矩陣初等變換的應(yīng)用

梁萌

(駐馬店高級技工學校，河南 駐馬店 463000)

初等變換法是線性代數(shù)中最基本的方法之一。初等變換法是線性代數(shù)中最基本的方法。在解決線性問題時具有步驟簡單、運算量小、易于掌握等優(yōu)點。矩陣的初等變換被普遍用于以下方面:求矩陣的逆矩陣、矩陣的秩以及解線性方程組等。本文闡述了初等變換在多項式理論、向量空間以及二次型等方面的重要應(yīng)用，將有利于全面理解矩陣初等變換乃至高等代數(shù)的思想。

1 矩陣初等變換

矩陣初等變換包括矩陣初等列變換和矩陣初等行變換。［1］

初等列變換是指對于數(shù)域F上的矩陣A=(aijm×n)作以下三種類型的變換:(1)交換矩陣的兩列;(2)以非零數(shù)k乘以矩陣的某一列;(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上。

同理可定義矩陣初等行變換。

2 矩陣初等變換的應(yīng)用舉例

2.1 利用初等變換求n個多項式的最大公因式

我們在求多項式的最大公因式時一般采用的是輾轉(zhuǎn)相除法，而輾轉(zhuǎn)相除法的實質(zhì)就是反復利用帶余除法。設(shè)f(x)、g (x)為兩個多項式，

f(x)=q(x)g(x)+r(x)，(?(r(x)＜?(g(x)))。

如果引入多項式矩陣

則對其進行初等行變換可化為

由最大公因式的定義，可知矩陣初等行變換并不能改變兩個多項式的最大公因式。因此，我們可以利用矩陣的初等變換來求多項式的最大公因式。

定理1［2］設(shè)多項式矩陣

經(jīng)過初等行變換化為

則d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，且d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式。

證明:由于對多項式矩陣實行初等變換不會改變兩個多項式f(x)和g(x)的最大公因式，因此，多項式矩陣

經(jīng)過初等行變換化為:

d(x)=(d(x)，0)=(f(x)，g(x))。即存在一系列初等矩陣P1(x)，P2(x)，…，P1(x)使得:

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，其中d(x)為f(x)與g(x)的最大公因式。

我們可以將這個結(jié)論利用數(shù)學歸納法推廣到n個一元多項式的情形。

2.2 初等變換在向量空間中的應(yīng)用

2.2.1 初等變換求極大無關(guān)組

在求一組向量的極大無關(guān)組時，我們常用初等變換的方法，

定理3［3］設(shè)向量α1，α2，…，αn為m維列向量，矩陣A= (α1，α2，…，αn)經(jīng)初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，…，βn)，則α1，α2，…，αn的任一部分組αi1，αi2，…，αin與βi1，βi2，…，in的線性關(guān)系一致，即同時線性無關(guān)(或線性相關(guān))。

證明 (1)若αi1，αi2，…，αin線性相關(guān)，則矩陣(αi1，αi2，…，αin)的秩為r。而矩陣A經(jīng)初等行變換化為矩陣B時，矩陣(αi1，αi2，…，αin)就化為矩陣(βi1，βi2，…，βin)。因為初等變換不改變矩陣的秩，故矩陣(βi1，βi2，…，βin)的秩也是r。從而向量組βi1，βi2，…，βin線性無關(guān)。反之亦然。

(2)向量組 αi1，αi2，…，αin線性相關(guān)當且僅當矩陣(αi1，αi2，…，αin)的秩小于r，而矩陣(αi1，αi2，…，αin)經(jīng)初等行變換化為矩陣(βi1，βi2，…，βin)，故矩陣(βi1，βi2，…，βin)的秩也小于r，所以向量組βi1，βi2，…，βin也線性相關(guān)。反之亦然。

推論1 若矩陣A=(α1，α2，…，αn)經(jīng)初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，…，βn)，則向量組βi1，βi2，…，βin是向量組β1，β2，…，βn的極大無關(guān)組當且僅當向量組αi1，αi2，…，αin是向量組α1，α2，…，αn的極大無關(guān)組。

定理3［4］設(shè)α1，α2，…，αn為m維的秩為r的列向量組，不妨設(shè)前r個向量就是它的一個極大無關(guān)組，則矩陣A=(α1，α2，…，αn)經(jīng)一系列的初等行變換可化為矩陣

且對任j＞r，αj=b1jα1+b2jα2+…+brjαr。

2.2.2 判斷兩個向量組的等價性

設(shè)有兩個向量組A∶α1，α2，…，α5及B∶β1，β2，…，βt。若向量組B中每個向量都能由向量組A線性表出，那么稱向量組B能夠由向量組A線性表出。如果向量組A與向量組B能夠互相線性表出，那么稱這兩組向量等價。

定理4 若向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs均線性無關(guān)，則向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs等價當且僅當向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為s。

推論2 若向量組α1，α2，…，αs與向量組β1，β2，…，βs的秩均為r，則這兩個向量組等價的充分必要條件是向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩也為r。

由此可知，對于兩個具體的向量組，我們可以利用初等變換的方法驗證它們是否等價。

2.3 初等變換在二次型中的應(yīng)用

用非退化的線性替換化二次型為平方和與求對稱的雙線性函數(shù)在某基下的矩陣是對角陣屬于同一個問題，它們又都可歸結(jié)為這樣一個問題:已知n階矩陣A，求可逆矩陣C，使C' AC為對角陣。而且我們知道在數(shù)域P上，任一個對稱矩陣都合同于一個對角矩陣。

令C=P1P2…PS，其中Pi(i=1，2，…，s)為初等矩陣。從而C'=P's…P'2P'1，則

C'AC=P's…P'2P'1AP1P2…PS=D。(D為對角矩陣)

同樣C=EP1P2…PS，C'=P's…P'2P'1E。

值得指出的是，前兩種類型的初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣:P'(i，j)=P(i，j);P'(i(c))=P(i(c))，(c≠0)。因此A右乘P(i，j)左乘P'(i，j)，A右乘P(i(c))左乘P'(i(c))表明對A施相同的初等行與初等列變換。至于第三種類型的轉(zhuǎn)置矩陣:P' (i，j(k))=P(j，i(k))，因此右乘P(i，j(k))表明對A施第j列k被加到第i列的初等變換，而A左乘P'(i，j(k))相當于第i列的k倍加到第j列的變換。

由此得到求對稱矩陣A合同于對角矩陣D的初等變換法:

定理5［5］對任意的二次型f(x1，x2，…，xn)一定存在可逆線性替換X=CY將其化為標準形f(x1，x2，…，xn)=λ1y+λ2y+…+λny，其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩陣A的n個特征值，即存在可逆矩陣C使

3 結(jié)束語

利用矩陣的初等變換可以將高等代數(shù)中復雜的問題簡單化，使問題的求解更加方便。

［1］張志讓，劉啟寬.線性代數(shù)與空間解析幾何［M］.北京:高等教育出版社，2004.4.

［2］楊純富.矩陣的初等變換在多項式理論中的應(yīng)用［J］.重慶文理學院學報:自然科學版，2008，27(4):55-57.

［3］吳明芬.初等變換的應(yīng)用［J］.工科數(shù)學，2001，17(3): 93-96.

［4］楊子胥等.高等代數(shù)習題解(上冊)［M］.濟南:山東科技出版社，1987.

［5］王長群，趙振云，李夢如.線形代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2001.