正弦振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述與試驗(yàn)技術(shù)

肖榮軍，陳貴如

（1.中國科學(xué)院半導(dǎo)體研究所元器件檢測中心，北京 100083 2.北京市新能源汽車發(fā)展促進(jìn)中心，北京 100101）

引言

正弦振動(dòng)是運(yùn)動(dòng)量隨時(shí)間按正弦(或余弦)函數(shù)變化的振動(dòng)，常在電工電子產(chǎn)品和艦船、飛行器、各類車輛等存在旋轉(zhuǎn)、脈動(dòng)、振蕩現(xiàn)象的裝置上出現(xiàn)。

正弦振動(dòng)試驗(yàn)就是在試驗(yàn)室模擬電工電子產(chǎn)品和艦船、飛行器、各類車輛等系統(tǒng)在運(yùn)輸、貯存、使用中所經(jīng)受的振動(dòng)，并考核其適應(yīng)環(huán)境的能力。

正弦振動(dòng)試驗(yàn)有定頻和掃頻兩種試驗(yàn)類型，掃頻試驗(yàn)又有線性和對(duì)數(shù)兩種掃描頻率方式。

1 正弦振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述

振動(dòng)是物體圍繞平衡位置進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)，通常以振動(dòng)體的一些參數(shù)(如位移、速度、加速度)隨時(shí)間變化的函數(shù)來表征振動(dòng)的時(shí)間歷程。我們可以將振動(dòng)看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)或物體對(duì)于一個(gè)基準(zhǔn)位置的運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)的時(shí)間歷程分為非周期振動(dòng)和周期振動(dòng)。非周期振動(dòng)在圖形上不重復(fù)，不能用簡單的函數(shù)關(guān)系來描述。周期振動(dòng)是經(jīng)過一定的時(shí)間間隔后仍精確地重復(fù)的運(yùn)動(dòng)，可以用振動(dòng)位移x(t)為時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系表示

周期振動(dòng)的最簡單形式是簡諧振動(dòng)，其時(shí)間歷程是正弦或余弦曲線，環(huán)境試驗(yàn)中一般用正弦曲線來描述。

1.1 正弦振動(dòng)可用下述函數(shù)描述

式中ω=2πf 為角頻率(f-振動(dòng)頻率)

X —位移，D —最大位移(即單振幅位移，簡稱振幅,單位mm)，t —時(shí)間，φ —初相角。

為方便計(jì)算，對(duì)振動(dòng)試驗(yàn)可取φ=0，則

運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度是位移對(duì)時(shí)間的變化率，即速度是位移函數(shù)(4)的導(dǎo)數(shù)

當(dāng)sin(ωt +)=1時(shí)，V取峰值

Vp=ωD(mm/s)=2πfD×10-3(m/s)

加速度是速度對(duì)時(shí)間的變化率，所以加速度是速度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

當(dāng)sin(ωt +π)=1時(shí)，A有峰值

其矢量表示法如圖1所示：矢量D以等角速度作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其在縱軸上的投影表示質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)位移、速度、加速度的振動(dòng)頻率均為f=，周期為T=。速度矢量超前位移，加速度矢量超前速度矢量。

1.2 振動(dòng)幅值描述量及其相互關(guān)系

根據(jù)需要，振動(dòng)幅值具有不同的描述量，其相互關(guān)系如圖2及表1。

2 正弦振動(dòng)試驗(yàn)技術(shù)

做正弦振動(dòng)試驗(yàn)除了要掌握設(shè)備的操作技術(shù)外，還應(yīng)當(dāng)掌握有關(guān)振動(dòng)的理論知識(shí)，必要時(shí)還要進(jìn)行參數(shù)計(jì)算。

2.1 首先根據(jù)下式計(jì)算振動(dòng)臺(tái)的推力能否達(dá)到試驗(yàn)要求

式中：F—推力(激振力)(N)

m1—振動(dòng)臺(tái)運(yùn)動(dòng)部分有效質(zhì)量(kg)

m2—輔助臺(tái)面質(zhì)量(kg)

m3—試件質(zhì)量(kg)

m4—夾具、安裝螺釘質(zhì)量(kg)

A— 試驗(yàn)加速度(m/s2)

例 如：當(dāng)m1=5kg，m2=10kg，m3=35 kg，m4=50kg，A=49 m/s2時(shí)，F(xiàn)=4900N。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)F應(yīng)略偏高，需乘系數(shù)1.2，則 F應(yīng)=1.2F=1.2×4900N=5880N。所以當(dāng)設(shè)備推力大于等于5880N時(shí)，可以試驗(yàn)。

2.2 驗(yàn)證速度和位移是否滿足要求

用公式V=A/2πf或者公式 V=2πfD ×10-3驗(yàn)證速度是否小于等于振動(dòng)臺(tái)的額定速度。例如：

V = A/2πf = 196/2×3.14×80.8≈0.39 m/s

圖1 簡諧振動(dòng)的矢量表示法[2]

圖2 振動(dòng)幅值描述量

表1 振動(dòng)幅值描述量的相互關(guān)系

如果速度小于等于振動(dòng)臺(tái)的額定速度，則可以試驗(yàn)。

2.3 定振級(jí)掃頻試驗(yàn)平滑交越點(diǎn)頻率

交越頻率是振動(dòng)試驗(yàn)中一種振動(dòng)特性量變?yōu)榱硪环N振動(dòng)特性量時(shí)的頻率，該頻率點(diǎn)稱為交越點(diǎn)。在交越點(diǎn)兩種振動(dòng)特性量值都能得到滿足，故稱為平滑交越點(diǎn)，該點(diǎn)的頻率稱為平滑交越頻率。

