單螺桿擠壓破裂植物細(xì)胞力學(xué)模型的研究

翟 新 崔政偉

（江南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院食品加工技術(shù)與裝備研究中心，江蘇 無錫 214122）

細(xì)胞壁是植物細(xì)胞的顯著特征之一，由纖維素、半纖維素和果膠等組成，組織結(jié)構(gòu)比較致密堅(jiān)硬且不溶于大部分溶劑。大部分生物活性成分或藥用成分存在于細(xì)胞內(nèi)，僅少量存在于細(xì)胞間隙，因此植物的細(xì)胞壁是細(xì)胞內(nèi)有效成分提取的主要障礙。破裂細(xì)胞壁是天然成分快速高效提取最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，因此對植物細(xì)胞的受力破裂規(guī)律進(jìn)行研究對在植物有效成分提取的技術(shù)領(lǐng)域?qū)嵤﹦?chuàng)新和突破具有重要意義。已有研究［1－3］表明，擠壓可以破裂植物細(xì)胞提高提取速度和提取率。本試驗(yàn)針對單螺桿擠出過程中物料的受力情況進(jìn)行分析，并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，為擠壓輔助植物提取提供理論基礎(chǔ)。

1 單螺桿中擠壓物料的壓力大小及分布

單螺桿擠壓過程中產(chǎn)生擠壓力，并且貫穿了整個(gè)擠出過程，在擠壓過程中對物料的細(xì)胞破裂起到了至關(guān)重要的作用。通過對螺桿擠壓力進(jìn)行分析，從而分析細(xì)胞受力，得出細(xì)胞的受力模型。

為了使結(jié)論更具普遍性，本試驗(yàn)以應(yīng)用最為廣泛的等螺距、變截面的單螺桿為研究對象（見圖1）。由于植物中活性成分的提取對溫度有嚴(yán)格的要求，故這里選取的單螺桿擠壓設(shè)備沒有任何加熱設(shè)備。且已有研究［4－6］表明：不輔以加熱的擠壓過程能夠?qū)χ参锏募?xì)胞產(chǎn)生破壞作用，促進(jìn)植物活性成分的提取與獲得。

在單螺桿擠壓過程中，物料自投入到擠出，經(jīng)歷了固體輸送、壓緊和擠出破碎等過程。在固體輸送區(qū)，物料是靠它與螺桿和機(jī)筒之間的摩擦系數(shù)的差值形成的摩擦力而向前輸送的，隨著螺桿橫截面積的變大，相鄰螺紋之間的空間體積變小，使得空氣被壓縮，壓強(qiáng)變大，在空氣壓力的作用下，物料被緊緊地壓縮在一起。在這一過程中，由于壓力的增大，植物細(xì)胞所受的剪切應(yīng)力也增大。隨著物料向前輸送，物料進(jìn)入到擠壓區(qū)，壓力變得更大了，擠壓也更為劇烈，植物細(xì)胞壁內(nèi)的剪切應(yīng)力也繼續(xù)增大，直到超過細(xì)胞所承受的最大剪切應(yīng)力，致使細(xì)胞壁被損壞，植物細(xì)胞破裂。

圖1 螺桿結(jié)構(gòu)簡圖Figure1 Simplified screw structure

以相鄰兩個(gè)螺紋之間的物料為研究對象，定義物料流動的方向?yàn)長 向（圖1中箭頭方向），在L 方向上，取長度微元dz，在該微元段，物料可以視為平衡狀態(tài)，有以下平衡方程［7，8］：

式中：

1．1 螺桿對物料的作用力

螺桿對物料的作用力由3部分組成，分別是螺桿軸表面對物料的摩擦力和前后相鄰兩個(gè)螺紋的相對表面對物料的摩擦力。如圖2所示，設(shè)相鄰兩螺紋頂端的距離為w m，螺距為w′m。假定在L 處的作用力為

式中：

Fs（L）—— 在L 處螺桿對物料的作用力，N；

cs（L）—— 在L 處螺桿與物料接觸的周長，m；

τvp—— 物料在運(yùn)動過程中在L 方向上所受到的剪應(yīng)力，Pa；

Z—— 物料微元的長度，m。

假設(shè)在指定L 方向上，螺桿周長和剪應(yīng)力都是呈線性的關(guān)系變化，那么同理在L ＋z 處，有：

圖2 相鄰螺紋面間的分析單元Figure2 Unit of analysis between two threads

取L 和L＋z處的力的平均值作為擠出機(jī)螺桿對物料的作用力。即有：

在z 取值很小時(shí)，令z 為dL，式（4）可寫為

定義機(jī)筒直徑為Dm，物料運(yùn)動方向與周向的夾角為θ°，螺紋的升角為°，螺紋高度函數(shù)為h，那么L 處的螺紋高度為h（L），L＋z處的螺紋高度為h（L＋z），設(shè)螺桿旋轉(zhuǎn)1周物料前進(jìn)的實(shí)際距離為k m，如圖3所示，則有以下關(guān)系：

