二十世紀(jì)混合數(shù)學(xué)教科書的先河——《布利氏新式算學(xué)教科書》之考察

陳 婷，呂世虎

（1.蘭州城市學(xué)院 教育學(xué)院 基礎(chǔ)教育研究所，甘肅 蘭州 730070；2.西北師范大學(xué) 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

中國翻譯的第一套經(jīng)教育部審定通過的初中混合數(shù)學(xué)教科書，當(dāng)屬由美國數(shù)學(xué)教育家芝加哥大學(xué)的喬治·布利氏（E. R. Breslich）教授編撰的《布利氏新式算學(xué)教科書》（Breslich’s General Mathematics）.該套教科書共 3冊，1920年起陸續(xù)譯出，由商務(wù)印書館出版.該套教科書的翻譯對(duì)當(dāng)時(shí)中國初中混合編排教科書的編寫產(chǎn)生了重大影響，20世紀(jì)20年代中國自編的3套混合數(shù)學(xué)教科書都是在模仿此書的基礎(chǔ)上編撰而成.但它所蘊(yùn)含的意義由于原始版本的珍貴而塵封在故紙堆中沒有得到相應(yīng)的重視.文章通過對(duì)該套教科書的編寫背景、教科書提綱、體例特點(diǎn)的回顧，以便從中汲取有益的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，對(duì)今天的課程改革提供一些啟示和借鑒.

1 背景分析

20世紀(jì)初，在歐美掀起的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng)中，廢棄了以形式陶冶說為基礎(chǔ)的分科主義的數(shù)學(xué)教育，倡導(dǎo)了融合主義（混合主義）的數(shù)學(xué)教育.其理由有以下兩點(diǎn)：第一，分科主義的數(shù)學(xué)是枯燥無味的、困難的，不符合學(xué)生的能力.第二，在對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)地考察時(shí)，分科主義數(shù)學(xué)的作用非常有限，而融合主義的數(shù)學(xué)將發(fā)揮更好的作用[1].

在這種改革背景下，美國數(shù)學(xué)教育家、芝加哥大學(xué)的喬治·布利氏教授根據(jù)美國數(shù)學(xué)會(huì)“中學(xué)算學(xué)教授法須徹底改造”的建議，進(jìn)行“數(shù)科融合教授”實(shí)驗(yàn)后，于1906年打破幾何、代數(shù)、三角的界限，統(tǒng)一編寫了《布利氏新式算學(xué)教科書》[2].當(dāng)時(shí)是這樣介紹此書的，“以學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)心理為根據(jù)，由實(shí)驗(yàn)推原理，自原理定證法，用圓周法以明代數(shù)幾何三角之關(guān)系，可以說是 20世紀(jì)中等數(shù)學(xué)教育的新作”[3].日本將此書譯為《數(shù)學(xué)新主義》，中國自1920年起陸續(xù)譯出該教科書，由商務(wù)印書館出版.第一編于1920年由徐甘棠譯，壽孝天校對(duì)；第二編于1922年5月由王自蕓譯，壽孝天校對(duì)；第三編于1924年8月由文亞文、唐楩獻(xiàn)譯述.供初中3個(gè)年級(jí)6個(gè)學(xué)期來使用，均為大三十二開本，封面樸實(shí)無圖案，印刷清晰、裝幀精美，書背印有書名、出版社.1923年1月經(jīng)教育部審定，將此書作為中等學(xué)校及甲種實(shí)業(yè)學(xué)校算術(shù)科教學(xué)用書.教育部審定批語如下：“呈及不利氏新式算學(xué)教科書第一二冊，均悉查，是書獨(dú)開蹊徑，融合代數(shù)幾何三角各法，鋸元提要，會(huì)通發(fā)揮，憑人事相關(guān)之問題解滯澀易忘之公式，批隙道窮曲類旁通，能使學(xué)者造詣?dòng)谒阈g(shù)之境可獲舉一反三之效，其去墨守陳規(guī)，僅據(jù)理論法敷設(shè)之舊籍，實(shí)不可以道里計(jì)，第二編所述幾何三角各題，隨事引證，不拘一格，極運(yùn)用變化之理至若措詞之淺顯習(xí)題之結(jié)構(gòu)條分比節(jié)允稱完備，譯筆亦復(fù)明朗修潔，準(zhǔn)予審定作為中等學(xué)校及甲種實(shí)業(yè)學(xué)校算術(shù)科用書.十二年一月三十一日”[4].

