低頻P波荷載下壓電介質(zhì)中共面裂紋的耦合斷裂行為

張培偉

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京 210096)(東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210096)

壓電結(jié)構(gòu)的應(yīng)用往往與動(dòng)載荷密切相關(guān),通過(guò)交變電流的激勵(lì)可以引起此類(lèi)結(jié)構(gòu)的振動(dòng),也可以在受到變形后輸出電信號(hào).因此,一些制造缺陷或在服役中形成的裂紋,常會(huì)導(dǎo)致壓電結(jié)構(gòu)精度降低甚至是完全失效.為了保障壓電元器件的可靠性,必須對(duì)有缺陷的壓電材料進(jìn)行深入研究,才能有效評(píng)價(jià)此類(lèi)元件的性能.

目前,已有大量關(guān)于含缺陷壓電材料的平面問(wèn)題和反平面問(wèn)題的研究工作可供參考,但是這些結(jié)果對(duì)于三維空間問(wèn)題卻并不完全適用.在空間問(wèn)題的研究中,可以將裂紋看作是一層空氣或真空薄層,有時(shí)假設(shè)空洞層為圓形或橢圓形,有時(shí)假設(shè)薄片為矩形,當(dāng)空洞層的面積大小相當(dāng)時(shí),按照矩形假設(shè)所計(jì)算得到的結(jié)果對(duì)于工程應(yīng)用來(lái)說(shuō)一般是偏安全的.Zhang等[1]利用一般Almansi理論研究過(guò)矩形裂紋,給出了矩形裂紋的長(zhǎng)寬比對(duì)壓電材料安全性的影響規(guī)律,同時(shí)還發(fā)現(xiàn),動(dòng)荷載與靜荷載作用下裂紋的擴(kuò)展形式并不相同,在靜載荷下矩形裂紋長(zhǎng)邊的中點(diǎn)更容易首先發(fā)生擴(kuò)展,而在動(dòng)載荷作用下卻并非如此.

為了迎合復(fù)雜服役環(huán)境的需求,壓電材料的動(dòng)態(tài)斷裂研究尤為重要,因?yàn)殛P(guān)于壓電材料靜態(tài)斷裂的大量工作對(duì)于動(dòng)態(tài)服役的壓電元件的安全評(píng)估顯然是不充分的.Zhao和Meguid[2]研究了含有多個(gè)共線界面裂紋的壓電層合板的動(dòng)態(tài)斷裂,發(fā)現(xiàn)越小的裂紋越容易擴(kuò)展并最終導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞.Liu和Zhong[3]研究了2個(gè)共線裂紋在面內(nèi)沖擊荷載作用下的行為,計(jì)算結(jié)果顯示了電場(chǎng)方向?qū)τ诹鸭y擴(kuò)展的促進(jìn)和阻礙規(guī)律.

本文采用部分電導(dǎo)通邊界條件,研究了壓電介質(zhì)中一對(duì)共面矩形裂紋的耦合斷裂問(wèn)題.通過(guò)數(shù)學(xué)建模和變換,將斷裂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一組對(duì)偶積分方程,并經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到廣義應(yīng)力場(chǎng)的解析解,進(jìn)而得到了廣義強(qiáng)度因子和能量釋放率的解析表達(dá)式.最后,利用一系列的數(shù)值算例,詳細(xì)討論了裂紋耦合斷裂的一些規(guī)律.

1 模型建立

根據(jù)常見(jiàn)壓電結(jié)構(gòu)的工藝和破壞形式,假設(shè)壓電材料為均質(zhì)橫觀各向同性材料,材料的各向同性面平行于x-y平面,2個(gè)共面的裂紋位于同一各向同性面內(nèi)(z=0).采用等面積的矩形擬合裂紋，可以為結(jié)構(gòu)評(píng)估提供偏安全的結(jié)果,矩形尺寸如圖1所示.常用壓電器件的載荷通常沿著壓電材料的極化方向,即z軸方向,設(shè)簡(jiǎn)諧應(yīng)力載荷的形式為σzz(x,y,0)=-σ0eiωτ,其中σ0和ω分別為周期載荷的幅值和圓頻率,τ為時(shí)間變量.載荷的激勵(lì)源視為無(wú)窮遠(yuǎn)處,因此可以將載荷引起的應(yīng)力波近似為平面波處理.