則螺桿與物料接觸的總長度為：

式中：

w′（L）—— 物料與螺桿表面的接觸長度（見圖4），m。

根據(jù)幾何關(guān)系有：w′（L）＝

圖3 螺桿旋轉(zhuǎn)1周物料移動距離Figure3 Moving distance of material in one rotation

圖4 分析單元截面圖Figure4 Cross－section of analysis unit

L 方向上剪應(yīng)力τvp的求取過程：

如圖5所示，在螺桿軸線方向上取兩相鄰截面1和2，橫截面積分別為A1和A2，物料在這兩個(gè)平面上的流速分別為v1和v2。根據(jù)連續(xù)性方程，可得：A1v1＝A2v2，作適當(dāng)變形，可得：－dA／A1＝dv／v1，將等式作如下變化：

將螺桿和機(jī)筒都展開成平面，見圖6，任意截面處的展開截面應(yīng)為長方形，面積為A ＝WH ＝W（H1－lsin），dl＝v1dt， 為螺桿的錐角。整理得：dv／dt＝v21WHsin／A1，根據(jù)牛頓第二定律有：dF→＝dm·a，由于這里力和加速度的方向相同，故可寫成dF ＝dm·a又dm ＝ρA1dv1，a＝dv／dt，進(jìn)一步整理有：

圖5 L方向上的分析單元Figure5 Unit of analysis in the“L”direction

圖6 機(jī)筒、螺桿展開圖Figure6 Developing drawing of barrel and screw

1．2 機(jī)筒對物料的作用力

機(jī)筒對物料的作用力作用在兩螺紋之間物料的頂部，類似螺桿對物料作用力的求法，具體過程如下：

SCAD患者抗血小板治療方案基于其是否血運(yùn)重建策略而定。而非血運(yùn)重建即優(yōu)化藥物治療，為SCAD患者首選治療方案，抗血小板治療為優(yōu)化藥物治療的基石，需強(qiáng)調(diào)的是這種首選的優(yōu)化治療方案針對無左主干或前降支近段病變的SCAD患者[2]。血運(yùn)重建包括經(jīng)皮冠狀動脈支架植入術(shù)(percutaneous coronary stent implantation，PCI)、冠狀動脈旁路移植術(shù)(coronary artery bypass grafting，CABG)和雜交策略。

在L 處：

式中：

cb—— 相鄰兩螺紋間機(jī)筒內(nèi)表面與物料接觸部分的周長，m；

τvr′—— 物料在運(yùn)動方向上所受到的剪應(yīng)力，Pa。

同理，在L ＋z 處：

那么，在（L，L ＋z）這一段上的機(jī)筒對物料作用力的平均值為：

同樣用dL 替換z 有：

對螺桿中物料的運(yùn)動進(jìn)行分解，見圖7。τvr表示物料在螺桿周向上的剪應(yīng)力，剪應(yīng)力的方向和速度的方向是一致的。由圖7中的速度矢量關(guān)系可以得到剪應(yīng)力τvp，τvr和τvr′之間的關(guān)系如下：

圖7 速度分解圖Figure7 Velocity vector diagram

1．3 背壓對物料的作用力

背壓指的是互相平行的兩個(gè)平面內(nèi)，由于面積和壓力的不同而產(chǎn)生的對物料的壓力。如圖8所示，在距離為Z m的兩平行平面內(nèi)，左側(cè)L 處平面的壓力為PPa，橫截面積為A0m2。

圖8 承受不同壓力的平行平面Figure8 Two parallel planes under different pressure

假設(shè)壓力變化函數(shù)和橫截面積變化函數(shù)與長度呈一次線性關(guān)系，那么右側(cè)L＋dL 處的壓力為P＋fP／fLdL，橫截面積為A0＋fA0／fLdL。由以上條件可以得出這兩個(gè)平面所受的壓力：

因此，可以求出：

根據(jù)螺桿結(jié)構(gòu)，可以求出A0，如下：

如此一來，就求出了背壓對物料的作用力，表達(dá)式為

1．4 物料自身變形所產(chǎn)生的作用力

理想狀態(tài)下，物料由于塑性變形所產(chǎn)生的應(yīng)力［9］：

式中：

A0—— 圖8中左側(cè)L 平面處的橫截面積，m2；

A—— 圖8中右側(cè)L ＋dL 平面處的橫截面積，m2；

σ0—— 物料材料的屈服應(yīng)力，MPa。

進(jìn)一步求取塑性變形產(chǎn)生的作用力：

1．5 螺桿中的壓力分布函數(shù)

