低速轉鼓中顆粒流態(tài)的滯后轉變行為

歐陽鴻武，黃立華，程 亮，黃誓成，王 瓊，劉卓民，張 新

(中南大學 粉末冶金國家重點實驗室，長沙410083)

顆粒態(tài)物質，如金屬粉末，陶瓷粉末，沙和水泥，谷物和豆類以及面粉等，在生產過程和人們的日常生活中普遍存在，是除水以外人類使用量最多的物質。自1991年諾貝爾物理獎獲得者Gennes教授提出“軟物質”的概念[1]，到2005年科學雜志將顆粒物質的動力學描述列入當今世界未解科學難題[2]，看似簡單的顆粒物質被視為傳統固體、液體和氣體之外的第四態(tài)物質[3]，激起高度關注和大量研究。其中，顆粒材料的堆積、堵塞、坍塌、密集流動、混合分聚等是備受關注的熱點和難點問題[4?8]。

在研究顆粒運動的幾類實驗裝置中，轉鼓結構簡單，顆粒的流動行為復雜多樣，易于觀察和控制(當幾何結構確定，轉速?是控制流動的唯一參數)，并且在工業(yè)上應用相當廣泛，因此，轉鼓中顆粒物質的運動成為研究熱點[9?14]。隨轉鼓速度變化，顆粒流態(tài)將發(fā)生相應改變。當轉速較低時，表現為間歇坍塌(DA)和連續(xù)致密流動(CF)兩種狀態(tài)。流動處于間歇坍塌狀態(tài)時，顆粒物質的表面傾角隨轉鼓轉動增大，由安歇角增加至最大穩(wěn)定角后，表層顆粒發(fā)生坍塌，隨后表面傾角又回復到安歇角；連續(xù)流動狀態(tài)下，表層顆粒像液體一樣流動，并保持基本穩(wěn)定的表面傾角[9?10]。1990年，Rajchenbach[9]實驗發(fā)現臨界轉速與轉速變化的方向相關：當轉鼓速度由低到高加快至臨界轉速?+時，從間歇坍塌轉變?yōu)檫B續(xù)流動；當轉速由高到低逐步減慢至??時，流態(tài)由連續(xù)流動轉變?yōu)殚g歇坍塌，2個臨界轉速不相同，?+???＞0，即所謂的流態(tài)轉變滯后。

關于轉鼓中顆粒流態(tài)轉變滯后機理存在幾種不同解釋。Rajchenbach[9]認為該現象是由于間歇坍塌和連續(xù)流動狀態(tài)中顆粒向下滾落過程持續(xù)時間的差異所致。Benza等人[15]指出在間歇坍塌到連續(xù)流態(tài)之間的臨界轉變中摩擦力起了關鍵作用。最近，Fischer等人[16]發(fā)現2種流態(tài)在臨界轉速范圍及特定觀察時間內均可以單獨出現或兩者共存，坍塌過程產生的隨機擾動使體系在2種流態(tài)間自發(fā)轉變。由此，對流態(tài)轉變滯后的根源引起了新一輪探討[17]。本文選擇球形鋼珠和異形沙2類顆粒進行低速轉鼓的流動實驗，嘗試對顆粒流態(tài)臨界轉變滯后現象提出新的解釋。

1 實驗

1.1 實驗裝置

實驗裝置示意圖如圖1所示，轉鼓直徑為130 mm，前后端蓋相距62 mm，前端蓋為平面透明玻璃，轉鼓固定在由電機驅動的水平轉軸上，轉速通過變頻微調裝置控制，轉速在0.8～110 r/min之間連續(xù)可調，讀數精度為0.05 r/min。在轉鼓正前方放置照相機拍攝顆粒運動(Canon，EOS7D)，相機快門最快速度為1/8 000 s。

圖1 轉鼓裝置示意圖Fig.1 Sketch of rotating drum setup

實驗選用的顆粒為：平均粒徑d分別為5 mm和3 mm的鋼球；烘干過篩的多面體形砂粒，粒度分別為2.5～3.5 mm和1～2.5 mm。顆粒形貌如圖2所示。轉鼓的顆粒填充率Φ均為50%，當顆粒類型、尺寸和填充率確定后，實驗中唯一的控制參數為轉鼓的轉速?。

圖2 顆粒形貌照片(鋼球和砂粒)Fig.2 Morphologies of granular(steel ball and sand)

