應用型本科院校線性代數(shù)教學改革的幾點構想

凌和良，萬冰蓉

（南昌工程學院 理學系，江西 南昌 330099）

《線性代數(shù)》是應用型本科非數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎理論課，也是研究生考試的一個重要組成部分，長期以來它已形成了一個比較科學的課程體系和比較穩(wěn)定的內容體系，但隨著時代的發(fā)展、科技的進步，它已不能很好地適應現(xiàn)代社會的要求.這就要求我們在教學過程中尋求一種新的模式，在教學方面有必要進行改革嘗試.根據多年來學生學習線性代數(shù)普遍反應出來的：線性代數(shù)內容抽象、枯燥難學這一問題，我們在線性代數(shù)的教學過程中進行了幾點教學改革嘗試，收到了預期的效果.

1 把線性代數(shù)的概念與實際背景、幾何直觀相結合

學生學習線性代數(shù)過程中往往感覺抽象，主要是集中在其概念的抽象上.有些概念往往會讓初學者感到莫名其妙.如一般線性代數(shù)教材中線性代數(shù)的第一個概念行列式，學生就不知為什么要那樣定義？其實質又是什么？矩陣的乘法運算又為什么是那樣的計算方法？更不用說對線性空間的定義了.一般教材都是從抽象到抽象的定義，這樣教學對大多數(shù)應用型本科院校學生是較抽象的.上課過程中學生似乎聽懂，但拿起題來卻不會做，更不用說解決實際問題了，長此下去學生最終會感到學習枯燥無味，喪失學習興趣.

其實，線性代數(shù)有很強的實際背景，它與空間解析幾何有密不可分的關系，線性代數(shù)中的許多問題可視為空間解析幾何問題在n維空間的推廣.線性代數(shù)中的許多概念，如行列式、向量的線性相關性、矩陣的秩等都有很強的實際背景和幾何直觀.以行列式的定義為例，一般來講，教材上行列式的定義有三種定義方法：公理化定義、遞歸法定義和表達式法定義.但無論哪一種定義方法，初學者都會感到抽象難懂.其實，行列式的幾何背景很直觀，不過是空間平行多面體的“體積”而已.

如二維空間中用幾何的方法求兩個向量的和要構造一個平行四邊形,這個平行四邊形的面積正好是以其兩個生成向量為列構成的二階行列式的值.同樣可以用中學立體幾何的方法求出由如下三個向量α1=(2,0,2)T,α2=(3,3,1)T,α3=(-1,0,1)T所生成的三維空間中的平行六面體的體積為12.再構造以這三個生成向量為列的三階行列式:

它的值正好是12.推廣到一般，n階行列式可以看作它的各列向量生成的n維多面體的體積,這是一個很直觀的背景.不僅如此,行列式的性質都可以在平面上通過圖形來直觀表示.例如用一個數(shù)k去乘行列式的一列等于用k去乘行列式這一代數(shù)性質,從幾何上看,就是表示原平行四邊形的某條邊延長為原來的k倍,從而該平行四邊形的面積也為原面積的k倍；行列式等于零即面積為零,就是這個平行四邊形退化到一條線上了,也就是構成平行四邊形的兩條邊的向量線性相關.如果進一步分析生成向量的旋轉方向與代數(shù)面積的正負之間的關系,則可以解釋交換行列式的行與列對行列式的值的影響等等.通過這樣處理教學內容,學生對行列式的定義及性質就會有一個更直觀且明晰的認識，不再感到抽象了.

2 把線性代數(shù)內容教學與實際問題相結合，滲透數(shù)學建模的思想

數(shù)學素質是科技人才科學素質的重要組成部分.高科技本質上是一種數(shù)學技術.任何高新技術的進步或突破都往往與數(shù)學在某一方面的成就緊密相關,沒有良好的數(shù)學素養(yǎng)已無法進行科學技術的創(chuàng)新.數(shù)學建模是把數(shù)學應用于實際的有效途徑,我們培養(yǎng)的各類專業(yè)科技人才,應該具有將他所涉及的專業(yè)實際問題建立數(shù)學模型的能力,這樣才能在實際工作中發(fā)揮更大的創(chuàng)造性.現(xiàn)在,數(shù)學建模還沒有成為各工科院校的一門必修課,雖然有每年一次的“大學生數(shù)學建模競賽”,但參加者畢竟是學生的一小部分,很多學生對“建?！蓖?充滿了神秘感,認為進行數(shù)學建模必須具有高深的數(shù)學知識,甚至有的學生不知何為建模.我們提供一些“建?！钡乃夭?穿插在教材之中,使學生在理解數(shù)學概念的同時,培養(yǎng)其“建模”和應用數(shù)學的意識.例如在講解線性方程組的過程中，我們可以插入關于線性回歸的數(shù)學建模的案例教學:

例：根據經驗，運輸企業(yè)的業(yè)務收入同廣告費支付、營業(yè)網點數(shù)之間具有相關關系.某運輸企業(yè)1994年至2003年的業(yè)務收入和廣告費支出、營業(yè)網點數(shù)的資料如下表所示：

企業(yè)業(yè)務收入、廣告費支出、營業(yè)網點數(shù)表

問：如果2004年該企業(yè)的廣告費支出為35萬元，營業(yè)網點數(shù)為34個，預測企業(yè)2004年的商品銷售額.

（1）建立線性方程.從表中可以看出，商品銷售額與廣告費支出、營業(yè)網點數(shù)兩個因素均存在相關關系.所以擬合得到二元線性回歸方程：

式中參數(shù)a、b1、b2用統(tǒng)計當中的最小二乘法推算，即

有關數(shù)據的計算結果如下表所示：

將相關數(shù)據代入上述方程組，得到

解方程組，得到

數(shù)據計算結果表

所以，二元線性回歸方程為y贊=6.9285+0.35x1+0.965x2，將x1=35，x2=34代入方程，可以預測出2004年商品銷售額為51.9885百萬元.

3 把線性代數(shù)中的某些內容與數(shù)學軟件相結合，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力

線性代數(shù)中最耗時間和精力的是繁雜的高階行列式的計算、高階矩陣的運算、解線性方程組.我們在教學過程中借助現(xiàn)代技術和數(shù)學軟件Matlab給學生提供簡單易掌握的應用程序，這樣既節(jié)約了學生大量的計算時間，又為學生將來的工作和學習打下了更好的基礎.

4 結束語

以上幾個方面，是我們進行線性代數(shù)課程教學改革的基本思想，在確保原有課程體系和內容的基礎上，融入上述內容，在教學的過程中不僅有抽象的理性訓練，而且還加強學生運用線性代數(shù)知識解決實際問題能力的培養(yǎng)，激發(fā)學生的學習興趣，對整體提高線性代數(shù)教學質量會起到很好的作用.

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