基于可變模糊數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的多目標決策模型

雙 晴，袁永博，張明媛

（大連理工大學 建設(shè)工程學部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

多目標決策問題是決策者在決策中經(jīng)常遇到的實際問題，它是指在多個目標準則情況下確定一個方案好壞的決策過程，如生產(chǎn)規(guī)劃、企業(yè)經(jīng)濟效益的綜合評價、武器系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計等［1］.

多目標決策問題的關(guān)鍵步驟是目標權(quán)重的確定.各指標在決策中的地位不同，其差異主要表現(xiàn)在：（1）決策者對指標的重視程度不同；（2）指標在決策中的作用不同，即指標傳達給決策者的信息量不同；（3）各指標價值的可靠程度不同.目前，指標權(quán)重確定的方法主要可以劃分為主觀賦權(quán)法和客觀賦權(quán)法兩種［2］.主觀賦權(quán)法通過專家意見、問卷調(diào)查、通用準則等方式確定權(quán)重，如簡單加權(quán)法、TOPSIS法［3］、加權(quán)平均規(guī)劃法［4］等.客觀賦權(quán)法試圖通過實際數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)間的關(guān)系而生成客觀權(quán)重，如變異系數(shù)法、熵法［5］等.然而，由于客觀事物的復(fù)雜性及人類思維的模糊性，一般情況下，人們難以給出明確的偏好信息［6］，因此，能夠直接反映數(shù)據(jù)關(guān)系的客觀賦權(quán)法被認為更為有效和準確.

多目標決策問題的另一個關(guān)鍵要素是距離基準點的選擇.通常樣本與理想點距離越小越好.同時一些研究認為由于負理想點或非理想點為所構(gòu)建樣本中最劣集合，因此比較基準為距離最劣集合越遠越好［7－8］.樣本最終根據(jù)與理想點或非理想點的距離進行排序和擇優(yōu).

本文通過優(yōu)化每個決策指標的綜合屬性值得到客觀權(quán)重，組合賦權(quán)并用可變模糊集理論與方法對決策單元進行排序，以避免指標偏好信息獲取困難的問題，并修正數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法中決策單元同時最優(yōu)而難以擇優(yōu)的缺點，其相對隸屬度的思想使決策單元的排序滿足“距離理想點越近越好，距離非理想點越遠越好”的思想，以便于計算機實現(xiàn).

1 考慮權(quán)重客觀度的可變模糊多目標決策模型

1.1 指標特征值規(guī)格化方式

設(shè)n個樣本組成的集合為｛x1，x2，…，xn｝，共有m個指標特征值向量構(gòu)成指標特征值矩陣：

其中xij為樣本j指標i的特征值.為消除m個指標特征值物理量綱不同所帶來的不可公度性，需要對指標特征值進行規(guī)格化，即要將指標特征值xij變換為對聚類樣本關(guān)于模糊概念的指標相對隸屬度rij.指標的規(guī)格化方式一般可分為效益型、成本型、固定型、偏離型、區(qū)間型等［9］，但以效益型和成本型最為通用.

效益型指標：特征值越大越優(yōu)，規(guī)格化公式為

成本型指標：特征值越小越優(yōu)，規(guī)格化公式為

1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析與客觀權(quán)重

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）是一種在具有多輸入多輸出的同水平?jīng)Q策單元（DMU）上評價相對效率的 方 法［10］.自 運 籌 學 家Charnes等［11］在1978年以相對效率概念為基礎(chǔ)發(fā)展DEA 這一嶄新的效率評價方法以來，模型的適用范圍不斷擴展，重要的理論結(jié)果不斷出現(xiàn)，模型的實際應(yīng)用也日益廣泛.