圖1 共面矩形裂紋幾何尺寸

對(duì)于遠(yuǎn)場(chǎng)為簡(jiǎn)諧荷載作用的斷裂問(wèn)題,根據(jù)線彈性疊加理論,可以求解在裂紋上、下表面施加與遠(yuǎn)場(chǎng)動(dòng)載相同頻率和振幅的擾動(dòng)載荷問(wèn)題.在理想線彈性體中,包括應(yīng)力、應(yīng)變和交變電場(chǎng)等物理量都符合如下的變化規(guī)律:

(1)

式中,X可以表示彈性體內(nèi)位移uk、電勢(shì)φ、應(yīng)力σkl以及電位移Dk(k=x,y,z;l=x,y,z);上角標(biāo)j=1,2分別表示彈性體位于z=0平面上、下方的物質(zhì)空間.不計(jì)體力和自由電荷,壓電介質(zhì)的平衡方程和本構(gòu)方程可以分別表示為

(2)

(3)

(4)

式中,

ρ0,cpq,epq,εpq(p=1,2,3;q=1,2,3)分別表示壓電介質(zhì)的密度、彈性常數(shù)、壓電系數(shù)和介電常數(shù).

將本構(gòu)方程(3)和(4)代入到平衡方程(2),得到位移和電勢(shì)表示的壓電介質(zhì)控制方程為

(5)

(6)

在裂紋面以外的區(qū)域,位移、應(yīng)力、電位移和電勢(shì)滿足連續(xù)性條件為

X(1)(x,y,0+)=X(2)(x,y,0-)

(7)

在距離裂紋區(qū)域足夠遠(yuǎn)處有

ux(x,y,z)=uy(x,y,z)=uz(x,y,z)=φ(x,y,z)=0

(8)

2 邊界值問(wèn)題的求解

2.1 基本解

壓電介質(zhì)中的位移可以用位移勢(shì)函數(shù)Ψ(j)和G(j)表示，即

(9)

將其代入到控制方程(5)可得

(11)

式中,Δ=?,xx+?,yy表示二維拉普拉斯算子.參考文獻(xiàn)[6-7],可以求得位移勢(shì)函數(shù)、位移分量、電勢(shì)、應(yīng)力分量和電位移分量的表達(dá)式為

(12)

(13)

2.2 位移階躍函數(shù)

定義裂紋上、下表面之間的位移階躍函數(shù)為

(15)

(16)

(17)

對(duì)方程(15)～(17)進(jìn)行二維傅里葉變換[9],得

(18)

(19)

(20)

2.3 對(duì)偶積分方程的求解

將位移、應(yīng)力、電勢(shì)和電位移的表達(dá)式(12)～(13)代入到邊界條件(6)和(7)以及位移階躍函數(shù)(14)中,經(jīng)過(guò)傅里葉變換后可得

(21)

(22)

a1≤x≤a3, 0≤y≤a2

(23)

(24)

式中,

[mij]4×4=M-1, [nij]4×4=N-1

將式(18)～(20)代入到方程(23)～(24)中,方程(24)始終自動(dòng)滿足.對(duì)方程(23)關(guān)于x在區(qū)間[a1,x]上積分并關(guān)于y坐標(biāo)在區(qū)間[0,y]上積分,可得

sin(ty)dsdt=-σ0(x-a1)y

a1≤x≤a3, 0≤y≤a2

(25)

[cos(sa1)-cos(sx)]sin(ty)dsdt=0

a1≤x≤a3, 0≤y≤a2

(26)

[sin(sx)-sin(sa1)][1-cos(ty)]dsdt=0

a1≤x≤a3, 0≤y≤a2

(27)

3 斷裂準(zhǔn)則

3.1 廣義強(qiáng)度因子

由斷裂力學(xué)理論,需求裂紋尖端處廣義應(yīng)力場(chǎng).可令式(13)中z=0,即得裂紋尖端場(chǎng).但當(dāng)積分變量趨于無(wú)窮大時(shí),需要通過(guò)如下的關(guān)系式來(lái)消除積分方程在裂紋邊緣處(x=a1,x=a3,y=a2)的奇異性[8]:

(28)

(29)

考慮到問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性,下面僅研究x≥0且y≥0區(qū)域的情況.經(jīng)過(guò)處理后的裂尖應(yīng)力和電位移表達(dá)式如下:

1) 當(dāng)0≤xa3且0

(30)

2) 當(dāng)a2

(31)

利用裂尖應(yīng)力和電位移場(chǎng)的表達(dá)式(30)～(31),可得裂紋前端廣義應(yīng)力強(qiáng)度因子的表達(dá)式如下:

1) 在裂紋的內(nèi)邊緣處,即x→a1且0≤y

(32)

(33)

2) 在裂紋的外邊緣處,即x→a3且0≤y

3) 在裂紋的上邊緣處,即y→a2且a1

(36)

(37)

3.2 能量釋放率

利用裂紋閉合能量的概念,以及應(yīng)力、位移、電位移和電勢(shì)的漸進(jìn)閉合概念,I型裂紋擴(kuò)展的能量釋放率G的表達(dá)式為

Dz(r,0)φz(Δc-r,π)]dr

(38)

式中,Δc為裂紋閉合的長(zhǎng)度.

