數(shù)學(xué)能力有著極其重要的意義.

參考文獻：

王仲春，李元中.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論.高等教育出版社，1989.

（作者單位 新疆維吾爾自治區(qū)霍城縣第二中學(xué)）理的解題途徑；而結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)學(xué)題一般需要聯(lián)合運用多種解題方法和技巧，才能探求解題線索。以各種數(shù)學(xué)思維方法作指導(dǎo)，結(jié)合教學(xué)實踐，總結(jié)出六種中學(xué)數(shù)學(xué)解題的途徑，供數(shù)學(xué)愛好者參考。

關(guān)鍵詞：解題途徑；數(shù)學(xué)思維方法；枚舉法；逆推嘗試法；數(shù)形結(jié)合法；變更問題法