2 教科書提綱

【第一編】

第一章 直線；第二章 加法減法；第三章 方程；第四章 角；第五章 面積體積，乘法；第六章 角偶；第七章 平行線，空間中之線與平面；第八章 量空間之線，相似形；第九章 比例，變數(shù)，等比例；第十章 相合之三角形；第十一章 求作、對(duì)稱、圓；第十二章 正數(shù)、負(fù)數(shù)、號(hào)例；第十三章 加法及減法；第十四章 乘法及除法；第十五章 特別積，劈因數(shù)，二次方程；第十六章 一次方程函一未知數(shù)之題；第十七章 含兩個(gè)或多個(gè)未知數(shù)之直線方程；第十八章 公式；第十九章 溫習(xí)及補(bǔ)題.

【第二編】

第一章 已授之假設(shè)，定理，求作法；第二章 證題法；第三章 消元法；第四章 四邊形，角柱表面，二面角；第五章 等比例線段；第六章 等比例，劈因數(shù)，變數(shù)；第七章 相似多邊形；第八章 三角形各邊之關(guān)系，二次方程，根數(shù)；第九章 三角比、根數(shù)，含兩元之方程；第十章 圓形；第十一章 用弧量角法；第十二章 圓內(nèi)之等比例線段；第十三章 演算分?jǐn)?shù)法；第十四章 不等式；第十五章 空間之線與平面，角，球體；第十六章 軌跡，會(huì)合線；第十七章 內(nèi)接，外切，圓周長度；第十八章 面積，字母方程，劈因數(shù)；第十九章 多邊形，圓，面積之等比例.

【第三編】

第一章 函數(shù) 含一元之方程；第二章 三角函數(shù)；第三章 一次方程；第四章 含一元之二次方程；第五章 劈因數(shù)法 分?jǐn)?shù)；第六章 指數(shù)，根數(shù)，無理方程；第七章 對(duì)數(shù) 計(jì)算尺；第八章 三角形之解法 對(duì)數(shù)；第九章 幾角諸函數(shù)間之關(guān)系；第十章 二項(xiàng)定理 級(jí)數(shù)；第十一章 含兩元之方程系；第十二章 表面之面積；第十三章 體積；第十四章 多面角，四面體，球面多邊形；第十五章 前兩編幾何學(xué)定理及假說提要.

3 教科書分析

3.1 教科書的整體結(jié)構(gòu)

這套教科書的編排正如其名——“混合”，將算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角等在內(nèi)容上相互獨(dú)立，但彼此之間有著千絲萬縷聯(lián)系的內(nèi)容，組成一個(gè)系統(tǒng).譯者在序言前對(duì)該書這樣評(píng)價(jià)道：“近世教授算學(xué)，多墨守舊法，算術(shù)幾何三角，累級(jí)而升，唯恐損越各科初級(jí)淺理雖多，然步驟既困，自難融會(huì)，聰明是塞，日力遂廢，是書編撰，獨(dú)出心裁，融合各法會(huì)通發(fā)揮，有盡去陳滓一爐而治之妙，實(shí)教科書至精之本.”這套教科書對(duì)教師和學(xué)生的要求都比較高，要求教師有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和基礎(chǔ)，因?yàn)橹R(shí)都采用“混合”編排，所以教師自己必須對(duì)各分支知識(shí)都特別熟悉，更要求教師理解各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，才能幫助學(xué)生融會(huì)貫通.由于當(dāng)時(shí)也有很多學(xué)校教師水平參差不齊，一些師資力量相對(duì)薄弱，生源質(zhì)量較差的學(xué)校采用“混合”教法有一些實(shí)際的困難，所以當(dāng)時(shí)也出現(xiàn)了一些反對(duì)的聲音.現(xiàn)將這套教科書的整體結(jié)構(gòu)介紹如下.

《布利氏新式算學(xué)教科書 第一編》是初中第一年的算學(xué)課本，重點(diǎn)講授代數(shù)知識(shí)，同時(shí)將幾何等內(nèi)容融會(huì)貫通于其中.使學(xué)生在一年的學(xué)習(xí)中，掌握一些最基本的代數(shù)、幾何公式，會(huì)解包含兩三個(gè)未知數(shù)的方程.其中19章內(nèi)容中幾何內(nèi)容占了8章.

