空間向量教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的點(diǎn)滴思考

陳先睿

【摘 要】在新課改的前提下，通過(guò)一段時(shí)間的具體教學(xué)實(shí)踐，我們發(fā) 現(xiàn)，學(xué)生對(duì)空間向量與立體幾何的內(nèi)容把握不盡人意.學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容沒(méi)有更加深刻的理解，導(dǎo)致學(xué)習(xí)中困難較大.為了改變這種現(xiàn)狀，我們?cè)诮虒W(xué)中呼吁關(guān)注數(shù)學(xué)的本原，關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知源泉，就是數(shù)學(xué)的思想方法.只有學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，才能從根源上解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的盲區(qū)，才能觸動(dòng)到數(shù)學(xué)的靈魂.本文通過(guò)對(duì)本章知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的分析，以?huà)伌u引玉帶動(dòng)我們關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。

【關(guān)鍵詞】思想方法；空間向量；問(wèn)題解決

在新教材選修2-1的第三章空間向量與立體幾何的教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握沒(méi)有想象的好.由此我進(jìn)行了反思，在教學(xué)中我加入了一些對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的專(zhuān)題輔導(dǎo)，從而有效的提升了學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的理解和掌握。具體而言，有以下的幾個(gè)方面的歸納：

一、方程的思想

方程思想是最基本的，也是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。它從對(duì)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系分析入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。[1]

問(wèn)題1.設(shè)，是空間兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，

已知

且A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的值。

解：∵A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴可設(shè)，

又∵

∴

∴

注：這里所說(shuō)的方程思想與我們常見(jiàn)的列方程（組）不同，我們要把一些看上去似乎與方程不發(fā)生明顯聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用方程的思想而巧妙地使問(wèn)題獲解。

問(wèn)題2. （09年寧夏、海南理科改編）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).若SD⊥平面PAC，問(wèn)側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由。[2]

分析：由題意知這是一個(gè)正四棱錐，可取底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，通過(guò)建坐標(biāo)系，設(shè)出底面邊長(zhǎng)，得到相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量構(gòu)造方程求解。

解：連接BD，設(shè)AC交BD于O，連接SO，由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示。

設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則OD=OC=OB=，SO=，

∴S（0，0，），B（，0，0），D（-，0，0），

C（0，，0），則=（-，，0），

=（，0，），=（0，-，）.

假設(shè)在側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC，

∵是平面PAC的一個(gè)法向量，設(shè)，則

又∵，∴

即當(dāng)SE：EC=2：1時(shí)，，又BE￠平面PAC.

∴側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.

注：這類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是利用向量坐標(biāo)運(yùn)算建立所求坐標(biāo)的方程，若方程有解，則點(diǎn)存在；否則，點(diǎn)不存在。

二、轉(zhuǎn)化和化規(guī)思想

轉(zhuǎn)化和化規(guī)思想，簡(jiǎn)單的說(shuō)就是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已解決的問(wèn)題。

問(wèn)題3.如下圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，

∠ACD=90，沿著它的對(duì)角線(xiàn)AC將折起，使AB與CD成60°角，求此時(shí)B，D的距離。[2]

分析；求B，D間的距離可以轉(zhuǎn)化為求向量的模，但向量的模無(wú)法直接求出，可以轉(zhuǎn)化為其他向量，注意折起后AB與AC，CD與AC的垂直關(guān)系沒(méi)有發(fā)生改變，可以充分利用這種關(guān)系。

解：∵∠ACD=90°，∴.同理.又∵AB與CD成60°角，或。

又∵，

∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)B，D間的距離為2；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)B，D間的距離為；

注意：此題在求BD的距離就是求，利用向量表示該向量時(shí)，要注意異面直線(xiàn)AB，CD的夾角為60°，而得夾角卻有60°或120°兩種可能。當(dāng)然，如果能結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想那么更能考慮更加全面?？梢?jiàn)，此題通過(guò)利用向量達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)的效果。

問(wèn)題4.已知正方體.