裂紋上下表面的位移和裂紋上下表面的電勢(shì)分別為

a1

(39)

a1

(40)

將裂尖應(yīng)力表達(dá)式(13)、裂紋面位移表達(dá)式(39)和裂紋面電勢(shì)表達(dá)式(40)代入到能量釋放率表達(dá)式(38)中,得

(41)

4 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及討論

表1 BaTiO3 的相關(guān)參數(shù)

圖2～圖6給出了裂紋各邊中點(diǎn)處應(yīng)力強(qiáng)度因子、電位移強(qiáng)度因子和能量釋放率隨載荷圓頻率變化的情況.對(duì)比各圖可見(jiàn),在相同的裂紋幾何尺寸、載荷屬性等條件下,各斷裂準(zhǔn)則參數(shù)具有相同的變化規(guī)律,區(qū)別僅是數(shù)值大小不同.因此,除了少數(shù)幾種特殊情況外,采用這2種斷裂準(zhǔn)則判斷的結(jié)果具有一致性.

圖2 裂紋各邊中點(diǎn)處斷裂參數(shù)隨載荷頻率變化曲線(a2=1.0,a3=1.1,D0/ε0=1.0×108)

圖3 裂紋各邊中點(diǎn)處斷裂參數(shù)隨載荷頻率變化曲線(a1=0.3,a2=1.0,a3=1.3,D0/ε0=1.0×108)

圖4 裂紋各邊中點(diǎn)處斷裂參數(shù)隨載荷頻率變化曲線(a1=0.5,a2=1.0,a3=1.5,D0/ε0=1.0×108)

圖5 裂紋各邊中點(diǎn)處斷裂參數(shù)隨載荷頻率變化曲線(a1=0.1,a2=1.0,a3=0.2,D0/ε0=1.0×108)

圖6 裂紋各邊中點(diǎn)處斷裂參數(shù)隨載荷頻率變化曲線(a1=0.1,a2=1.0,a3=0.5,D0/ε0=1.0×108)

在低頻載荷作用下,曲線的第1個(gè)極值出現(xiàn)在ω≈6 000 rad/s的附近.這表示當(dāng)載荷頻率在這附近時(shí),圖2和圖3中所示尺寸的裂紋最有可能發(fā)生擴(kuò)展.圖2和圖3的區(qū)別在于,針對(duì)2種不同的裂紋尺寸,在不同激勵(lì)載荷頻率下,裂紋首先發(fā)生起裂的位置有所區(qū)別.當(dāng)2個(gè)裂紋之間的距離較近時(shí),裂紋內(nèi)邊較容易首先發(fā)生擴(kuò)展,也就是說(shuō),2個(gè)矩形裂紋很可能會(huì)擴(kuò)展并聯(lián)通為1個(gè)更大的裂紋;當(dāng)2個(gè)裂紋之間的距離較遠(yuǎn)時(shí),較高的載荷頻率會(huì)引起2個(gè)裂紋分別沿裂紋外邊緣擴(kuò)展,從而形成2個(gè)較大的裂紋.對(duì)照?qǐng)D3所示的情況,當(dāng)ω>6 000 rad/s時(shí)裂紋外邊首先擴(kuò)展.由圖4可知,增大裂紋區(qū)域的面積,裂紋外邊的斷裂準(zhǔn)則參數(shù)持續(xù)增大,而裂紋內(nèi)邊和上邊的斷裂準(zhǔn)則參數(shù)則逐漸減小,這意味著裂紋更容易向外擴(kuò)展.

當(dāng)裂紋沿x軸方向變窄時(shí),圖5和圖6給出了載荷頻率對(duì)裂紋擴(kuò)展行為的影響.裂紋上邊的斷裂準(zhǔn)則參數(shù)過(guò)小,故沒(méi)有在圖中出現(xiàn).該算例所研究的載荷頻率范圍內(nèi),曲線并沒(méi)有出現(xiàn)極值.為了進(jìn)一步研究裂紋寬窄對(duì)斷裂準(zhǔn)則參數(shù)的影響,給出了如圖7所示的算例.由圖可知,隨著裂紋寬度的增大,裂紋更容易發(fā)生擴(kuò)展.