《布利氏新式算學(xué)教科書 第二編》是初中第二年的算學(xué)課本，重點(diǎn)講授平面幾何知識(shí)，同時(shí)將代數(shù)、三角等內(nèi)容融會(huì)貫通于其中，也將立體幾何融合在平面幾何中講授.第二編開始之前，專設(shè)第一章，對(duì)第一編中所講到的幾何知識(shí)全部進(jìn)行羅列，對(duì)于沒有學(xué)過第一編的學(xué)生而言，可以當(dāng)成學(xué)習(xí)綱目，依次序重新學(xué)習(xí)，而對(duì)于已經(jīng)學(xué)過第一編的學(xué)生可當(dāng)成一次系統(tǒng)的復(fù)習(xí).平面幾何的知識(shí)，在這一編中全部講完，與第一編相比，幾何知識(shí)更注重理論證明.本編繼續(xù)第一編講解三角函數(shù)，用三角函數(shù)解直角三角形及其它一些實(shí)用性很強(qiáng)的問題，以及各種函數(shù)之間的關(guān)聯(lián).

《布利氏新式算學(xué)教科書 第三編》是初中第三年的算學(xué)課本，是在前兩編的基礎(chǔ)上，講授完成中等學(xué)校學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)的代數(shù)學(xué)、三角學(xué)與立體幾何學(xué).本編的主要目的是貫徹融合的主張，在各門數(shù)學(xué)內(nèi)容中，取關(guān)系密切的內(nèi)容，融合教授.例如要解三角的問題，必以對(duì)數(shù)為工具，而要討論對(duì)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，必先講授指數(shù)定理.給出了二元一次方程組和一元二次方程的多種解法.例如用行列式解二元一次方程組；用消元法解多元一次方程組；用高階行列式解多元一次方程組.用代入法，消元法，分解因式法，消常數(shù)法，換元法等解二元二次方程組.具體的方法解各種方程組，比用抽象的計(jì)算更為明晰，而且便于記憶.這一冊的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的重要思想，同時(shí)利用方程解決實(shí)際問題的能力得到進(jìn)一步加強(qiáng).第三編的最后一章，復(fù)習(xí)了之前所學(xué)的幾何概念、公理和定理，既可作為第三編學(xué)習(xí)時(shí)的參考，又可作為學(xué)習(xí)完第三編之后的復(fù)習(xí).這樣設(shè)置的目的一方面為了學(xué)習(xí)的便利，便于學(xué)習(xí)者對(duì)于已學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，避免了翻閱其它書的麻煩.最主要的原因是為了讓學(xué)生對(duì)整個(gè)3編中所學(xué)到的幾何知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的把握，避免學(xué)到的只是一些零散的幾何知識(shí).重要的數(shù)學(xué)公式表，則附于書末.

3.2 教科書的特點(diǎn)

3.2.1 內(nèi)容豐富

這套教科書采用混合編制，涉及到了算術(shù)、代數(shù)、幾何和三角的各個(gè)方面，內(nèi)容豐富.編者在“原序一”中指出這種混合編制的好處：“① 取算學(xué)各科性質(zhì)最相近可互相發(fā)明者.貫串出之，習(xí)算之難，可釋然無余.② 是書經(jīng)同學(xué)教員評(píng)議討論，刪繁增要，務(wù)求明達(dá)，雖無閱歷之講師，亦能按序指授，無有凝滯，蓋編次之良美，實(shí)臻實(shí)驗(yàn)之絕頂也.③ 心理研究，學(xué)務(wù)所重，是書取材，恰與學(xué)生心理相應(yīng)，手捧耳聆，自能領(lǐng)悟.”最后總結(jié)道：“總而言之，實(shí)津逮初學(xué)之興趣，啟發(fā)思力之秘論也……此種編制之利益，在按心理的論理的原則，連續(xù)發(fā)展學(xué)者對(duì)于數(shù)學(xué)之疑識(shí)，其使學(xué)者領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之意義與實(shí)用及科學(xué)的性質(zhì)，教之分門學(xué)習(xí)，自然更加明了.此結(jié)果引起學(xué)者具繼續(xù)研究數(shù)學(xué)之傾向.”這種編排有助于學(xué)生理解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，還能激發(fā)他們觸類旁通，舉一反三，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)聯(lián)想能力.

