基于NURBS曲線的新型插補(bǔ)技術(shù)

唐良寶，祖重光

(桂林電子科技大學(xué)，廣西桂林541004)

目前，在CAD /CAM系統(tǒng)中，參數(shù)形式的自由曲線曲面已經(jīng)成為描述零件外形輪廓的最常用的數(shù)學(xué)方法之一[1]。NURBS曲線因具有良好的局部控制和形狀表達(dá)能力，以及能夠?qū)馕銮€和自由曲線進(jìn)行精確的統(tǒng)一表達(dá)，已成為STEP-NC 標(biāo)準(zhǔn)中自由曲線曲面的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)形式。并于1991年被國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO)規(guī)定為工業(yè)產(chǎn)品模型數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)是定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一標(biāo)準(zhǔn)[1]。

時(shí)間分割法是NURBS曲線常用的數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)方法，基本原理是按照插補(bǔ)周期進(jìn)給段的長(zhǎng)度來(lái)分割曲線，以弦線來(lái)逼近待插補(bǔ)曲線。NURBS曲線插補(bǔ)一般分為粗插補(bǔ)和精插補(bǔ)兩個(gè)部分。其中在粗插補(bǔ)部分，依據(jù)加工機(jī)械的進(jìn)給速度和加工件的精度要求等因素，對(duì)曲線進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算確定插補(bǔ)點(diǎn)，這是NURBS曲線插補(bǔ)的主要任務(wù)。粗插補(bǔ)的目的是獲得加工所需要的微小直線段并建立合理的加工速度，使得加工曲線更為平滑。精插補(bǔ)部分則可以根據(jù)現(xiàn)有的直線或圓弧插補(bǔ)技術(shù)來(lái)進(jìn)行加工。

1 NURBS曲線的數(shù)學(xué)模型[2]

一條NURBS曲線可以表示為一分段有理多項(xiàng)式矢函數(shù):

其中:ωi(i=0，1，…，n)稱為權(quán)因子，分別與控制定點(diǎn)di(i=1，2，…，n)相聯(lián)系。首末權(quán)因子ω0，ωn≥0，且順序k個(gè)權(quán)因子不同時(shí)為零，以防止分母為零、保留凸包性質(zhì)及曲線不致因權(quán)因子而退化為一點(diǎn)。Ni，k(u)是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0，u1，…un+k+1]決定的k次規(guī)范B 樣條基函數(shù)。

2 TAYLOR 公式展開法求NURBS曲線插補(bǔ)點(diǎn)

由于精確的NURBS曲線反函數(shù)難以準(zhǔn)確地獲得，并且在插補(bǔ)過(guò)程中通常是以直線逼近曲線的，因此，在求輪廓步長(zhǎng)和對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)多采用數(shù)值方法近似求取。在NURBS曲線插補(bǔ)中常用的方法是TAYLOR展開法。

在NURBS曲線插補(bǔ)中，為了便于計(jì)算、縮小計(jì)算量，通常采用一階或二階精度。因此，ui+1可表示為:

一階近似式:

二階近似式:

使用TAYLOR方法，在確定了插補(bǔ)周期之后，在計(jì)算NURBS曲線上下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)時(shí)，需要進(jìn)行速度規(guī)劃，并且進(jìn)行反求ui+1計(jì)算和p(ui+1)求解計(jì)算。由于在反求ui+1時(shí)，涉及到求p(u)的一階導(dǎo)數(shù)甚至是二階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算量大不利于實(shí)時(shí)插補(bǔ)。另外在高曲率階段，使用TAYLOR展開法速度波動(dòng)大，在機(jī)械系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)能力不能滿足要求時(shí)，使用TAYLOR展開法會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

3 二分預(yù)估校正法

采用預(yù)估校正法求解確定插補(bǔ)周期下NURBS曲線上的點(diǎn)，可以將TAYLOR展開法的兩個(gè)步驟合并起來(lái)。直接運(yùn)用正向運(yùn)算，避免了NURBS曲線的求導(dǎo)運(yùn)算。二分預(yù)估校正法可以分為兩個(gè)部分，即插補(bǔ)點(diǎn)預(yù)估和校正兩個(gè)階段。圖1為預(yù)估校正算法的基本流程圖。