多目標決策問題可以視為缺少投入量或每個決策單元具有相同投入量的DEA 問題［12］，可以證明，DEA 有效性與相應(yīng)的多目標規(guī)劃問題的Pareto有效解或非支配解是等價的［13］，因此，使用DEA 模型求解能夠避免目標之間的沖突和無法比較的現(xiàn)象，為決策者提供一個較佳的解空間.其模型可表示為

其中Rij表示樣本j指標i的特征值規(guī)格化數(shù)，wi為指標i的相對重要性權(quán)重，ε為非阿基米德無窮小，以方便使用單純形算法求解模型.模型根據(jù)決策單元效率值所構(gòu)建的超平面計算每個DMU的最優(yōu)指標權(quán)重.模型的優(yōu)勢在于：（1）DEA 適用于復(fù)雜系統(tǒng)，能夠從最有利于DMU 的角度進行評價；（2）投入產(chǎn)出向量間不必存在顯示關(guān)系表達式，DEA 模型能夠排除很多主觀因素，具有更強的客觀性.然而，盡管DEA 能夠在優(yōu)化權(quán)重的基礎(chǔ)上求出每個DMU 的效率值，卻很有可能出現(xiàn)多個DMU 同時達到效率值為1的情況，因此需要一種合理的機制幫助決策者進一步選擇最優(yōu)決策單元.

1.3 可變模糊多目標決策模型

1965年Zadeh創(chuàng)建的模糊集合是對普通集合的突破［14］，但模糊集合概念與定義的基石——隸屬函數(shù)存在靜態(tài)化的缺陷.在此基礎(chǔ)上，可變模糊集理論根據(jù)自然辯證法中關(guān)于中介、差異、共維、兩極的概念及客觀事物矛盾運動變化的原理，建立了以對立模糊集概念為基礎(chǔ)的模糊可變集合與可變模型集［15－16］.基本定義如下：

定義1 設(shè)論域U中的任意元素u的對立模糊概念或u對立的兩種基本模糊屬性，以與表示.在連續(xù)統(tǒng)區(qū)間［1，0］（對）與［0，1］（對）的任一點上，對立的兩種模糊屬性的相對隸屬度分別為，且.令

設(shè)s表示類別h的m個指標特征值規(guī)格化數(shù)，樣本j與類別h之間差異的廣義指標權(quán)距離公式為

為求解樣本j隸屬于類別h的最優(yōu)相對隸屬度u＊hj，引入以相對隸屬度uhj為權(quán)重的加權(quán)廣義指標權(quán)距離

建立目標函數(shù)［17－18］

滿足約束條件

其中α為可變優(yōu)化準則參數(shù)，α＝1、2分別為最小一、二乘方準則；p為可變距離參數(shù)，可取海明距離p＝1，歐式距離p＝2.

1.4 求解步驟

為將條件（10）極值（9）求解問題轉(zhuǎn)化為無條件極值求解問題，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（λu、λw分別為變量uhj、wi的拉格朗日乘子）：

并將c級識別簡化為2級識別，則可得樣本j對1級（優(yōu)級）的相對隸屬度

設(shè)計以下算法：

（1）對指標特征值矩陣X＝（xij）m×n按式（2）～（3）轉(zhuǎn)變?yōu)橹笜颂卣髦狄?guī)格化矩陣R＝（rij）m×n；

（2）將指標特征值規(guī)格化矩陣R代入模型（5）求得對應(yīng)于各指標的最優(yōu)目標權(quán)重矩陣W＝（wi（j））m×n；

（3）分別取α＝1、2，p＝1、2的4種組合按式（12）計算樣本j的相對優(yōu)屬度；

（4）對4種組合相對優(yōu)屬度值求平均，得相對優(yōu)屬度向量；

（5）按值從大到小的順序排序即得指標特征值矩陣的排序；

（6）結(jié)束.

2 應(yīng)用研究

為驗證模型的有效性，將評價結(jié)果與DEA結(jié)果、文獻［12］中建立的相對距離模型和文獻［19］中TOPSIS模型結(jié)果進行對比分析，結(jié)果見表3.其中sj表示樣本點相對理想點的距離變量，s＊j為樣本點與理想點距離，s－j為樣本點與非理想點距離，c＊j為樣本點與最理想點的相對接近度.

