基于計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的高斯公式分析

趙 炅， 桑 渤， 黃忠紅

(中國人民解放軍 72946部隊， 山東 淄博 255000)

在涉及地球橢球面和平面間的投影問題中，高斯-克呂格投影得到了廣泛的應(yīng)用，它是德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、大地測量學(xué)家高斯于19世紀(jì)20年代提出，后經(jīng)大地測量學(xué)家克呂格于1912年完善產(chǎn)生的[1].為了讓公式付諸實際運用，世界上許多測量學(xué)家都進(jìn)行了一系列的研究，德國學(xué)者巴烏蓋爾，保加利亞測量學(xué)者赫里斯托夫……，他們在理論和實踐上都豐富和發(fā)展了高斯—克呂格投影，并提出了實用的公式[2].

但是現(xiàn)代測繪學(xué)科對公式精度的要求使得已有的公式已不能滿足更高的計算需求，而且在作業(yè)過程中，特別是涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)層的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換工作中，由于公式精度的問題，使得前期的數(shù)學(xué)精度相對偏低，影響了后期的整體制圖精度.因此，如何提供更高精度的公式是一個重要的問題.利用赫里斯托夫法、待定系數(shù)法等方法進(jìn)行公式推導(dǎo)，在解算時涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，在沒有電子計算機(jī)的情況下處理這些問題是非常繁瑣的，而且基于手工推導(dǎo)的公式形式比較復(fù)雜，記憶也不方便.隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，借助日趨成熟的數(shù)學(xué)處理軟件，我們可以快捷地對這些領(lǐng)域中的復(fù)雜問題進(jìn)行處理，使推導(dǎo)的結(jié)果更準(zhǔn)確[3].由于諸如VC等編程方法難以有效地進(jìn)行公式推演，因此本文借助計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica對高斯公式進(jìn)行進(jìn)一步的推導(dǎo)，并進(jìn)行精度分析，以期得到更高精度的正反算公式[4].

1 高斯投影條件

高斯-克呂格投影又稱為等角橫切橢圓柱投影，是地球橢球面到平面上正形投影的一種[5].在高斯投影中，要求投影時滿足3個條件：

(1)正形條件.

(2)中央子午線投影為一直線.

(3)中央子午線投影后長度不變.

以上3個條件中，第1個條件是指主方向的長度比a=b，或者mL=mB，即滿足柯西黎曼微分方程.

對正算，有

(1)

對反算，有

(2)

2 高斯投影正算

正算就是橢球面元素到平面元素的投影計算，即由橢球面大地坐標(biāo)(L，B)計算高斯平面直角坐標(biāo)(x，y)的過程，已知橢球面到平面投影方程的一般形式是

(3)

根據(jù)高斯投影的3個條件，確定投影函數(shù)f1和f2的具體形式，進(jìn)而得到高斯正算公式.

在橢球面上，已知P點的大地坐標(biāo)為(L，B)，相應(yīng)的等量坐標(biāo)為(l，q)，高斯投影是在沿中央子午線東西各一定精度范圍內(nèi)的狹窄地帶進(jìn)行的，在每一個投影區(qū)域內(nèi)，對中央子午線的經(jīng)差l是不大的，一般在0°～3.5°范圍內(nèi)，其弧度值l/ρ為一微小量，所以可將上式中的函數(shù)展開成經(jīng)差l的冪級數(shù)，即

x=m0+m1l+m2l2+m3l3+m4l4+…

(4)

y=n0+n1l+n2l2+n3l3+n4l4+…

(5)

式中：m0，m1，m2…，n1，n2…等為待定系數(shù)，它們是等量緯度q的函數(shù).根據(jù)高斯投影的第1個條件，對上式求偏導(dǎo)得

(6)

根據(jù)正形投影條件，即柯西黎曼微分方程

(7)

得到

(8)

對n0，根據(jù)投影的第2個條件，中央子午線投影后為縱坐標(biāo)軸，得到

l=0→y=0→n0=0→m1=

n2=m3=n4=…=0

(9)

(4)式和(5)式就化簡為

x=m0+m2l2+m4l4+…

(10)

y=n1l+n3l3+…

(11)

對m0，根據(jù)第3個投影條件，即中央子午線投影前后長度不變，可知中央子午線上的點投影后的縱坐標(biāo)x等于投影前從赤道到該點的子午線弧長X，即l=0時，有

x=m0=X

(12)

根據(jù)(8)式，我們利用計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica推導(dǎo)，這里我們將系數(shù)限定到第8項，即系數(shù)項m8，得到

3 高斯投影反算公式

高斯投影反算，就是由高斯平面坐標(biāo)求大地坐標(biāo)的公式，即由高斯平面直角坐標(biāo)(x，y)計算橢球面大地坐標(biāo)(L，B)的過程，這時，投影方程是

(14)

根據(jù)高斯投影的第2個條件，得到級數(shù)式子為

(15)

對(15)式求偏導(dǎo)得

(16)

根據(jù)正形投影條件，得

(17)

由于同次冪的系數(shù)相等，因而有

(18)

(19)

這里，我們不再將等量緯度轉(zhuǎn)化為大地緯度，因為在進(jìn)行精度分析時，他們的精度都是一致的.

4 精度分析

4.1 理論分析

(1)正算的精度

(2)反算的精度

4.2 算例分析

為驗證公式和理論分析的正確性，分別用一般公式和本文精密公式，計算同組數(shù)據(jù)，通過結(jié)果比較驗證本文公式的正確性及精度.P點地理坐標(biāo)為L=118°32′47.268347″，B=35°49′22.836725″.

說明：L0=117°，西安橢球長軸6378140.028m，扁率1/298.257，y加常數(shù)為500km.

我們分別用一般公式和精密公式對該點進(jìn)行正解和反解計算，正解的計算結(jié)果見表1.由表1中高斯坐標(biāo)反算得到的經(jīng)緯度見表2.

由表2中試驗結(jié)果可知，采用精密公式試驗經(jīng)緯度精度優(yōu)于10-6″，明顯高于一般試驗結(jié)果.

5 結(jié)束語

本文利用計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica對高斯正反算進(jìn)行進(jìn)一步的推導(dǎo)，導(dǎo)出了更高精度的公式，其中，正算公式的精度的為10-5m，反算精度為10-6″.此公式在實際工作中能在一定程度上提高坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度，為制圖前期的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)層的準(zhǔn)備工作尤其是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換帶來一定的便利.另外此工具有效地解決了諸如VC等程序設(shè)計中難以進(jìn)行公式推導(dǎo)以及公式演化的問題.因此，利用數(shù)學(xué)軟件處理作業(yè)工作中此類問題的方法值得推廣.

[1]呂志平，張建軍.大地測量學(xué)基礎(chǔ)[M]. 北京:解放軍出版社， 2005.

[2]熊介.橢球大地測量學(xué)[M]. 北京:解放軍出版社，1988.

[3]劉大海.高斯投影復(fù)變換與Maple計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的實現(xiàn)方法[J]. 測繪科學(xué), 2011, 36(3):136-138.

[4]邊少峰，許江寧.計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與大地測量數(shù)學(xué)分析[M]. 北京:國防工業(yè)出版社，2004.

[5]何有生.高斯投影誤差的研究[J]. 硅谷, 2012(16):73-74.