圖1 預(yù)估校正算法的基本流程圖

二分預(yù)估校正法的計(jì)算過(guò)程。假設(shè)當(dāng)前的插補(bǔ)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為ui，經(jīng)過(guò)一個(gè)插補(bǔ)周期T 后，下一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為ui+1。采用二分預(yù)估校正法時(shí)，ui+1可由公式ui+1=ui+Δui直接預(yù)估獲得，這里Δui=ui－ui－1為前一個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)增量。應(yīng)用de Boor 遞推公式[2]計(jì)算相對(duì)應(yīng)的NURBS曲線上的點(diǎn)p(ui+1)。計(jì)算點(diǎn)p(ui)與p(ui+1)之間的弦長(zhǎng)值Δsi+1，比較Δsi+1與標(biāo)準(zhǔn)步長(zhǎng)Δs之間的誤差是否滿足許用精度，進(jìn)而確定曲線插補(bǔ)點(diǎn)p(ui+1)和參數(shù)值ui+1。圖2所示為二分預(yù)估校正法的計(jì)算流程。

4 曲線弓高誤差的計(jì)算

在應(yīng)用二分預(yù)估校正法計(jì)算NURBS曲線時(shí)，曲線上各個(gè)插補(bǔ)點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)是由弦長(zhǎng)近似代替的，因此在曲線弧和弦線之間存在著弓高誤差，如圖3所示。線段AB 即為曲線的弓高誤差δ。傳統(tǒng)的計(jì)算弓高誤差的方法是應(yīng)用公式得出，但當(dāng)曲線為自由曲線時(shí)曲率半徑ρ的計(jì)算非常復(fù)雜。

圖2 二分預(yù)估校正法的計(jì)算流程

圖3 弓高誤差圖

由于在NURBS曲線插補(bǔ)過(guò)程中每個(gè)插補(bǔ)周期T(ms)的進(jìn)給量非常微小，在給定的加工速度下曲線的插補(bǔ)增量也非常微小，因此擬用近似直線段AC 代替曲線弓高誤差A(yù)B，其中點(diǎn)C為曲線上點(diǎn)點(diǎn)A坐標(biāo)為由此得線段AC的長(zhǎng)度計(jì)算公式為此即為弓高誤差δ的近似計(jì)算公式。

5 進(jìn)給速度自適應(yīng)控制

為了不使插補(bǔ)計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生超出加工設(shè)備驅(qū)動(dòng)加工能力的速度指令，需要對(duì)曲線進(jìn)行插補(bǔ)周期內(nèi)速度與加速度檢驗(yàn)。

這樣求得的插補(bǔ)軌跡便具有了進(jìn)給速度自適應(yīng)的能力，并且將進(jìn)給速度和進(jìn)給加速度控制在給定的范圍之內(nèi)。

6 實(shí)例計(jì)算

被插補(bǔ)的3次NURBS曲線如圖4所示。采用二分預(yù)估校正算法對(duì)曲線進(jìn)行插補(bǔ)仿真運(yùn)算，程序在Visual C++6.0 環(huán)境中運(yùn)行，插補(bǔ)周期T=0.002 s，最大弓高誤差δ=0.001 mm，最大軸向速度vmax=200 mm/s，最大軸向加速度amax=500 mm/s2。圖5給出了計(jì)算過(guò)程中Δu與Δs之間的關(guān)系。

圖4 3次NURBS曲線

圖5 實(shí)例曲線Δu與Δs之間的關(guān)系

從圖5可以看出:在高曲率部分 (圖中圓圈A中所示部分)，參數(shù)增量Δu 和位移增量Δs之間是單調(diào)遞增關(guān)系，位移偏差可以通過(guò)改變參數(shù)增量的大小來(lái)實(shí)現(xiàn);并且當(dāng)參數(shù)增量變化很小時(shí)，位移增量近似等于參數(shù)增量。另外結(jié)合圖4可以看出:在曲線曲率較平緩的區(qū)域，位移增量也基本趨于不變。

采用插補(bǔ)點(diǎn)預(yù)估校正算法避免了對(duì)NURBS曲線求導(dǎo)運(yùn)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。表1給出了相同插補(bǔ)周期(T=2 ms)下TAYLOR展開法與二分法的插補(bǔ)計(jì)算時(shí)間。

表1 計(jì)算時(shí)間對(duì)照表(插補(bǔ)周期T=2 ms)次/ms

7 總結(jié)

NURBS曲線插補(bǔ)技術(shù)是高性能CNC系統(tǒng)的標(biāo)志之一。在開放式數(shù)控系統(tǒng)中，引入NURBS曲線插補(bǔ)技術(shù)能夠有效地提高插補(bǔ)速度和插補(bǔ)精度。NURBS曲線的插補(bǔ)點(diǎn)計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)化，能夠有效地提高插補(bǔ)計(jì)算效率，使插補(bǔ)運(yùn)算更適用于實(shí)時(shí)控制。文中用二分法預(yù)估校正算法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的TAYLOR展開法進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算，簡(jiǎn)化了插補(bǔ)過(guò)程，提高了插補(bǔ)計(jì)算的效率。

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