這套書的另一個(gè)突出特點(diǎn)就是習(xí)題豐富，在習(xí)題的設(shè)置中，大都是講一兩個(gè)概念或定理之后就安排至少5道習(xí)題，讓學(xué)生在掌握了基本結(jié)論之后將其運(yùn)用于解決具體問題.作者尤其重視學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的培養(yǎng)，在應(yīng)用題方面用了很大篇幅，在每一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)的講解后都安排各種實(shí)際問題.

這套教科書每章末都附加提要，這既可以使學(xué)生對(duì)于本章內(nèi)容有系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)，而且容易指導(dǎo)學(xué)生記憶及復(fù)習(xí).例如，《布利氏新式算學(xué)教科書 第一編》第二章“加法減法”結(jié)束后有以下提要：本章所授各項(xiàng)；本章所用記號(hào)；本章所用的公理；本章所用的例子的類型等.每卷的卷末都附有日常計(jì)算必要的各種數(shù)值表，實(shí)用主義色彩很濃厚.

3.2.2 注重代數(shù)與幾何之間的融合并突出數(shù)形結(jié)合思想

這套教科書從第一編開始講授幾何與代數(shù)，基本上都以“代形參伍并授，時(shí)合時(shí)分，全看數(shù)理上的可能”.努力把代數(shù)知識(shí)、幾何知識(shí)有機(jī)地“復(fù)合”為一個(gè)整體，達(dá)到你中有我，我中有你的效果，而不是僅僅“混合”，你還是你，我還是我.例如“在多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”一節(jié)中，對(duì)于式子分別用長方形的面積解釋，即a+b、c+d分別為長方形兩邊之長.

這樣的處理很巧妙，整套書中這樣的例子比比皆是.這種混合編排，可以做到數(shù)形結(jié)合，使得有些知識(shí)顯得生動(dòng)形象，前后銜接自然.能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生明了各科之間相互的關(guān)聯(lián)，能夠在龐雜零碎的數(shù)學(xué)知識(shí)中得到有機(jī)統(tǒng)一的觀念[2].杜佐周認(rèn)為，“利用這種方法排列教科書，學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)一科，必可更加有趣味；所得到的知識(shí)及技能，必可更加切于實(shí)用；個(gè)性方面的不同，亦必可更加容易補(bǔ)救.再者，用這種方法教學(xué)，無論學(xué)生將進(jìn)而研究高深數(shù)學(xué)或其他各種職業(yè)，都可得到相當(dāng)?shù)囊嫣?即使學(xué)生有中途輟學(xué)的，亦可無遺漏之恨.”[5]

這套教材在幾何內(nèi)容的處理上基本打破了歐氏幾何公理體系，考慮更多的是知識(shí)點(diǎn)之間的銜接與融合，即如何實(shí)現(xiàn)由代數(shù)、幾何、三角的融合與過渡.但從幾何內(nèi)容的分布來看，重視幾何內(nèi)容的編排.正如編者在“原序一”中指出，“是編多述幾何，引人入勝，且能令學(xué)者舍入門之力，拾級(jí)而上，升堂入奧，直造玄妙.”

3.2.3 注重多學(xué)科內(nèi)容的整合

在這套教科書中一方面穿插了許多歷史知識(shí)，書內(nèi)插入大量歷史注釋和歷史人物，目的是擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.例如，《布利氏新式算學(xué)教科書 第一編》共插有13幅名人像傳，分別是奈端（Sir Isaac Newton, 1642—1727）；偉熱他（Francois Viet, 1540—1603）；歐幾里得（Euclid, 約公元前 330—公元前 275））；兌喇士（Tales, 公元前640—公元前542）；華利士（John Wallis, 1616—1703）；派達(dá)哥喇士（Pythagoras，公元前569—公元前500）；亞奇米德（Archimedes, 公元前287—公元前212）；佗達(dá)基利亞（Nicolo Tartaglia; 1500—1557）；巴斯加（Blaise Pascal, 1623—1662）；利安拿度（Leonardo of Pisa, 1175—1250)；拉果蘭諸（Joseph Louis Lagrange, 1736—1813）；笛卡爾（1596—1650）；哀拉（Leonhard Euler, 1707—1783）.《布利氏新式算學(xué)教科書 第二編》共插有3幅名人像傳，分別是喀萊（Felix Klein, 1849—1925）；弗而馬（Pierre de Fermat, 1601—1665）；哥斯（Carl Friedrich Causs, 1777—1855）.《布利氏新式算學(xué)教科書 第三編》共插有6幅名人像傳，分別是，來本之（Gottfried Wilhelm Leibnitz, 1646—1716）；羅華德雨（Guillaume Francois Antoine L’ Hopital, 1661—1704）；孟杰（Gaspard Monge, 1746—1818）；納白雨（John Napier，1550—1617）；卡但（Cardan, 1501—1576）；賈法利利（Bonaventura Cavalieri, 1598—1647）.對(duì)每一個(gè)歷史人物介紹他們的生平以及在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn).

