考研數(shù)學(xué)中分段概率密度函數(shù)難點分析

李國棟 尚海濤

【摘 要】考研數(shù)學(xué)中概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分對于要求的概率密度是分段函數(shù)，找函數(shù)的分段點是一個難點，本文針對這一問題，結(jié)合考研真題給出了找分段點的方法以及求概率密度函數(shù)的步驟。

【關(guān)鍵詞】考研數(shù)學(xué)；概率密度；分段點

考研數(shù)學(xué)中概率論與數(shù)理統(tǒng)計部分關(guān)于求隨機變量概率密度函數(shù)的問題出現(xiàn)的頻率較高，求概率密度函數(shù)一般的方法是先求隨機變量的分布函數(shù)，再對分布函數(shù)求導(dǎo)得到概率密度函數(shù)，而對于要求的概率密度函數(shù)為分段函數(shù)時，求分布函數(shù)就必需找出分段點，而分段點的確定正是很多考生的難點，因此本文結(jié)合考研數(shù)學(xué)三的真題對求分段概率密度的問題進行分析希望能給廣大考生提供參考。

1.求一維隨機變量概率密度函數(shù)問題

在考研中求一維隨機變量的概率密度函數(shù)主要是考察求隨機變量函數(shù)的概率密度函數(shù)。當(dāng)為嚴格單調(diào)函數(shù)時，可以直接利用文獻[1]第51頁的定理來計算，而當(dāng)不是單調(diào)函數(shù)時，就通過先求分布函數(shù)，再對分布函數(shù)求導(dǎo)得到概率密度。

例1：（06年）設(shè)隨機變量的概率密度為：

求的概率密度函數(shù)

分析：在定義域內(nèi)不是的單調(diào)函數(shù)，不能直接用定理計算，因此采用先求分布函數(shù)的方法來求。因為隨機變量的概率密度函數(shù)為分段函數(shù)，因而的概率密度也應(yīng)該是分段函數(shù)，那么關(guān)鍵問題就是找出隨機變量的概率密度的分段點。

找分段點的方法：

（1）找出隨機變量概率密度函數(shù)的分段點從而確定的可能分段點，如例1中概率密度函數(shù)的分段點為-1、0、2，從而的可能分段點為1、0、4。

（2）找出隨機變量函數(shù)在隨機變量概率密度的非零區(qū)間的最小值和最大值，如例1中隨機變量概率密度的非零區(qū)間為，而在的最小值最大值分別為0和4。

（3）由（1）和（2）得到隨機變量概率密度函數(shù)的可能分段點為：1、0、4、0、4，綜合得的概率密度的可能分段點為0，1，4。

隨機變量的分段點找到后，只要對各個區(qū)間段分別求出分布函數(shù)，再對分布函數(shù)求導(dǎo)從而得到的概率密度。

如例1：解：（1）當(dāng)時，

（2）當(dāng)時，，

（3）當(dāng)時，

（4）當(dāng)時，

由（1）-（4）整理得隨機變量的分布函數(shù)

對的分布函數(shù)求導(dǎo)，得的概率密度函數(shù)

2. 求二維隨機變量概率密度函數(shù)的問題

考研當(dāng)中求多維隨機變量的概率密度一般是二維的，二維隨機變量求概率密度函數(shù)的問題主要有兩種類型，一種是求條件概率密度函數(shù)，一種是求兩個隨機變量函數(shù)關(guān)系的概率密度函數(shù)。

2.1求條件概率密度函數(shù)

例2（09年）.設(shè)二維隨機變量的概率密度為

求條件概率密度

分析：條件概率密度有具體的計算公式來求，難點在于變量的取值上下限。

解：由，因此先求

（1）是的概率密度，它是通過對聯(lián)合概率密度函數(shù)對求積分得到，因此要先確定的取值情況，再確定的積分上下限范圍。

當(dāng)時，；當(dāng)時，為非零，，即得：

（2）是在確定的條件下的概率密度，因此概率密度的定義域為的范圍，由于，因此的范圍需要根據(jù)和的定義域共同確定。

由于，所以不能為零，所以

當(dāng)時，因而不存在

當(dāng)時，

注：在求確定的條件下的概率密度函數(shù)時，要確定的取值范圍，而求出來的的范圍很可能是與有關(guān)的，有考生可能不太理解，這是因為是在確定的條件下，可以把看作確定的數(shù)。

