重力壩－庫水－地基相互作用分析方法比較研究

王銘明，陳健云，徐 強

（1.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.昆明理工大學(xué) 電力工程學(xué)院，云南 昆明 650500）

0 引 言

強烈地震會給大壩與庫水區(qū)帶來嚴重的后果，所以研究并掌握壩－庫系統(tǒng)的動力反應(yīng)極為重要.自從1933年Westergaard提出剛性直立壩面的動水壓力公式［1］以來，許多學(xué)者相繼提出了很多壩－庫系統(tǒng)的計算模型，豐富了這方面內(nèi)容，同時也取得了豐碩的研究成果.除了簡單的附加質(zhì)量模型外，1973年Chakrabarti和Chopra［2－4］相繼對附加質(zhì)量模型做出修正，考慮了可壓縮性水和彈性壩體的相互作用；而后，Chopra與其合作者作了進一步的研究［5－7］，將壩體與地基的相互作用考慮到壩體動力分析中；近年來，Darbre［8］改進了附加質(zhì)量模型，對附加質(zhì)量附以黏滯阻尼并通過兩個參數(shù)限制附加質(zhì)量的放大作用；最近，Dominguez等［9－11］用邊界元模型計算了壩體地震響應(yīng)的三維效應(yīng)，取得了很大成果.

考慮到壩體與庫水相互作用的耦合關(guān)系，很多學(xué)者通過各種方法建立耦合模型.最初，Brathez等假設(shè)壩體變形為一條直線，應(yīng)用迭代法計入壩體變形對動水壓力的影響［12］；隨著有限元法的出現(xiàn)，許多學(xué)者基于有限元法建立了很多流固耦合模型［13］.壩體－庫水相互作用的流固耦合模型將壩體和庫水看作兩個子結(jié)構(gòu)，分別采用不同的單元建模，然后應(yīng)用有限元法耦合求解.這樣可以考慮庫水可壓縮性、壩體阻尼以及水動力波等效應(yīng).Du等［14－15］提出一種時域顯式分析方法，嚴格模擬了可壓縮水－拱壩－地基相互作用，計算了小灣拱壩－庫水相互作用，取得良好效果；林皋等［16－17］應(yīng)用比例邊界有限元法計算壩體－庫水相互作用，具有精度高、維數(shù)低、計算速度快的特點.

基于Westergaard公式計算動水壓力及其附加質(zhì)量模型模擬地震時上游庫水對壩體的影響，由于簡單、方便以及在一定程度上能夠反映實際工程的近似情況，從而得到工程界與學(xué)術(shù)界有條件的承認，但對其適用條件仍有很大爭議.本文考慮水的可壓縮性，采用拉格朗日法［18］進行5種高度的壩體－庫水相互作用的有限元分析，求得壩體的地震動力響應(yīng)；通過分析給出Westergaard公式及附加質(zhì)量模型適用的壩體高度范圍，驗證在計算高壩－庫水相互作用時流固耦合模型是否更接近真實情況；同時，還分別研究柔性地基對高低壩體及其庫水系統(tǒng)的不同影響.

1 動水壓力數(shù)值模型

1.1 Westergaard公式及附加質(zhì)量模型

Westergaard研究了垂直剛性擋水壩在水平簡諧振動下的動水壓力問題，給出了近似的動水壓力計算公式：

式中：p為動水壓力；H為水庫的深度；h為計算點水深；β為最大地震加速度系數(shù).

根據(jù)壩面動水壓力與慣性力的性質(zhì)相似，與加速度大小成正比、方向相反，所以可以用附著于壩面的一定質(zhì)量的水體代替動水壓力的作用，而導(dǎo)出了著名的附加質(zhì)量公式：

式中：m（h）為h水深點的附加質(zhì)量；ρ為水的密度.

采用有限元法計算動水壓力時，需在壩體上游面添加附加質(zhì)量單元模擬庫水作用，其中壩體為柔性體，因此在地震動作用下壩體峰值加速度（PGA）會隨著壩體高度的增加有所放大.這使得附加質(zhì)量模型算得的上游面動水壓力除壩踵外均在Westergaard公式解基礎(chǔ)上有所放大.

1.2 拉格朗日庫水有限元流固耦合模型

假設(shè)庫水為無旋無黏、可壓縮水體，其運動方程可表示為

考慮庫底吸收性，水庫底部邊界條件應(yīng)該為

式中：α是反射系數(shù)，0≤α≤1，α＝1表示全反射，α＝0表示全吸收；n為庫底邊界法向，c為水體波速.