這套教科書中也插入了一些地理知識(shí)，物理現(xiàn)象，社會(huì)現(xiàn)象等，它們以不同的方式出現(xiàn)，有些出現(xiàn)在例題中，有些出現(xiàn)在習(xí)題中以及知識(shí)點(diǎn)的講解中.這些內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生在接受到數(shù)學(xué)方法和思維訓(xùn)練的同時(shí)開拓視野，也說明數(shù)學(xué)在生活中無處不在.

4 結(jié) 束 語

回顧中國翻譯的第一套初中混合數(shù)學(xué)教科書，能給中國現(xiàn)在的基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革以許許多多的啟示.正如羅德建在“傅種孫先生在北京師大附中”一文中指出的，“為什么上世紀(jì)二三十年代的數(shù)學(xué)教育能培養(yǎng)出那么多社會(huì)的棟梁之材，我想無論是那個(gè)時(shí)候的教師，教材，還是教法都是值得現(xiàn)在的我們?nèi)ド钏己涂偨Y(jié)的.”[6]當(dāng)然，《布利氏新式算學(xué)教科書》也存在不足，例如，對(duì)數(shù)學(xué)的“整體性”考慮不足，把幾種知識(shí)混為一體，學(xué)生難以學(xué)到系統(tǒng)的知識(shí)；難度過大，中學(xué)生接受困難等.所以，該教科書使用伊始，就引來了一些批評(píng)的聲音.例如，余潛修認(rèn)為，“該書材料太多，用作初中的教科書似乎有些不恰當(dāng)，并且有許多地方不適合于中國的國情.”[7]匡互生于1924年3日11日撰寫了“評(píng)中國現(xiàn)有的三部混合算學(xué)教科書”一文（刊載于1924年《春暉中學(xué)?？返谖迤冢?，著力批評(píng)當(dāng)時(shí)中國教育界一些教育家，不作認(rèn)真研究而盲目主張仿效外國辦法，實(shí)行初中算學(xué)課混合教授，并詳細(xì)剖析了當(dāng)時(shí)僅有的一個(gè)譯本《布利氏新式算學(xué)教科書》的種種謬誤，指出盲目提倡混合算學(xué)和譯著不嚴(yán)肅，誤人子弟的不當(dāng)[8].因此，混合教學(xué)的嘗試道路中還有大量的事情需要探索.例如，如何提高師資水平，以適應(yīng)混編教科書教學(xué)的需要；如何打造一支混合數(shù)學(xué)教科書的編寫隊(duì)伍，將算術(shù)、代數(shù)、幾何、三角等各個(gè)數(shù)學(xué)分支進(jìn)行恰當(dāng)而合理的融合，而不是拼盤式的混合；如何發(fā)揮考試的指揮棒作用，使得混合數(shù)學(xué)教科書有效實(shí)施等，詳細(xì)論述可參見文[9].但瑕不掩瑜，作為中國翻譯的第—套混合數(shù)學(xué)教科書，是20世紀(jì)中國初中數(shù)學(xué)首次進(jìn)行混合教學(xué)改革的前奏，是對(duì)數(shù)學(xué)教育界分科教學(xué)的一次沖擊.它所蘊(yùn)含的意義正待有識(shí)之士的進(jìn)一步挖掘和研究.

[1] 松宮哲夫.中國初中數(shù)學(xué)混合教授法的歷史和現(xiàn)狀（日本）[J].數(shù)學(xué)教育研究，1994，（24）：147-150.

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[3] 張奠宙.中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)史略[M].南寧：廣西教育出版社，1993.

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[5] 杜佐周.數(shù)學(xué)的心理[J].教育雜志，1926，18（5）：1-12.

[6] 羅德建.傅種孫先生在北京師大附中[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2008，（2）：11-25.

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[9] 陳婷.20世紀(jì)20年代末中國初中混合數(shù)學(xué)教科書考察[J].教育學(xué)報(bào)，2010，6（2）：48-53.