圖7 裂紋各邊中點(diǎn)處應(yīng)力強(qiáng)度因子隨a3的變化曲線(ω=6 000,a1=0.1,a2=1.0,D0/ε0=1.0×108)

圖8為裂紋各邊緣中點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子變化曲線.由圖可知,裂紋外側(cè)邊緣的應(yīng)力強(qiáng)度因子較大,也更容易發(fā)生開(kāi)裂.然而,在進(jìn)一步更詳細(xì)的研究中發(fā)現(xiàn),圖8所表示的結(jié)果并不能準(zhǔn)確給出裂紋起裂點(diǎn).圖9給出了圖8算例中裂紋邊上各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子,可以明顯看出,斷裂準(zhǔn)則參數(shù)最大值并非出現(xiàn)在裂紋邊緣的中點(diǎn)處,因此不能僅根據(jù)裂紋中點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子來(lái)判斷裂紋的起裂情況.為了準(zhǔn)確評(píng)估裂紋的擴(kuò)展行為,將各頻率下裂紋邊上應(yīng)力強(qiáng)度因子的最大值提取出來(lái),并繪于圖10中.由圖10可知,隨著裂紋寬度的增加,裂紋上邊緣發(fā)生擴(kuò)展的可能性逐漸變大.

圖8 裂紋各邊中點(diǎn)處應(yīng)力強(qiáng)度因子隨載荷頻率變化曲線(a1=0.1,a2=1.0,a3=2.1,D0/ε0=1.0×108)

圖9 裂紋各邊應(yīng)力強(qiáng)度因子分布情況 (ω=2 000,a1=0.1,a2=1.0,a3=2.1,D0/ε0=1.0×108)

圖10 裂紋各邊最大應(yīng)力強(qiáng)度因子隨載荷頻率變化曲線(a1=0.1,a2=1.0,a3=2.1,D0/ε0=1.0×108)

5 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)壓電介質(zhì)中2個(gè)共面裂紋耦合斷裂問(wèn)題的研究,考慮裂紋的部分電導(dǎo)通特性,得到了載荷頻率和裂紋寬度對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響規(guī)律.與靜載荷作用下的裂紋擴(kuò)展估計(jì)不同,僅采用裂紋邊上中點(diǎn)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子或能量釋放率并不能完全準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)裂紋行為,必須對(duì)裂紋邊上各點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行計(jì)算,才能給出正確的結(jié)論.

)

[1] Zhang P W, Wu H P, Wang B. Time-harmonic P-waves engulfing a rectangular limited-permeable crack in piezoelectric medium: energy density and energy release [J].TheoreticalandAppliedFractureMechanics, 2011,59(3): 169-184.

[2] Zhao X H, Meguid S A. On the dynamic behaviour of a piezoelectric laminate with multiple interfacial collinear cracks [J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2002,39(9): 2477-2494.

[3] Liu F, Zhong X C. Transient response of two collinear dielectric cracks in a piezoelectric solid under inplane impacts [J].AppliedMathematicsandComputation, 2010,217(8): 3779-3791.

[4] Hao T H, Shen Z Y. A new electric boundary-condition of electric fracture-mechanics and its applications [J].EngineeringFractureMechanics, 1994,47(6): 793-802.

[5] Hao T H. Multiple collinear cracks in a piezoelectric material [J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2001,38(50/51): 9201-9208.

[6] Ding H J, Chen B, Liang J. General solutions for coupled equations for piezoelectric media [J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 1996,33(16): 2283-2298.

[7] Yang F Q. Fracture mechanics for a Mode Ⅰ crack in piezoelectric materials [J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 2001,38(21): 3813-3830.

[8] Gradshteyn I S, Ryzhik I M.Tableofintegral,seriesandproducts[M]. New York: Academic Press, 1980.

[9] Erdelyi A.TablesofIntegralTransforms[M]. New York: McGraw-Hill, 1954.

[10] Morse P M, Feshbach H.MethodsofTheoreticalPhysics[M]. New York: McGraw-Hill, 1958.

[11] Itou S. 3-Dimensional wave-propagation in a cracked elastic solid [J].JournalofAppliedMechanics,ASME, 1978,45(4): 807-811.

[12] Zhang P W, Zhou Z G, Wu L Z. Coupled field state around three parallel non-symmetric cracks in a piezoelectric/piezomagnetic material plane [J].ArchiveofAppliedMechanics, 2009,79(10): 965-979.

[13] Zhang P W, Zhou Z G, Li G. Q. Interaction of four parallel non-symmetric permeable mode-Ⅲ cracks with different lengths in a functionally graded piezoelectric material plane [J].ZeitschriftfürAngewandteMathematikundMechanik, 2009,89(9): 767-788. (in Russian)

[14] Itou S. Three-dimensional dynamic stress intensity factors around two parallel square cracks in an infinite elastic medium subjected to a time-harmonic stress wave [J].ActaMechanica, 2000,143(1/2): 79-90.

[15] Itou S. 3D dynamic stress intensity factors at three rectangular cracks in an infinite elastic medium subjected to a time-harmonic stress wave [J].ArchiveofAppliedMechanics, 1999,69(4): 286-298.