根 據(jù) 關(guān) 系 式dFs＝（Fs／L）dL，對 式（10）作 如 下變形：

同理，可以對式（16）、（20）、（23）作相同處理，得到dFp、dFb和dFd。代入式（1），可得：

分離變量并化簡有：

積分上式有：

進(jìn)一步化簡式（27），可得到螺桿內(nèi)任意一點(diǎn)處的壓力值：

式中：

A0（0）—— 螺桿端面的橫截面積，m2；

B—— 螺桿表面至任一點(diǎn)處的垂直距離，m。

式（28）表示單螺桿中壓力的分布規(guī)律。

2 植物細(xì)胞破裂模型的建立

2．1 植物細(xì)胞模型的選取

物料的最大應(yīng)力和植物細(xì)胞的形狀和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，研究假設(shè)的模型有二維六邊形模型［10］、三維封閉球形模型［11］、三維多面體模型［12］、無固定形狀的6桿24彈性纜索組成三維彈性模型和最新提出的三維薄壁柱狀組織模型［13］。這里選用現(xiàn)在被廣泛研究的截面為正六邊形的三維薄壁柱狀組織模型（見圖9）為研究對象，來求解物料細(xì)胞承受的最大應(yīng)力。

圖9 六邊形柱狀細(xì)胞模型Figure9 Hexagonal columnar cell model

2．2 植物細(xì)胞承受的最大應(yīng)力

設(shè)單個(gè)細(xì)胞的截面正六邊形邊長為l m，縱向長度為hm，細(xì)胞壁厚度為t m。定義這3個(gè)基本量的變形系數(shù)為λ1、λ2和λ3，設(shè)當(dāng)細(xì)胞內(nèi)部壓力為零時(shí)，這3個(gè)量的初始值分別為l0、h0和t0，則有：λ1＝l／l0，λ2＝h／h0，λ3＝t／t0。細(xì)胞壁的體積占細(xì)胞總體積的比率為ρ0 ＝2t0／槡3l0，由于在整個(gè)推導(dǎo)過程中假設(shè)細(xì)胞的總體積不變，根據(jù)材料力學(xué)的知識有：λ1λ2λ3＝1。定義截面六邊形邊長所受的應(yīng)力為τ1，細(xì)胞縱向長度方向的應(yīng)力為τ2，細(xì)胞厚度方向的應(yīng)力為τ3，根據(jù)柯西應(yīng)力的求解公式τi＝kiG（λ2i－α／λ2i－1＋α）＋p［14］，可求得這3個(gè)應(yīng)力分別為

式中：

k1、k2和k3—— 分別表示l向、橫截面內(nèi)垂直于邊長l方向和h 向上細(xì)胞壁的變形系數(shù)，由細(xì)胞的結(jié)構(gòu)而確定；

G—— 細(xì)胞壁的彈性系數(shù)，N／m；

α—— 常量，取值范圍在（0，0．15）之間；

pi—— 細(xì)胞內(nèi)部的壓力，Pa。

同時(shí)，根據(jù)理論力學(xué)的知識，運(yùn)用力平衡理論和達(dá)朗貝爾原理可以求得這3個(gè)應(yīng)力為：

式中：

p0—— 細(xì)胞外部的壓力，即是上面所求得的螺桿內(nèi)部的壓力，Pa。

對式（29）和（30）兩組公式進(jìn)行處理，可得：

定義細(xì)胞體積膨脹率為ν，有：ν＝V／V0＝λ21λ2，V0為細(xì)胞未被壓縮時(shí)的體積。代入式（31）和（32）有：

聯(lián)立式（33）和（34），消去兩式中間的變量pi和po，可以得到一個(gè)關(guān)于ν的一元二次方程，形式如下：aν2＋bν＋c＝0，式中各系數(shù)的表達(dá)式分別為

求解一元二次方程aν2＋bν＋c＝0，并取大于零的正根，有：

進(jìn)而可得λ1和λ2的關(guān)系，回代入方程，可得（pi－p0），結(jié)果如下：

這樣，3個(gè)方向的應(yīng)力就都可求了。其中，最大值為

式中：

p（B）—— 螺桿中壓力的分布函數(shù)。

2．3 植物細(xì)胞破裂的模型

設(shè)植物細(xì)胞破裂的臨界剪應(yīng)力為τb，當(dāng)細(xì)胞所承受的最大剪應(yīng)力大于τb時(shí)，細(xì)胞會破裂。由此，細(xì)胞破裂的判定條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中τb的取值和植物的種類有關(guān)，可由試驗(yàn)測定。