在設(shè)定庫水自由面、壩體上游面、上游無限遠及庫底邊界之后，庫水流體經(jīng)2D 有限元離散，某點的動水壓力可表示為

對式（3）微分，根據(jù)Galerkin法離散后得到流體運動方程：

2 計算實例與結(jié)果分析

2.1 計算實例

上部壩頭尺寸以阿海重力壩16＃擋水壩段為例，保持下游面坡比為0.75不變，取70、100、130、160及200m 五個高度等級重力壩分別進行了流固耦合模型與附加質(zhì)量模型的地震動力響應(yīng)計算結(jié)果的對比分析.計算時，采用水平和豎直的雙軸規(guī)范人工譜地震波，水平向地震峰值加速度為0.2g，豎直向地震峰值加速度為水平向的2／3；壩體模型材料的彈性模量為20 GPa，密度為2 400kg／m3，泊松比為0.17；庫水模型材料的體積模量為2.3GPa，密度為1 000kg／m3；庫水域長度為3倍壩高；動力增強因子取值1.3.

2.2 計算結(jié)果分析

2.2.1 頻率分析 5種壩體空庫及滿庫時的基頻見表1.可以看出，隨著壩體高度的增加，滿庫較空庫壩體基頻降低的幅度明顯增加，從70m 壩高的12.53%，到200m 壩高的20.40%，表明動力作用下庫水對高壩的影響較低壩更加明顯；對比表1中附加質(zhì)量模型與流固耦合模型滿庫壩體頻率結(jié)果還可知，隨著壩高的增加，附加質(zhì)量模型模擬庫水對壩體的作用較流固耦合模型明顯偏大.

表2列出70～200m 壩體的高階振型中最大參與系數(shù)及其對應(yīng)于規(guī)范反應(yīng)譜（Ⅰ類場地）的放大系數(shù).顯而易見，高階振型最大參與系數(shù)隨著壩高的增加而增大，當壩體高度超過160 m 時，高階振型最大參與系數(shù)超過0.5，壩高超過180 m時，該系數(shù)超過0.6，可見高壩動力計算時不可忽略高階振型影響.從低壩到高壩的各高階振型中，最大參與系數(shù)所在振型是不同的；70～80m 壩體的第6階振型的參與系數(shù)最大，90～110 m 壩體的第5階振型的參與系數(shù)最大，120～150m 壩體的第4階振型的參與系數(shù)最大，160～200m 壩體的第3階振型的參與系數(shù)最大.從表2可知，重力壩隨著壩體高度的增加，頻率降低，一方面高壩高階振型動力反應(yīng)參與系數(shù)也會增大，另一方面最大參與高階振型對應(yīng)于規(guī)范反應(yīng)譜（Ⅰ類場地）的放大系數(shù)會變大.圖1給出70、100、160及200m壩體的一階振型及具有最大參與系數(shù)的高階振型圖.從高階振型圖可以看出壩體的頭部反應(yīng)較大，而且壩體越高反應(yīng)越強烈.

表1 不同工況下壩段的基頻Tab.1 Dams fundamental frequencies under different cases

表2 70～200m 壩體的高階振型最大參與系數(shù)及其對應(yīng)于規(guī)范反應(yīng)譜放大系數(shù)Tab.2 Participation factors of models of 70－200mdams and their amplifications to response spectrum

圖1 壩體一階振型及最大參與系數(shù)的高階振型圖Fig.1 The first order model shapes and higher order model shapes of dams

由于高壩的高階振型參與系數(shù)增加，根據(jù)振型疊加法，高壩的壩頭部是振動分析的關(guān)注部位.

2.2.2 壩體動水壓力分析 對70～200m 重力壩地震作用下的動水壓力進行分析，為便于比較，現(xiàn)將流固耦合與附加質(zhì)量模型得到的動水壓力值及Westergaard公式解析解繪成歸一化曲線，如圖2所示（y＝壩高／最大水深；x＝動水壓力值／Westergaard最大解）.表3給出5 種壩高的Westergaard最大解與流固耦合模型動水壓力最大值的比較，以及流固耦合模型動水壓力最大值出現(xiàn)在壩體上的部位.結(jié)合圖2與表3分析可知，對于70～100 m 的低壩，Westergaard公式解與流固耦合模型所得上游壩面動水壓力相比，在壩體上部略有偏小，下部偏大.壩踵處動水壓力Westergaard解較流固耦合模型計算結(jié)果偏大約16%；對于160～200 m 的高重力壩而言，Westergaard解與流固耦合結(jié)果差別較大，體現(xiàn)出Westergaard解上部偏小、下部嚴重偏大的現(xiàn)象.如表3所示，隨著壩高的增加，動水壓力最大值較Westergaard最大解降低幅度有所增加，這種關(guān)系可以用線性函數(shù)表示：

式中：H為壩高，W為流固耦合模型算得動水壓力最大值較Westergaard最大解降低的百分比，R2為相關(guān)系數(shù).