各模型對比分析結(jié)果如下：

首先，DEA 可以看作是處理多輸入多輸出問題的多目標決策方法［13］.評價中可能出現(xiàn)多個目標同時達到有效的狀態(tài)，不利于決策者選擇.如算例中除樣本4為最劣樣本外，其余樣本均達到效率值為1的最優(yōu)樣本的條件.本文算法根據(jù)DEA生成的客觀權(quán)重進行再評價，在模型的4種組合下均產(chǎn)生唯一排序，最劣樣本與DEA 算法一致.

其次，可變模糊模型中要求在評估前人為確定各指標權(quán)重，采用主觀賦權(quán)的方法，各項指標權(quán)重之和為一，即不同于主觀賦權(quán)所采用的專家經(jīng)驗，本文算法在權(quán)重的求解與計算方面根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特點挖掘數(shù)據(jù)指標間存在的客觀關(guān)系，分析出樣本集合中處于相對最優(yōu)情況的樣本個體，利用數(shù)學規(guī)劃的手段在Pareto有效前沿下生成客觀權(quán)重矩陣，放寬了可變模糊模型中指標權(quán)重之和為一的約束條件.

第三，應(yīng)用TOPSIS算法對樣本進行排序.由于文獻［19］所采用的數(shù)據(jù)規(guī)格化公式不同于本文，為增加排序結(jié)果的可對比性，降低數(shù)據(jù)規(guī)格化方式不同對最終排序造成的影響，本文對樣本原始數(shù)據(jù)采用相同的規(guī)格化公式，即式（4）～（5）重新計算，計算流程及理論分析如文獻［19－20］所述.所用專家指標權(quán)重依次為0.001 0、0.001 0、0.325 4、0.634 6、0.001 0、0.001 0.排序 的 結(jié) 果如表3后3 列所示.TOPSIS算法在樣本數(shù)據(jù)較接近的情況下，理想點和非理想點向量所構(gòu)成的中垂線上及靠近非理想點的中垂線部分，不同衡量標準下樣本點排序存在不合理的現(xiàn)象［20］.易見s＊j、s－j的排序存在差別，除樣本3、4、5外均不能同時滿足“距離理想點越近越優(yōu)”和“距離非理想點越遠越優(yōu)”的一致性條件，最大的排序偏差發(fā)生在樣本7，按s＊j排序第5，按s－j排序第1.最終排序是前兩種排序的折中排序，最優(yōu)樣本為樣本10.

當α＝1，p＝2時，可變模糊模型具體化為TOPSIS模型，因此二者存在的具體差別在于權(quán)重的確定.從識別最優(yōu)樣本的角度考慮，本文算法基于客觀權(quán)重計算樣本10 為最優(yōu)樣本，與TOPSIS專家權(quán)重產(chǎn)生的最優(yōu)樣本結(jié)果一致，證明了客觀權(quán)重的可適用性.因此能夠適用于由于事前信息量不足而造成的專家權(quán)重難以確定或?qū)＜乙庖姴唤y(tǒng)一的情況.

表1 10輛汽車的6項指標數(shù)據(jù)Tab.1 Data for ten cars with six criteria

表2 可變模糊決策模型相對優(yōu)屬度計算結(jié)果Tab.2 Relative optimal membership degrees of variable fuzzy decision－making model

表3 可變模糊、DEA、相對距離、TOPSIS模型的汽車排序結(jié)果Tab.3 Ranking for the car example from the variable fuzzy，DEA，relative distance，TOPSIS models