3 分析與討論

3．1 最大剪應(yīng)力和壓力之間的關(guān)系

由植物細(xì)胞的最大剪應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型（37）可知，植物細(xì)胞所受的最大剪應(yīng)力與螺桿內(nèi)壓力的分布情況有著緊密的聯(lián)系。由模型（28）可知，螺桿內(nèi)的壓力p0從物料的進(jìn)入端到擠出口越來越大，由開始的小于細(xì)胞內(nèi)壓pi到最后大于pi，故最大剪應(yīng)力的絕對值也是一個(gè)先減小后增加的過程，并且后半段的壓力值可達(dá)到的值比前半段要大，細(xì)胞所受的剪應(yīng)力也必將在后半段達(dá)到最大值。螺桿內(nèi)壓力越大的地方，空腔的體積越小，物料的流速越大，物料之間的摩擦也就更為劇烈，剪應(yīng)力也越大，由模型（28）可知，此時(shí)壓力值也越大，再根據(jù)模型（37），細(xì)胞所受的最大剪應(yīng)力也越大；故細(xì)胞所受的剪應(yīng)力和壓力以及螺桿的剪切力都是正相關(guān)關(guān)系。

3．2 最大剪應(yīng)力和螺桿轉(zhuǎn)速及其物理參數(shù)之間的關(guān)系

植物細(xì)胞所受的剪應(yīng)力與螺桿內(nèi)壓力的分布有關(guān)，而壓力的分布規(guī)律同時(shí)也受螺桿的轉(zhuǎn)速和結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響。當(dāng)螺桿的轉(zhuǎn)速較高時(shí)，擠壓機(jī)單位時(shí)間內(nèi)擠出的物料量就比較大，即擠出速率較快，此時(shí)物料在擠壓機(jī)內(nèi)的運(yùn)動速度也越大，由式（9）可知，此時(shí)物料所受的剪切力也更大，所以植物細(xì)胞所受的最大應(yīng)力值也就越大；螺桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)中螺桿錐度、螺槽深度和螺紋升角對植物細(xì)胞所受的應(yīng)力有一定的影響。其中當(dāng)錐度、螺紋升角、螺槽深度越大時(shí)，螺桿的壓縮比、pi的值、pi－p0的絕對值也就越大，植物細(xì)胞所受的最大應(yīng)力也會相應(yīng)變大，這也正是有錐度變螺距螺桿的擠壓效果優(yōu)于等螺距螺桿的原因所在。

3．3 最大剪應(yīng)力和植物自身物理性質(zhì)間的關(guān)系

植物細(xì)胞所受的剪應(yīng)力還與自身的物理性質(zhì)有關(guān)，比如宏觀的物料的黏度，物料在螺桿內(nèi)的運(yùn)動速度受物料本身的黏度的影響，黏度越大，物料在擠壓過程中的能量損耗也越大，流速會有一定的削弱，導(dǎo)致物料內(nèi)部的剪切力變小，物料細(xì)胞所受的最大剪應(yīng)力也隨之變小；微觀的細(xì)胞形態(tài)結(jié)構(gòu)和細(xì)胞壁材料的彈性模量都對細(xì)胞的力學(xué)模型產(chǎn)生影響，不同的形態(tài)結(jié)構(gòu)對應(yīng)不同的力學(xué)模型，有著不一樣的柯西應(yīng)力的表達(dá)式，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)模型的不同。

4 結(jié)論

（1）文章通過理論推導(dǎo)的方法建立了單螺桿擠壓過程中物料細(xì)胞受力的數(shù)學(xué)模型方程，該模型適用于任何不同結(jié)構(gòu)參數(shù)、不同截面形狀的單螺桿擠出機(jī)的擠出情形。

（2）壓力的分布情況和螺桿自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)（螺桿直徑、螺紋升角和螺距）、螺桿轉(zhuǎn)速和生產(chǎn)效率有著直接的關(guān)系，在螺桿結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的前提下，可以通過調(diào)整螺桿的轉(zhuǎn)速和擠出速率來改變物料的受力情況，從而達(dá)到理想的破壁狀態(tài)。

（3）根據(jù)不同種類植物細(xì)胞的臨界應(yīng)力的不同，可以根據(jù)所推導(dǎo)出來的模型設(shè)計(jì)出滿足要求的不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的擠壓加工設(shè)備。

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