正弦振動(dòng)試驗(yàn)可以規(guī)定一個(gè)交越點(diǎn)，也可以規(guī)定多個(gè)交越點(diǎn)。對(duì)只有一個(gè)交越點(diǎn)的試驗(yàn)，通常在交越點(diǎn)以下位移恒定，加速度成正比例變化，因?yàn)榈皖l時(shí)對(duì)產(chǎn)品影響的主要是位移量；在交越點(diǎn)以上加速度恒定，位移成反比例變化，因此在高頻段位移量變得很小，加速度幅值相對(duì)較大，根據(jù)加速度正比于作用力的原理，此時(shí)，對(duì)產(chǎn)品影響的主要是加速度量。對(duì)有多個(gè)交越點(diǎn)的試驗(yàn)，可以定位移—定加速度—定位移—定加速度等，也可以定位移—定速度—定加速度等。

平滑交越頻率是重要的試驗(yàn)參數(shù)，在試驗(yàn)時(shí)非常重要，有時(shí)需要計(jì)算才能得到。

2.3.1 加速度與速度平滑交越點(diǎn)頻率(Hz)的計(jì)算公式

2.3.2 速度與位移平滑交越點(diǎn)頻率的計(jì)算公式

2.3.3 加速度與位移平滑交越點(diǎn)頻率的計(jì)算公式

公式(11)亦可簡化為：

公式(11)是上述3個(gè)公式中最重要的，實(shí)踐中經(jīng)常用到，例如：GJB 548B-2005 規(guī)定器件作等幅簡諧振動(dòng)“振幅兩倍幅值為1.52mm±0.15mm”，“峰值加速度按試驗(yàn)條件A、B或C的規(guī)定(20%,0)m/s2,在交越頻率以下，試驗(yàn)條件應(yīng)由振幅大小控制，在交越頻率以上試驗(yàn)條件應(yīng)由峰值加速度控制?！盵3]

該標(biāo)準(zhǔn)給出了兩倍振幅、峰值加速度，但未給出交越頻率，需要計(jì)算，以條件A為例：

同理可求另外兩個(gè)條件的交越頻率。結(jié)果如表2。

加速度幅值20g的試驗(yàn)曲線圖如圖3。圖中橫坐標(biāo)頻率由10Hz到2000Hz，縱坐標(biāo)為加速度（g），拐點(diǎn)即交越點(diǎn)（0.76mm，20g ，80.8Hz）。

2.4 掃描時(shí)間和掃描速率的確定

2.4.1 線性掃描：

式中：S1—掃描時(shí)間(s或min)

fH-fL—掃描寬帶，其中fH為上限頻率，fL為下限頻率(Hz)

V0—掃描速率(Hz/min或Hz/s)

2.4.2 對(duì)數(shù)掃頻

2.4.2 .1 倍頻程

頻率比為2n的兩個(gè)頻率之間的頻段稱為n個(gè)倍頻程，即fH/ fL=2n[4]，該式兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)：log2fH/fL= log22n=n，則

式中： n—倍頻程(oct)

fH—上限頻率(Hz)

fL—下限頻率(Hz)

例如：GJB 360-2009 中4.4 規(guī)定在10Hz～55Hz～10Hz范圍內(nèi)連續(xù)來回定位移掃頻，“對(duì)數(shù)掃頻：掃頻速率為1oct/min。[5]”就需要計(jì)算倍頻程從而決定掃頻時(shí)間。

所以，來回掃頻一次需要2×2.5= 5min。

值得關(guān)切的是，正弦對(duì)數(shù)掃描指相同時(shí)間掃過的頻率倍頻程數(shù)是相同的，n就是下限頻率到上限頻率經(jīng)過了n個(gè)倍頻程。例如從10～40Hz是兩個(gè)倍頻程，從100～400Hz也是2個(gè)倍頻程，在對(duì)數(shù)掃描的情況下，掃過這兩段的時(shí)間是相同的，就是說對(duì)數(shù)掃描低頻掃得慢而高頻掃得快。其結(jié)果是雖然在高頻段振動(dòng)頻率較高，但在每個(gè)頻率點(diǎn)上的掃描停留時(shí)間較短[6]，而在低頻段情況則正好相反。

表2 三種試驗(yàn)條件下的峰值加速度和交越頻率

圖3 GJB 548B-2005 試驗(yàn)條件A 試驗(yàn)曲線圖

2.4.2 .2 掃描速率與掃描時(shí)間的換算

式中：R—掃描速率(oct/min或)

fH—上限頻率(Hz)

fL—下限頻率(Hz)

T—掃描時(shí)間

n—倍頻程(oct)

由(15)式可得

3 結(jié)語

正弦振動(dòng)特別是正弦掃頻振動(dòng)是環(huán)境試驗(yàn)常用的試驗(yàn)方法，在國標(biāo)、國軍標(biāo)和有關(guān)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)都有規(guī)定，但是這些標(biāo)準(zhǔn)并沒有將試驗(yàn)所需的參數(shù)值全部給出，如上文中的GJB 548B-2005就沒有給出交越頻率和單峰位移，需要試驗(yàn)人員進(jìn)行計(jì)算才能得到。實(shí)踐中，常出現(xiàn)試驗(yàn)人員不知道計(jì)算交越頻率的情況，沒有遵循在低頻段定位移，高頻段定加速度的試驗(yàn)規(guī)則，從而不能進(jìn)行正常試驗(yàn)，或者使樣品經(jīng)受過于嚴(yán)酷的試驗(yàn)條件，造成不必要的損失。本文通過對(duì)正弦振動(dòng)的系統(tǒng)闡述，從數(shù)學(xué)描述中推導(dǎo)出參數(shù)的計(jì)算公式，并且列舉了計(jì)算與試驗(yàn)實(shí)例，可以為檢測人員提供指導(dǎo)，正確完成試驗(yàn)。

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