求證：平面∥平面

分析：在利用空間向量證明面面平行有兩種方法：

一是將面面平行轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)證明；二是求出兩平面的法向量，通過(guò)證明兩平面的法向量平行得證；也可將向量法和綜合法結(jié)合，從而避免了求平面法向量的繁雜計(jì)算。此題可分別求出平面和平面的法向量，證明兩個(gè)法向量平行即可。

解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（1，0，0），B（1，1，1），D（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），C（0，1，1）.設(shè)平面的法向量為。

∵，

∴，令，

可得平面的一個(gè)法向量為；

設(shè)平面的法向量為，

∵，

∴，令，

可得平面的一個(gè)法向量為；

∵，∴∥，∴平面∥平面。

注：法向量在空間立體幾何中的應(yīng)用是十分重要的。由于法向量的引入，使得在空間立體幾何中，處理線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行和垂直問(wèn)題以及一些距離問(wèn)題時(shí)，許多復(fù)雜的傳統(tǒng)方法可以不必使用或減少使用，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化處理，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化規(guī)思想。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想，主要包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老的，也是最基本的問(wèn)題，它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以相互轉(zhuǎn)化[1]。由于許多代數(shù)問(wèn)題、三角問(wèn)題，往往潛在著一定的幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系幾何直觀(guān)化，以便于探求解題思路或找到問(wèn)題的結(jié)論。

問(wèn)題5.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，每條邊的長(zhǎng)度和兩條對(duì)角線(xiàn)都為1，M，N分別為AB，AD的中點(diǎn)，求.[2]

解：

注：有的同學(xué)是這樣解的：

導(dǎo)致這樣的錯(cuò)解，是由于沒(méi)有正確理解向量的夾角或沒(méi)有認(rèn)真觀(guān)察圖形，誤認(rèn)為是的夾角，事實(shí)上的夾角為的補(bǔ)角。此題體現(xiàn)了“以形助數(shù)”的效果！

問(wèn)題6.如圖所示，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn)。

分析：要想證明三點(diǎn)E，F(xiàn)，B共線(xiàn)，要想直接給出這種幾何關(guān)系并不容易，在向量中需要證明這三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量有線(xiàn)性代數(shù)關(guān)系，如與。因此，可利用空間向量基本定理，選擇合適的基向量，先從量上表示和，在考察幾何性質(zhì)，來(lái)使問(wèn)題得以解決，從而達(dá)到“以數(shù)輔形”的效果。

證明：設(shè)，，.

，，

又

又

.所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線(xiàn)。

四、函數(shù)思想

函數(shù)思想是最重要、最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。它是指運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。

問(wèn)題7.已知并且實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)取最小值時(shí)，求t的值。[2]

分析：這里表面上看是向量問(wèn)題，但是，實(shí)質(zhì)上應(yīng)該是函數(shù)問(wèn)題。由向量模的定義，建立關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系，t的范圍需由關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根即判別式不小于0得到。

解：∵關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，

又

∵當(dāng)時(shí)，關(guān)于t的函數(shù)為單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，取最小值，的最小值為。

注：在數(shù)學(xué)中有一些本身無(wú)明顯的函數(shù)關(guān)系的問(wèn)題，我們要通過(guò)類(lèi)比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化，合理的引進(jìn)函數(shù)，并通過(guò)對(duì)所引進(jìn)的函數(shù)的研究，使得問(wèn)題得以解決。

當(dāng)然，在第三章空間向量與立體幾何中，還有許多值得研究的數(shù)學(xué)思想值得我們重視，這里我們只做適當(dāng)?shù)姆治?，以此讓大家在?shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的探究！

參考文獻(xiàn)：

[1]高中數(shù)學(xué)解題方法與技巧，湖北教育出版社，汪江松，1999年.

[2]中學(xué)教材學(xué)習(xí)講義，新疆青少年出版社，杜志建，2012年.