1.2 實驗方案

(1)逐步提高轉速，顆粒物質由間歇坍塌向連續(xù)流動轉變：實驗從裝置下限轉速0.8 r/min開始，逐漸增加轉速，觀察顆粒運動狀態(tài)的變化情況。當顆粒物質呈現連續(xù)流動時，即在足夠長時間內(約50 s)沒有出現間歇流態(tài)，記錄下此時的臨界轉速?1；(2)逐步降低轉速，顆粒物質由連續(xù)流動向間歇坍塌轉變：實驗由顆粒物質處于充分發(fā)展的連續(xù)流動狀態(tài)開始，轉速遠高于?1，以(1)中同樣的步長逐漸降低轉速，觀察顆粒運動狀態(tài)的變化情況。當發(fā)生堵塞時連續(xù)流動停止，出現間歇坍塌流態(tài)時，同樣在足夠長的時間內仍出現堵塞行為，記錄此時的臨界轉速?2。

為了精確地獲得2個臨界轉速，采取如下步驟反復調節(jié)：(1)從?2開始增加轉速，但轉速調整步長更小，直至出現連續(xù)流動，用此時的轉速替換上一次記錄的轉速?1；(2)從?1開始降低轉速，直至出現間歇坍塌，并用此時的轉速替換上一次記錄的轉速?2；(3)重復進行上述2個轉速調整步驟，直至前后2次測量的?1和?2基本不變。上述?1和?2的測量過程重復進行5次，取其平均值。最終獲得的臨界轉變速度?1和?2分別對應于轉速上升和下降時的臨界轉速?+和??。

2 實驗結果

實驗中鋼球和砂粒間歇坍塌前后及連續(xù)流動狀態(tài)的典型實驗照片如圖3所示。表1所列為實驗測得的臨界轉速、顆粒自由表面的最大穩(wěn)定角θm和安歇角θr以及Δθ=θm?θr。從表1中可見，鋼球比砂粒的臨界轉速略低一點，但臨界轉速的差值均相同，均為0.45 r/min。砂粒的表面傾角明顯大于鋼球的表面傾角，但最大穩(wěn)定角與安歇角的差值Δθ大致相同。

3 分析與討論

轉鼓中顆粒流態(tài)在連續(xù)流動和間歇坍塌之間的轉變行為及其過程十分復雜。上世紀80年代，Bak等人[18]創(chuàng)立自組織理論時，曾以沙堆作為原始模型，認為沙堆表面傾角具有自組織臨界特征。然而，Nagel等人[7?8]斷然否定了自組織理論對沙堆坍塌行為的適應性，并指出沙堆間歇坍塌表面存在2個不同的穩(wěn)定角：最大穩(wěn)定角θm和安歇角θr，并非自組織沙堆模型中只有1個穩(wěn)定角。因此，沙堆表面間歇坍塌運動并不滿足自組織原理，而顆粒的連續(xù)流動狀態(tài)較好地滿足自組織原理[19]。間歇坍塌和連續(xù)流動有顯著區(qū)別，2種流態(tài)間的轉變有著更為深刻的原理。

3.1 顆粒流態(tài)滯后轉變的現象學解釋

對于低速轉鼓中顆粒流態(tài)轉變的滯后現象，Rajchenbach[9]認為間歇坍塌和連續(xù)流動狀態(tài)中顆粒下落時間的差異是產生滯后現象的根源，并提出顆粒從間歇坍塌轉變?yōu)檫B續(xù)致密流動應滿足條件：顆粒從斜面頂部運動至底部的時間t與相鄰2次坍塌的平均時間間隔T應相等：

式中，θstart和θstop分別為間歇坍塌狀態(tài)下坍塌開始和坍塌結束時的顆粒表面傾角。Rajchenbach根據間歇坍塌和連續(xù)流動時顆粒從頂部下滑到底部的時間分別為t1和t2，定義2個臨界轉速?+和??：

在逐漸增加或降低轉鼓轉速的實驗過程中，發(fā)生流態(tài)轉變的臨界轉速并不相同，分別為?+和??，并有??＜?+；顆粒物性不同，發(fā)生轉變時的臨界轉速略有差別，如鋼球的臨界轉速略低于砂粒的臨界轉速。根據實驗結果，顆粒的間歇坍塌和連續(xù)流動之間的流態(tài)轉變確實存在滯后行為，并且顆粒物質流動狀態(tài)的轉變具有臨界特征。

