總體最小二乘平差理論及其在測(cè)繪數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

魯鐵定

東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院，江西 南昌 330013

最小二乘法是測(cè)量數(shù)據(jù)處理的最基本、應(yīng)用最廣泛的方法，對(duì)于經(jīng)典的最小二乘法是只考慮觀測(cè)向量的誤差，假設(shè)系數(shù)陣沒有誤差或不考慮系數(shù)陣的誤差。然而系數(shù)矩陣包含誤差的情況在測(cè)量數(shù)據(jù)實(shí)踐中是存在的?？傮w最小二乘法旨在解決顧及系數(shù)矩陣誤差的一種數(shù)據(jù)處理方法?？傮w最小二乘理論自從Golub在1980年正式命名以來，在數(shù)學(xué)界掀起了研究熱潮，其應(yīng)用的領(lǐng)域越來越廣泛，諸如自動(dòng)控制、信號(hào)處理、圖像處理、醫(yī)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等。在測(cè)繪學(xué)科總體最小二乘的研究雖然近幾年剛開展，但是已受到越來越多學(xué)者的關(guān)注，正在成為測(cè)繪數(shù)據(jù)處理研究的熱點(diǎn)問題之一。

本文主要針對(duì)顧及系數(shù)矩陣誤差的總體最小二乘平差問題，結(jié)合測(cè)量數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，較為系統(tǒng)地研究了總體最小二乘平差的數(shù)學(xué)模型、平差準(zhǔn)則、解算公式、精度評(píng)定等，將總體最小二乘理論從數(shù)學(xué)界的解算方法歸入測(cè)量平差解算的理論體系，并對(duì)病態(tài)情形下的總體最小二乘平差進(jìn)行了較為詳細(xì)的研究，最后結(jié)合實(shí)例探討了具體應(yīng)用。

論文的主要結(jié)論和貢獻(xiàn)包括：

（1）矩陣分解作為解算總體最小二乘的主要方法，本文首先研究矩陣分解和測(cè)量平差模型解算的關(guān)系。對(duì)矩陣的QR分解和SVD分解相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了概括，給出了矩陣分解的廣義逆矩陣之間的關(guān)系；較為深入地探討了矩陣的QR分解和測(cè)量平差解算之間的關(guān)系，詳細(xì)推導(dǎo)了間接平差的QR分解解算公式、推導(dǎo)了最小二乘配置的QR分解解算公式、推導(dǎo)了最小二乘配置的SVD分解解算公式、推導(dǎo)了秩虧自由網(wǎng)的SVD分解解算公式；通過算例驗(yàn)證了推導(dǎo)的幾種平差模型矩陣分解解算公式的正確性和算法的有效性。

（2）在總結(jié)現(xiàn)有總體最小二乘問題解法的基礎(chǔ)上，對(duì)總體最小二乘的解算進(jìn)行進(jìn)一步研究。論文較為系統(tǒng)地總結(jié)了總體最小二乘問題的幾種解算方法，根據(jù)Schaffrin教授的方法，提出了一種簡(jiǎn)化的總體最小二乘平差數(shù)學(xué)模型、平差準(zhǔn)則，推導(dǎo)了解算公式；通過算例說明了算法的正確性。對(duì)于混合總體最小二乘（LS－TLS）問題，總結(jié)了數(shù)學(xué)上的SVD分解方法，提出了一種混合總體最小二乘問題的平差模型和平差準(zhǔn)則，推導(dǎo)了解算公式；通過算例說明了算法的正確性。研究了迭代比較解算方法和SVD分解解法的關(guān)系，從理論上證明該解算方法的等價(jià)性和一致性。

（3）針對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，研究約束和加權(quán)總體最小二乘平差問題?？偨Y(jié)了Schaffrin教授推導(dǎo)的附有約束條件的總體最小二乘解算公式，提出了一種簡(jiǎn)化的附有約束條件的總體最小二乘平差數(shù)學(xué)模型、平差準(zhǔn)則，推導(dǎo)了解算公式。對(duì)Schaffrin教授推導(dǎo)的加權(quán)總體最小二乘問題解算公式進(jìn)行了總結(jié)，進(jìn)一步論證了加權(quán)總體最小二乘迭代解算公式和SVD分解解法的關(guān)系，給出了兩者之間互相轉(zhuǎn)換的方法。推導(dǎo)給出了標(biāo)度總體最小二乘的迭代解算方法，證明了與SVD分解方法之間的等價(jià)性，當(dāng)α＝1時(shí)為總體最小二乘問題，當(dāng)α＝0或α→0時(shí)，為最小二乘問題。

（4）針對(duì)病態(tài)情形下的總體最小二乘平差問題，研究克服或削弱病態(tài)性的解法。論文推導(dǎo)了嶺估計(jì)計(jì)算公式，分析探討了嶺參數(shù)的選擇方法，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了分析?；赥ikhonov原理推導(dǎo)了病態(tài)情形下總體最小二乘的正則化解算公式。對(duì)于病態(tài)情形下的總體最小二乘平差問題，分析了截?cái)郤VD分解方法，通過算例分析提出了幾種截?cái)嘀祂的選擇方法。推導(dǎo)了病態(tài)情形下加權(quán)總體最小二乘問題的正則化方法和截?cái)嗥娈愔到馑闼惴ā?/p>

（5）最后結(jié)合測(cè)量實(shí)例，論文分析了總體最小二乘的應(yīng)用。探討了總體最小二乘在自回歸模型解算、反演數(shù)據(jù)處理、似大地水準(zhǔn)面基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換、地面激光掃描標(biāo)靶球定位中的應(yīng)用，比較了總體最小二乘與最小二乘在計(jì)算結(jié)果方面的異同，比較了解算精度。