流固耦合模型動水壓力最大值出現(xiàn)的位置也會隨著壩體高度逐漸升高.在70 m 壩體動水壓力最大值出現(xiàn)在距離壩踵上部5.4 m 處，而160 m 與200m 高壩的動水壓力最大值出現(xiàn)在壩高的40%左右.這也可以用線性函數(shù)良好擬合，其表達式為

式中：D為流固耦合模型算得動水壓力最大值出現(xiàn)的位置相對于壩底的高度.

圖2 5種高度壩體動水壓力歸一化比較Fig.2 Comparison of normalized hydrodynamic pressures from different heights of dams

表3 不同壩體動水壓力最大值與Westergaard最大解的比較及出現(xiàn)最值部位Tab.3 Comparison of Westergaard solutions and hydrodynamic pressure maximums from different heights of dams and positions of maximums

由作者以往的動水壓力模型試驗［19］成果可知，高重力壩的動水壓力試驗結(jié)果與流固耦合模型計算結(jié)果相一致，與附加質(zhì)量模型結(jié)果有較大差別.附加質(zhì)量模型結(jié)果較動水壓力試驗結(jié)果偏大，可知其模擬動水作用有所夸大；李德玉等［20］通過動水壓力模型試驗研究也得出相同的結(jié)論.結(jié)合表3、圖2及式（7）和（8），可以推斷，70m 左右高度的中低重力壩計算動水壓力用Westergaard公式能夠近似反映真實情況，對于160m 以上的高壩來說誤差較大，用流固耦合模型較為能夠反映工程實際.這是由于200m 高壩相對于70 m 高的中低壩，其壩體的柔度有所增加（幾何柔度也增加），導(dǎo)致壩腰部位受動水壓力影響較大.Westergaard 公式表示動水壓力最大值出現(xiàn)在大壩底部，動水壓力分布也隨著壩高的增加被嚴重夸大.

基于Westergaard公式推導(dǎo)出的附加質(zhì)量模型因其計算簡單、易于采用及偏于安全等因素，至今普遍被工程界所接受采納.在地震條件下彈性壩體的加速度沿壩高有放大作用，導(dǎo)致了附加質(zhì)量模型在整個上游面的動水壓力明顯大于Westergaard公式解與流固耦合結(jié)果，尤其在2／3壩高以上的部分.可見，采用附加質(zhì)量模型計算彈性壩體的動水壓力是被明顯夸大的，這與本文作者［19］及其他學(xué)者［20－21］的實驗結(jié)果分析相吻合.

2.2.3 位移分析 地震作用下5種高度重力壩頂上－下游向最大位移見表4.可以看出，無論是流固耦合模型還是附加質(zhì)量模型壩頂上－下游向最大位移都隨著壩體高度的增加而增大，且上游及下游方向最大位移的增幅較為一致.從兩種模型的角度來看，附加質(zhì)量模型的壩頂最大位移要明顯大于流固耦合模型結(jié)果.對于200m 級的高重力壩，流固耦合模型與附加質(zhì)量模型壩頂上游向的最大位移分別為34.81mm 和48.99mm，由此可知，兩種模型模擬庫水作用隨著壩高的增加而差別越發(fā)明顯，附加質(zhì)量模型算得壩體位移反應(yīng)有些夸大.圖3給出不同高度壩體兩種模型上游面位移包絡(luò)圖.由圖可知，地震作用下，附加質(zhì)量模型上游向（圖3中負方向）最大位移在整個壩體高度上都比流固耦合模型大；對于100～200m級中高壩體，附加質(zhì)量模型下游向（圖3中正方向）位移反應(yīng)與流固耦合模型不同，上部偏大，中下部偏小，而流固耦合模型壩體的上游向最大位移沿壩體高度增加十分均勻.

表4 不同工況下壩段壩頂?shù)纳希掠蜗蛭灰芓ab.4 Displacements in upstream and downstream on top of dams under different cases

2.2.4 加速度響應(yīng)分析 地震作用下，流固耦合與附加質(zhì)量兩種模型算得5種高度壩體的峰值加速度沿壩高的分布如圖4所示.兩模型在壩頸部以下部分的加速度反應(yīng)較為吻合，都出現(xiàn)了峰值加速度突增的趨勢，可見重力壩的頸部是抗震的重要環(huán)節(jié)；兩模型在壩頸部以上部分加速度的反應(yīng)被放大得更加明顯.壩頂峰值加速度被列于表5，可看出附加質(zhì)量模型算得的所有高度壩體的壩頂峰值加速度均比流固耦合模型結(jié)果大，并且隨著壩高的增加表現(xiàn)出顯著增加的趨勢.