值得注意的是，式(1)中，θstart和θstop的測量必須在顆粒處于間歇坍塌狀態(tài)下，因為在連續(xù)流動狀態(tài)的表面傾角為θc，不存在θstart和θstop。即使是間歇坍塌狀態(tài)，θstart和θstop也往往并非確定不變的常數，而是存在一定的漲落。根據文獻[20]，間歇坍塌過程中顆粒自由表面傾角的變化情況可表達為：

式中：Δθ=θm?θr；t為實驗過程的觀察時間；坍塌持續(xù)時間τ～(R/gΔθ)1/2；R為轉鼓半徑；g為重力加速度。

坍塌規(guī)模Δθ與特征坍塌時間τ相關聯：Δθ越大，τ越小(τ=0.64 s)；相反，Δθ越小，τ越大(τ=0.83 s)。坍塌規(guī)模降低時(Δθ越來越小)，特征坍塌時間τ不斷延長，顆粒的流動趨向于連續(xù)流動；坍塌規(guī)模增大時，特征坍塌時間變短，顆粒的流動趨于維持間歇坍塌。自由表面傾角隨轉速改變而變化：(1)當轉鼓速度由低到高逐步加快時，體系從間歇坍塌轉變?yōu)檫B續(xù)流動前，顆粒表面的最大穩(wěn)定角θm逐漸減小，安歇角θr逐漸增大，兩者差值Δθ(即坍塌規(guī)模)隨之減小，直至在某一臨界轉速?+下，間歇流動轉化成連續(xù)流動，表面傾角為θc(注意：θc與轉速?呈線性關系或平方根關系變化[12])；(2)當轉速由高到低時，顆粒流態(tài)由連續(xù)流動向間歇坍塌轉變過程中，表面傾角θc不斷降低，在某一轉速??下，表面流動停止，顆粒流動轉變?yōu)殚g歇坍塌，坍塌前后的表面傾角分別為θm和θr，2個角度的差值隨轉速進一步降低而增大。不論是提高還是降低轉速，顆粒流態(tài)發(fā)生轉變時，自由表面傾角的變化都很小，并且堵塞狀態(tài)持續(xù)的時間也很短。

表1 鋼球和砂粒發(fā)生臨界轉變的轉速和表面傾角Table 1 Critical rotation rates and surface inclined angles of steel ball and sand under critical transition

圖3 坍塌和連續(xù)流動實驗照片，(a)?(c)為3 mm鋼球，(d)?(f)為2.5～3.5 mm沙粒。(a)?(b)和(d)?(e)分別為坍塌前后的表面角，(c)和(f)為連續(xù)流動Fig.3 Experimental images of avalanche and continuous flow,(a)?(c)for 3 mm steel balls,(d)?(f)for 2.5?3.5 mm sand.(a)?(b)and(d)?(e)show surface inclination before and after avalanche,respectively,(c)and(f)for continuous flow

由于實驗不能精確測量t1和t2，直接采用式(1)判斷滯后轉變存在困難，但對顆粒在斜面上流動速度的定性分析為進一步研究提供了基本思路。

顆粒在氣體環(huán)境中坍塌流動可達到的最終速度Vt為[21]：

式中：ρa為氣體密度；ρp和Cp分別為顆粒密度和空氣阻力系數；g為重力加速度；D為坍塌特征尺寸(對應于轉鼓直徑)。

由此計算得到沙和鋼球的Vt分別為：16.3(cm/s)和28(cm/s)。連續(xù)流動時，顆粒從轉鼓的頂部下滑到底部的時間t≈2R/Vt，分別為：t鋼球≈13/28=0.46 s，t沙子≈13/16.3=0.80 s。顆粒的密度越大，流動的最大速度越高，鋼球從轉鼓頂端流動到下端的時間比沙子短。式(4)中Vt為最大速度，顆粒流動的實際速度往往低于Vt，因此，顆粒從轉鼓頂端流動到下端的時間比計算值略長。

間歇坍塌狀態(tài)下相鄰2次坍塌的間歇時間T=Δθ/?+，根據表1中的相應數據計算得出5 mm鋼珠，3 mm鋼珠，2.5 mm～3.5 mm沙子以及1～2.5 mm沙子的2次坍塌間歇時間分別為：0.50，0.40，0.27和0.34 s。對比T與t的數學表達式和相應結果，在t相對穩(wěn)定的情況下，可以通過改變轉鼓的轉速?(相應地影響坍塌規(guī)模Δθ)調節(jié)T的數值，使式(1)得以滿足，實現間歇坍塌?連續(xù)致密流動的轉變。

