部分變換半群的奇異部分的自同態(tài)

黃麗麗，楊秀良

（杭州師范大學理學院，浙江杭州310036）

0 引 言

設X＝｛1，2，…，n｝是一個有限集合，且α，β均為X上的部分變換．定義α·β如下：對任意的t∈X，都有α·β（t）＝α（β（t））．為簡化記法，可將α·β記作αβ．易見，α·β也是X上的一個部分變換．

定義在X上的所有置換構成的集合在變換的復合運算下形成群，稱這個群為X的置換群．則是由中所有不可逆變換構成的子半群，并稱為的奇異部分．奇怪的是，至今沒有人討論的自同態(tài)．本文將通過對自同態(tài)核的討論來填補這一空白．

則0x是的一個常值變換．

當n≠4時，置換群有且僅有3個正規(guī)子群：自身，交錯子群，以及由恒等變換構成的平凡子群．但是當n＝4時，除上述正規(guī)子群外，還有一個正規(guī)子群，稱作Klein四元群．對任意的k≤n－1，定義集合如下：

任取i∈｛1，2，…，n－1｝，且對任意一個正規(guī)子群，在上定義同余≡如下：

（i）若rank（ζ）＜i，則ζ≡η當且僅當rank（η）＜i；

（ii）若rank（ζ）＞i，則ζ≡η當且僅當ζ＝η；

（iii）若rank（ζ）＝i，則ζ≡η當且僅當，且當ζ，η具有以下形式時，有

其中Bi＋1＝X＼dom（ζ）．特別地，上的任意一個同余要么是泛同余，要么具備形式，其中，1≤i≤n－1（文獻［3］，Theorem 6．3．10）．

1 主要結果

則Λπ是的一個自同構．

（E1）任取，且ε為冪等元．定義如下：

（E2）任?。xεπ：如下：任取，有

則επ是的一個自同態(tài)．

2 定理證明

定理的證明 當n＝1時，有且僅有一個自同態(tài)，即為恒等自同構．故具備形式（A）．接下來討論當n≥2時的情況．

設φ∈End．則ker（φ）是上的一個同余．故，或ker（φ）＝≡，其中，1≤k≤n－1．

下面分情況討論：

Case 2． 設ker（φ）＝≡，其中．則由≡的定義可知，ker（φ）＝ιn＼n．故φ為單射，從而φ∈Aut．而，故的所有自同構均為內(nèi)自同構．從而φ具備形式（A）．

Case 3． 設ker（φ）＝≡，其中，1＜k≤n－1．則是ker（φ）的一個同余類．故可設｛τ｝，其中為冪等元，且rank（τ）＝i，0≤i≤n－1．

為討論此情況，先敘述下面引理．

任取t∈｛1，2，…，n－1｝．設集合Xt＝｛ΔA：A?X，｜A｜＝t｝，則Xt是由的所有冪等元構成的集合．故｜Xt｜＝．

引理1 任取ε1≠ε2∈Xt，則ε1ε2＝．

同理可得ε2ε1＝ΔA．從而ε1ε2＝．□

引理2 設φ∈End，且ker（φ）＝≡，其中，1＜k≤n－1．令＝｛λ｝，其中為冪等元．則φ（Xk）是由中的個冪等元構成的集合，且對任意的，都有αβ＝βα＝λ．

任取α≠β∈φ（Xk），則存在γ≠δ∈Xk，使得α＝φ（γ），β＝φ（δ）．由引理1可知，．故

αβ＝φ（γ）φ（δ）＝φ（γδ）＝λ，βα＝φ（δ）φ（γ）＝φ（δγ）＝λ．

從而αβ＝βα＝λ．

有了以上引理作為理論依據(jù)，接下來繼續(xù)對Case3進行討論：

任取α∈φ（Xk），則存在β∈Xk，使得α＝φ（β）．任取，則τ＝φ（γ），且．故可得

ατ＝φ（β）φ（γ）＝φ（βγ）＝τ，τα＝φ（γ）φ（β）＝φ（γβ）＝τ．

即ατ＝τα＝τ．

任取δ≠σ∈φ（Xk），則im（τ）?im（δ），且im（τ）?im（σ）．不妨令＝im（δ）＼im（τ），＝im（σ）＼im（τ）．則．（否則，存在x∈X，使得．由引理2可知，δ，σ均為冪等元，故δ（x）＝σ（x）＝x．又由引理2知，δσ＝τ．故τ（x）＝δσ（x）＝δ（x）＝x，即x∈im（τ）．矛盾．）因，且，故中至多含有個不相交的元．從而而由引理2可知，故

Subcase 3．1 設1＜k＜n－1．則，故．此不等式無解．從而此情況不成立．

Subcase 3．2 設k＝n－1．則，故．解此不等式可得：i＝0，x＝1．也即，．

任取ε∈Xn－1．不妨設，其中，｛i｝＝X＼dom（ε），故｛i｝′＝dom（ε）．因，故可設im（φ（ε））＝｛ji｝，其中ji∈X．現(xiàn)定義π：XX如下：

（?i∈X）π（i）＝ji．

則π為X上的雙變換．

當｜dom（α）｜＝n時，存在i≠j∈X，使得α（i）＝α（j）．不妨設p?im（α）．設A≠B?X，且｜A｜＝｜B｜＝n－1，則當且僅當B＝｛p｝′，并且A∈｛｛i｝′，｛j｝′｝．故φ（ΔBαΔA）≠0當且僅當φ（ΔB）＝aπ（p），并且．又

從而φ（ΔB）φ（α）φ（ΔA）≠0當且僅當φ（ΔB）＝aπ（p），并且φ（ΔA）∈｛aπ（i），aπ（j）｝．故φ（α）＝｛π（i），π（j）｝×．

Case 4． 設n＝5．此時除上述情況外，還有一個正規(guī)子群．當時，共包含ker（φ）的450個同余類．則＝450．而＝155＜450．這與相矛盾．故此情況不成立．

綜上所述，定理得證．

［1］Schreier J．über Abbildungen einer abstrakten menge aufihre teilmengen［J］．Fund Math，1937，28：261－264．

［2］Schein B M，Teclezghi B．Endomorphisms of symmetric semigroups of functions on a finite set［J］．Comm Algebra，1998，26（12）：3921－3938．

［3］Ganyushkin O，Mazorchuk V．Introduction to classical finite transformation semigroups［M］．London：Springer Verlag，2009．