2.2求兩個隨機變量函數(shù)關(guān)系的概率密度函數(shù)

求兩個隨機變量函數(shù)關(guān)系的概率密度函數(shù)有兩種類型，一種是兩個隨機變量都是連續(xù)型隨機變量，一種是兩個隨機變量一個是連續(xù)型的一個是離散型的。

2.2.1兩個隨機變量都是連續(xù)型的

例3（07年）.設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為

求的概率密度函數(shù)

分析：此題有兩種解法，一種方法就是用卷積公式；一種是用求概率密度函數(shù)的一般方法即先求的分布函數(shù)，再對分布函數(shù)求導(dǎo)，而求分布函數(shù)主要是計算高等數(shù)學(xué)中二重積分，在確定積分區(qū)域時，注意結(jié)合圖形來確定，些題解法略參考文獻[2]。

2.2.2兩個隨機變量一個是連續(xù)型的一個是離散型的

例4（08年）.設(shè)隨機變量相互獨立，的概率分布為，的概率密度為，求的概率密度函數(shù)

分析：本題也是二維求概率密度的問題，只是這兩個隨機變量一個離散一個連續(xù)，它們的聯(lián)合概率密度難以表示出來，可以通過全概率公式把離散型隨機變量消除，從而轉(zhuǎn)化為一維的情形。求這種類型的概率密度函數(shù)采用求概率密度的一般方法，先求分布函數(shù)。

解：由于是離散型的，是連續(xù)型的，因此通過全概率公式消去離散型隨機變量。

代入數(shù)值，得

（*）

從而的分布函數(shù)轉(zhuǎn)化為了的取值概率的問題，而的概率密度已知，因此需要討論的取值范圍根據(jù)的概率密度求出（*）式右邊的三個概率，從而得到的概率密度。那么關(guān)鍵就在于怎么對的取值進行劃分，使得這三個概率能夠計算出來。由于是關(guān)于隨機變量的取值概率的問題，因此需要從的概率密度函數(shù)出發(fā)。

（1）找隨機變量的概率密度函數(shù)的分段點：

a.先找出的概率密度函數(shù)的分段點：0，1

b.找出的概率密度的可能分段點：；；由這六個等式可得的可能取值為，即為可能分段點。

（2）根據(jù)分段點分別求解隨機變量的分布函數(shù)

a.當(dāng)時，有，則（*）式右邊的三項都為0，即

b.當(dāng)時，有則（*）式為

c. 當(dāng)時，有，則*式為

d.當(dāng)時，有，則（*）式為

e.當(dāng)時，有，則（*）式為

由a-e可得：，

從而得

注：此題最后通過計算發(fā)現(xiàn)，，的分布函數(shù)表達式是一樣的，因此，的分布函數(shù)可以用一個式子來表示.但是在計算過程中一定還是要按上述介紹的分段方法來計算，因為如果直接用計算時，在計算時，由于的取值范圍過大，跨越了隨機變量的概率密度函數(shù)的多個區(qū)間段從而無法計算這個概率。因此在找分段點的過程中其實就是確保分別只落在隨機變量的概率密度函數(shù)分段區(qū)間中的某一個區(qū)間中，從而計算各個概率。

3.小結(jié)

通過對一維和二維求分段的概率密度函數(shù)問題的討論，我們知道這類問題的關(guān)鍵在于找出所求概率密度函數(shù)的分段點。對于一維的主要是根據(jù)已知概率密度函數(shù)的分段點和非零區(qū)域的最大最小值來確定分段點；二維當(dāng)中對于一個是離散型一個是連續(xù)型的隨機變量，先通過全概率公式化為一維連續(xù)型隨機變量取值的情形，再通過連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)的分段點，找出所求隨機變量的概率密度所有可能分段點，目的就是使得在這些區(qū)間內(nèi)分布函數(shù)都能夠唯一的求解出來，如果求出所有的區(qū)間段的分布函數(shù)后有相同的情形，再合并。

參考文獻：

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]劉西垣，李永樂，袁蔭棠.北大燕園·2013年李永樂·李正元考研數(shù)學(xué)3：數(shù)學(xué)歷年試題解析[M].國家行政學(xué)院出版社，2012.

基金項目：

江西科技學(xué)院概率統(tǒng)計精品課程項目（kc1011）。

作者簡介：

李國棟（1986-）男，湖南瀏陽人，碩士，助教，主要從事金融數(shù)學(xué)的研究。