3.2 顆粒狀態(tài)由流動到靜止的滯后堵塞轉變

下面，對轉鼓速度的提高或降低出現流態(tài)滯后轉變的動力學行為進行初步討論。

(1)降低?。顆粒從連續(xù)流動到間歇坍塌的滯后轉變可以這樣解釋：流動層中運動顆粒對靜止底層顆粒的拍緊效應[22]，降低了靜止顆粒材料的屈服極 限[23]，即顆粒堵塞轉變的屈服應力值低于靜態(tài)時的屈服應力值，因此，顆粒維持流動狀態(tài)的能力增強，在較低的轉速下仍能維持連續(xù)流動狀態(tài)，流動層顆粒自由表面傾角θc與安歇角θr更為接近，顆粒流動層厚度越來越小，流動層處于不夠穩(wěn)定的緩慢流動中，由連續(xù)流動到間歇坍塌的轉變表現出滯后行為。由此可見，流動顆粒的拍緊效應有利于維持顆粒的流動狀態(tài)，使堵塞轉變呈現滯后。

(2)提高?。從間歇坍塌向連續(xù)流動轉變也存在滯后行為，亦即隨轉鼓轉速提高，顆粒坍塌規(guī)模呈現減小趨勢，顆粒坍塌特征持續(xù)時間延長，一次間歇坍塌的時間將不斷延長，如果觀察時間較短，將誤以為進入了連續(xù)流動狀態(tài)。實驗中，對于?+的捕捉相對較難，等待時間隨轉速提高而增長，2次坍塌之間的間隔時間也越來越短(持續(xù)的坍塌過程可視為連續(xù)流動)。表層顆粒的流態(tài)混雜連續(xù)流動和瞬間堵塞的特征，如同交通流的“走?停”狀態(tài)，只是停頓的時間短暫，表層顆粒中可能處于部分流動部分靜止狀態(tài)，此時，顆粒流態(tài)較為復雜而模糊，難以界定。

大體上，提高轉鼓的速度，使顆粒由間歇坍塌向連續(xù)流動轉變的滯后效應比較弱；而降低轉速時，使顆粒從連續(xù)流動狀態(tài)向間歇坍塌轉變時的滯后效應比較強。顆粒流動狀態(tài)的這種滯后行為與漏斗流中流態(tài)臨界轉變也有相似之處。研究發(fā)現[24]，漏斗流中，當顆粒來流的流量一定時，逐漸加大漏斗的開口尺寸與逐步降低開口尺寸的顆粒流出量也存在類似的滯后行為，但逐漸加大漏斗的開口尺寸時無明顯滯后現象(保持密集連續(xù)流動，流量與漏斗開口尺寸服從Beveloo關系)，而逐步降低開口尺寸時，由于流態(tài)的變化導致流經漏斗的流量在臨界開口尺寸處明顯降低(由稀疏流動轉變?yōu)槊芗鲃樱瑏砹髁髁繛榕R界流量)。流態(tài)的改變，導致流量的臨界變化。轉鼓的轉速變化，在一定意義上，等價于漏斗開口尺寸的變化：提高轉鼓速度類似于增大漏斗的開口尺寸。降低轉速時，從連續(xù)流動到間歇坍塌的滯后效應更為明顯。

3.3 剪切應力作用下顆粒堵塞轉變及其記憶效應

自1998年LIU A-J等[23]采用堵塞相圖將應力、溫度和密度結合起來描述顆粒堵塞和流動狀態(tài)以來，一直缺乏應力作用下顆粒堵塞行為的實驗研究。最近，Massimo等[24]研究無摩擦零溫度干顆粒在應力作用下的堵塞轉變問題時發(fā)現存在滯后現象：在剪切應力σ＞0時，由于轉變的滯后行為堵塞轉變并非出現在σ=0處：在φ?σ(密度?應力)平面內的某個區(qū)域中，體系可能處于流動或堵塞態(tài)。在一定的剪切應力下，堵塞轉變表現出滯后的特征，即在某一給定控制參數范圍內，流動和堵塞態(tài)均可存在，取決于體系是從流體態(tài)還是堵塞態(tài)開始變化。當剪切應力σ很小時，體系不存在滯后行為或滯后量可以忽略；在大的剪切應力σ下，體系存在明顯的滯后現象。