2.3 柔性地基對低壩及高壩動水壓力的影響分析

地震時柔性地基也是動水壓力的重要影響因素.為充分考慮壩體及庫區(qū)柔性地基的阻尼、慣性及動水波對動水壓力的影響，計算中采用有質(zhì)量地基并加入庫底吸收系數(shù).分別計算了70與200 m 高度壩體在柔性地基條件下上游面動水壓力的分布情況.地基密度為2 700kg／m3，彈性模量為20 GPa，泊松比為0.25，庫底吸收系數(shù)取為0.2，地基深度為3倍壩高.

如圖5所示，分析兩種壩高的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，考慮地基（柔性基巖）和不考慮地基與壩體及庫水相互作用時，壩體的反應(yīng)因高度不同而有所差異.當壩高為70 m 時，不考慮地基與壩體及庫水相互作用的最大動水壓力為94.609kPa，出現(xiàn)在5.4m的高程處；考慮地基作用的最大動水壓力出現(xiàn)在8.6 m 高程處，其值為88.812kPa；當壩高為200m 時，考慮與不考慮柔性地基作用的動水壓力分別為206.693kPa和161.569kPa，出現(xiàn)的位置分別在約91m 和107m 的高程處.可見，地基對200m 級高壩及庫水作用的影響非常明顯，不但使動水壓力最大值降低了21.7%，還把最大影響部位升高了17.5%，足見其在計算壩體與庫水相互作用時不可忽略；對于70m 高的重力壩，考慮柔性地基作用時動水壓力分布較不考慮地基作用差別很小，最大值減小約6.5%，最值出現(xiàn)部位基本相同，所以，在計算70m 及以下高度的重力壩壩體與庫水相互作用時地基作用可以不用考慮.

圖3 每種高度壩體兩種模型上－下游向位移分布的比較Fig.3 Comparison of displacements in upstream and downstream on two models of dams of every height

圖4 每種高度壩體兩種模型峰值加速度沿壩高分布的比較Fig.4 Comparison of PGA along height on two models of dams

表5 每種高度壩體兩種模型壩頂峰值加速度Tab.5 PGA on top of two models of dams of every height

圖5 70m 和200m 高度壩體有無地基的動水壓力分布比較Fig.5 Comparison of dams hydrodynamic pressure with and without foundations in height of 70m and 200m

3 結(jié) 論

（1）滿庫時壩體基頻較空庫時有所降低，而且高壩比低壩降低得更多，說明震動時庫水對高壩動力響應(yīng)的影響更大；同高度附加質(zhì)量模型壩體基頻較流固耦合模型偏小，說明隨著壩高的增加附加質(zhì)量模型模擬庫水對壩體作用較流固耦合模型有明顯的夸大作用.

（2）Westergaard公式解析解較流固耦合模型動水壓力值在壩體上部略偏小，而下部偏大，壩體越高，偏大越嚴重；流固耦合模型動水壓力最大值出現(xiàn)于上游面位置且隨壩高的增加逐漸升高.結(jié)合以往動水壓力模型試驗研究結(jié)果，說明采用流固耦合模型模擬庫水對壩體的作用更符合真實情況；相比于Westergaard公式及流固耦合模型，彈性壩體的附加質(zhì)量模型算得的動水壓力在整個壩面上均被夸大，壩體越高，其上部所受動水壓力被夸大得越嚴重.

（3）壩頂上－下游向最大位移都隨著壩高的增加而增大；附加質(zhì)量模型的壩頂最大位移明顯大于流固耦合模型的位移反應(yīng)，且對于160～200m的高壩而言，這種差異尤為顯著.

（4）附加質(zhì)量模型較流固耦合模型算得各個壩體加速度反應(yīng)在壩頸部以下部分較為吻合，在壩頸部位均出現(xiàn)了峰值加速度突增的趨勢，在壩頸及以上部位，兩種模型的峰值加速度被放大得更為明顯，可見重力壩的頸部是抗震的重要環(huán)節(jié).隨著壩高的增加附加質(zhì)量模型壩頂峰值加速度卻表現(xiàn)出增加的趨勢，這造成了高壩頂部峰值加速度較流固耦合模型被明顯夸大的情況.

（5）通過對高低重力壩是否考慮柔性地基對壩體與庫水相互作用影響的分析可以得出，地基對200m 級高壩及庫水反應(yīng)的影響非常明顯，在計算高壩－庫水相互作用時地基作用不可忽略；對于70m 高的中低壩，此時地基作用可以不用考慮.

綜上所述，在研究壩體－庫水相互作用的耦合問題時，對于70 m 左右高度重力壩，可以采用Westergaard公式計算動水壓力，而對于160 m以上的中高重力壩采用流固耦合模型計算庫水作用及壩體動力響應(yīng)較為接近現(xiàn)實情況；對于彈性壩體而言，采用附加質(zhì)量模型模擬庫水作用無論壩體多高都會夸大壩體的動力反應(yīng).

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