最后，同文獻［12］中建立的相對距離模型進行比較分析.相對距離模型的原理為根據(jù)DEA模型生成客觀權(quán)重，在此基礎(chǔ)上引入相對距離的思想，刻畫樣本點和理想點之間的相對差異，并根據(jù)此差異生成最終的樣本排序.因此，在對最優(yōu)、最劣樣本的識別上應(yīng)與DEA 模型產(chǎn)生的排序結(jié)果保持一致.從數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出，相對距離模型滿足了理想點與非理想點距離之和為一的要求，但其排序卻不能與DEA 模型排序結(jié)果相符，如DEA 模型下，樣本4排序第10，相對距離模型中樣本4排序第7.其次，該模型所用為原始數(shù)據(jù)，未進行規(guī)格化處理.由于樣本數(shù)據(jù)可能存在較大的離散型，導(dǎo)致規(guī)劃求解難以滿足wi＞ε的條件，因此模型在約束中增加了理想點與非理想點的比例系數(shù)b，即wi（Y＊i－Y－i）＝b.然而，比例系數(shù)b的設(shè)定需要人為主觀確定，在建模思想上與該相對距離模型利用數(shù)據(jù)生成客觀權(quán)重的思想不統(tǒng)一.

3 結(jié) 論

本文采用客觀賦權(quán)的方法，從多個指標中尋找使目標樣本趨于最優(yōu)的權(quán)重集合，并利用可變模糊集合理論的對立統(tǒng)一思想對樣本進行計算排序.該模型解決了DEA 評價結(jié)果不唯一的問題.

在可變模糊模型中引入DEA 客觀權(quán)重，權(quán)重的計算基于樣本數(shù)據(jù)不同指標的綜合表現(xiàn).首先，在DEA 計算生成的客觀權(quán)重矩陣下，可變模糊的4種不同組合模型能夠產(chǎn)生一致排序.客觀權(quán)重矩陣的引入放寬了可變模糊模型中對權(quán)重之和為1的約束條件，算例結(jié)果證明客觀權(quán)重矩陣能夠應(yīng)用于可變模糊模型.其次，4組模型的相對優(yōu)屬度和相對劣屬度排序結(jié)果在“距離理想點越近越優(yōu)”和“距離非理想點越遠越優(yōu)”兩個標準下分別產(chǎn)生相同的排序結(jié)果，且二者之和為1，故模型適用于決策者無法確定優(yōu)選衡量標準的情況.第三，TOPSIS算法是可變模糊模型取α＝1，p＝2時的特例，從擇優(yōu)的角度出發(fā)，應(yīng)用客觀權(quán)重的可變模糊方法和應(yīng)用主觀權(quán)重的TOPSIS方法能夠識別出相同的最優(yōu)樣本.在這一特點下，考慮權(quán)重客觀度的可變模糊多目標決策模型更適用于決策偏好信息不完全或?qū)＜乙庖姴唤y(tǒng)一時所導(dǎo)致的權(quán)重標準難以確定的情況.最后，客觀賦權(quán)法的決策或評價結(jié)果相對比較合理、客觀，可操作性和實用性強.綜上所述，此法為解決偏好信息不完全下的多目標決策問題提供了一條新的途徑.

［1］ 饒從軍，肖新平.多目標決策問題的模糊數(shù)學解法［J］.武漢理工大學學報：交通科學與工程版，2006，30（4）：700－703.RAO Cong－jun，XIAO Xin－ping.Method for the problem of multi－objective decision making based on fuzzy math theory［J］.Journal of Wuhan University of Technology：Transportation in Science ＆Engineering，2006，30（4）：700－703.（in Chinese）

［2］ Zeleny M.Multiple Criteria Decision Making［M］.New York：McGraw－Hill，1982.

［3］ 徐克龍.兩兩比較的TOPSIS法［J］.數(shù)學的實踐與認識，2010，40（5）：110－114.XU Ke－long.TOPSIS method based on pairwise comparisons ［J］.Mathematics in Practice and Theory，2010，40（5）：110－114.（in Chinese）

［4］ 徐澤水.語言多屬性決策的目標規(guī)劃模型［J］.管理科學學報，2006，9（2）：9－17.XU Ze－shui.Goal programming models for multiple attribute decision making under linguistic setting［J］.Journal of Management Sciences in China，2006，9（2）：9－17.（in Chinese）

［5］ 許麗忠，張江山，王菲鳳.熵權(quán)多目標決策環(huán)境監(jiān)測優(yōu)化布點模型及應(yīng)用［J］.環(huán)境工程，2007，25（1）：61－63.XU Li－zhong，ZHANG Jiang－shan，WANG Feifeng.Optimization of environmental monitoring sites by entropy weight multi－object decision model［J］.Environmental Engineering，2007，25（1）：61－63.（in Chinese）

［6］ 徐澤水.部分權(quán)重信息下多目標決策方法研究［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2002，1（1）：43－47.XU Ze－shui.One method for multi－objective decision－making with partial weight information［J］.Systems Engineering－Theory ＆Practice，2002，1（1）：43－47.（in Chinese）

［7］ YU P L.A class of solutions for group decision problems［J］.Management Science，1973，19（8）：936－946.