在滯后行為發(fā)生的控制參數范圍內，存在許多顆粒構型(能量極小)以承受施加的應力。若體系從堵塞態(tài)到達其中一個構型中，體系具有零動能而保持堵塞態(tài)。相反，若體系從流動態(tài)到達某一能量極小處，其具有的動能又足夠大，則可以越過該構型而不至于堵塞。事實上，滯后行為并非由于體系的部分結晶。在堵塞轉變中觀察到的滯后行為，及其與堵塞態(tài)黏性ηsol的關聯可通過簡單的模型予以定性的解釋，該模型用于描述顆粒在具有多個極小值W(x)的能譜中的運動情況，顆粒受到2個力作用：驅動力f和黏性力-ηsol[24]：

實驗和理論分析都證實，連續(xù)流動和間歇坍塌在??和?+之間均可以存在，文獻[20]認為存在1個自發(fā)游離開關，控制2種流態(tài)之間的轉化。關于這一自發(fā)游離開關的作用機制引起了我們的特別關注，并且我們初步認為顆粒材料的記憶效應是自發(fā)游離開關存在的基本原因。顆粒材料的記憶效應，即顆粒的堆積狀態(tài)(結構)及其力學性能與堆積過程(歷史)相關。堵塞前流動狀態(tài)不同，堵塞后的顆粒堆積結構也因此不同，如圖4所示[27]。不同條件下的堵塞行為將對顆粒的力學性質產生相應的影響。在沙堆應力低陷現象的研究中早已發(fā)現顆粒材料力學特征[3,30]：不同方式形成的沙堆其底面應力分布不同，下雨法形成的沙堆沒有應力低陷現象，而點源法形成的沙堆存在應力低陷效應。下面，結合顆粒介質在應力狀態(tài)下的堵塞轉變的記憶效應[30?31]，進一步探討在??和?+之間的某一轉速下顆粒為何更傾向于間歇坍塌或是連續(xù)流動的問題。

圖4 剪應力作用下的堵塞相圖及相應的力網結構Fig.4 Jamming diagram and force network of granular material under shear

圖5 驗證實驗的實驗結果Fig.5 Results of verify experiment

顯然，實驗方案對實驗過程和結果有直接影響，即顆粒的堵塞結構對運動狀態(tài)的記憶效應對實驗中轉速和流態(tài)的調整過程有至關重要的作用。為驗證顆粒記憶效應所產生的影響程度，將少量細小的示蹤顆粒(10%)加入到大顆粒中，先采用較高轉速使體系處于連續(xù)流態(tài)，體系轉過數圈之后，指示性顆粒由于滲透作用停留在轉鼓中心位置形成1個半徑約2.5 cm的核。然后每隔3 s給轉鼓1個擾動(形成1次坍塌堵塞)，形成如圖5(a)中的初始形態(tài)，繼續(xù)觀察擾動結構的演化情況。實驗發(fā)現體系在轉10圈后，體系內的擾動結構繼續(xù)發(fā)散形成了花瓣狀斑圖(圖5(b))，在經過20 min后指示性顆粒才最終匯集在轉鼓中心成為半徑約2.5 cm的核。可見該擾動結構需要足夠長時間后才漸漸消除，從而印證了顆粒堆積結構與流動過程的歷史相關性，以及不同亞穩(wěn)態(tài)結構之間轉變的弛豫特征[31]。據此推斷，文獻[19]控制2種流態(tài)相互轉化的自發(fā)游離開關，可能源于顆粒結構的記憶效應。間歇坍塌有記憶效應，連續(xù)致密流動也有記憶效應，因此產生維持原流態(tài)的滯后現象。從實驗的角度，記憶效應是產生滯后的根源。

4 結論

1)顆粒材料間歇坍塌-連續(xù)流動之間發(fā)生流態(tài)轉變存在2個不同轉速(轉速提高過程為?+，轉速下降過程為??)，實驗測得轉速的差值Δ?=(?+???)=0.45，即在本實部條件下存在流態(tài)轉變的滯后現象。

2)根據對流態(tài)滯后轉變的現象學分析，并將顆粒狀態(tài)由流動到靜止的滯后堵塞轉變行為與剪切應力作用下顆粒堵塞轉變及其記憶效應聯系起來，認為不同流態(tài)下堆積結構的記憶效應是產生流態(tài)滯后轉變的根源。據此推測，低速轉鼓中顆粒流態(tài)的滯后轉變是顆粒動力學行為的一個基本特征。

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