［8］ Jahanshahloo G R，Afzalinejad M.A ranking method based on a full－inefficient frontier ［J］.Applied Mathematical Modeling，2006，30（3）：248－260.

［9］ 費 奇，劉敬學.一種基于模糊偏好信息的多屬性決策方法［J］.武漢理工大學學報，2006，28（9）：132－140.FEI Qi，LIU Jing－xue.A multi－attribute decision making method based on fuzzy preference information［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2006，28（9）：132－140.（in Chinese）

［10］ 雙 晴，袁永博，雙 凱.基于改進數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的建設(shè)工程評標模型［J］.數(shù)學的實踐與認識，2012，42（8）：9－15.SHUANG Qing，YUAN Yong－bo，SHUANG Kai.A new method for construction engineering bidding evaluation［J］.Mathematics in Practice and Theory，2012，42（8）：9－15.（in Chinese）

［11］ Charnes A，Cooper W W，Rhodes E.Measuring the efficiency of decision making units ［J］.European Journal of Operational Research，1978，2（6）：429－444.

［12］ KAO Cao.Weight determination for consistently ranking alternatives in multiple criteria decision analysis ［J］.European Journal of Operational Research，2010，34（7）：1779－1787.

［13］ 魏權(quán)齡，岳 明.DEA 概論與C2R 模型——數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（一）［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，1989（1）：58－69.WEI Quan－ling，YUE Ming.An introduction to DEA and C2R model －Data envelopment analysis（1）［J］.Systems Engineering－Theory ＆ Practice，1989（1）：58－69.（in Chinese）

［14］ Zadeh L A.Fuzzy sets ［J］.Information and Control，1965，8（3）：338－353.

［15］ 陳守煜.可變模糊集理論哲學基礎(chǔ)［J］.大連理工大學學報：社會科學版，2005，26（1）：53－57.CHEN Shou－yu.Philosophical foundation of variable fuzzy sets theory ［J］.Journal of Dalian University of Technology：Social Sciences，2005，26（1）：53－57.（in Chinese）

［16］ 陳守煜.工程可變模糊集理論與模型——模糊水文水資源學數(shù)學基礎(chǔ)［J］.大連理工大學學報，2005，45（2）：308－312.CHEN Shou－yu.Theory and model of engineering variable fuzzy set— Mathematical basis for fuzzy hydrology and water resources ［J］.Journal of Dalian University of Technology，2005，45（2）：308－312.（in Chinese）

［17］ 陳守煜.工程模糊集理論與應(yīng)用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1998.CHEN Shou－yu.Engineering Fuzzy Set Theory and Application［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1998.（in Chinese）

［18］ 陳守煜.可變模糊集理論與模型及其應(yīng)用［M］.大連：大連理工大學出版社，2009.CHEN Shou－yu.Theory and Model of Variable Fuzzy Sets and Its Application［M］.Dalian：Dalian University of Technology Press，2009.（in Chinese）

［19］ Jacquet－Lagrèze E，Siskos J.Assessing a set of additive utility functions for multiple criteria decision making ［J］.European Journal of Operational Research，1982，10（2）：151－164.

［20］ 胡永宏.對TOPSIS法用于綜合評價的改進［J］.數(shù)學的實踐與認識，2002，32（4）：572－575.HU Yong－h(huán)ong.The improved method for TOPSIS in comprehensive evaluation ［J］.Mathematics in Practice and Theory，2002，32（4）：572－575.（in Chinese）