三圓筒透鏡強(qiáng)流脈沖束傳輸模擬計(jì)算

石海泉， 李超龍， 呂建欽

(1.華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院 江西南昌330013;2.北京大學(xué)核物理與核技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京100871)

0 引言

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)模擬程序?yàn)槭鱾鬏斚到y(tǒng)的設(shè)計(jì)和研究提供了一個(gè)直觀而又方便的工具，在各種類型加速器的設(shè)計(jì)中起著越來(lái)越重要的作用.在包括強(qiáng)流粒子加速器在內(nèi)的各種束流傳輸系統(tǒng)中，三圓筒透鏡是常用的聚焦元件.當(dāng)強(qiáng)流粒子脈沖束在三圓筒透鏡中傳輸時(shí)，不同類型的粒子束產(chǎn)生不同的空間電荷場(chǎng)，而在束流輸運(yùn)過(guò)程中，空間電荷場(chǎng)在不斷變化，且粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡與空間電荷勢(shì)之間相互依賴，這就要求對(duì)強(qiáng)流脈沖束傳輸進(jìn)行模擬計(jì)算時(shí)，其結(jié)果應(yīng)是“自洽”的［1］.非強(qiáng)流脈沖束在三圓筒透鏡中傳輸時(shí)，束流中離子間的空間電荷力與外加聚焦力相比可以忽略，可以用TRANSPORT程序進(jìn)行模擬計(jì)算.強(qiáng)流脈沖束在三圓筒透鏡中傳輸時(shí)，束流中離子間的空間電荷力與外加聚焦力相比不可忽略，由于TRANSPORT不考慮空間電荷力，因此不適用于強(qiáng)流脈沖束的傳輸計(jì)算［2-4］.可以用 PARMILA、PARMELA、TRACE3-D、PARMTEQ等程序進(jìn)行模擬計(jì)算，但是它們都不進(jìn)行迭代計(jì)算，所得結(jié)果不是自洽解［5-11］.國(guó)內(nèi)的呂建欽和李超龍等人用流強(qiáng)迭代和區(qū)間迭代等方法，得到了強(qiáng)流脈沖束在螺旋管透鏡和四極磁鐵中的傳輸?shù)淖郧⒔猓?2-13］.本文采用高斯—塞德爾迭代方法，通過(guò)計(jì)算，得到了三圓筒透鏡中強(qiáng)流脈沖束傳輸?shù)淖郧⒔?

1 傳輸理論

三圓筒透鏡由3個(gè)半徑相同的圓筒構(gòu)成，如圖1所示.設(shè)圓筒半徑為R，間距為s，兩端圓筒電位為V2，中間圓筒電位為V1，取中間圓筒中心為原點(diǎn)O，圓筒軸為z軸的柱坐標(biāo)系，z軸上的電勢(shì)分布可表示為［2］

圖1 三圓筒透鏡Fig．1 Three-tube lenses

當(dāng)束流在三圓筒透鏡中傳輸時(shí)，束流中離子的軌跡方向和橫向位移都發(fā)生變化，相應(yīng)的傳輸矩陣比較復(fù)雜．本文采用差分矩陣法，其基本思想是:把三圓筒透鏡的有效作用區(qū)劃分成若干個(gè)小區(qū)間．在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，電場(chǎng)近似看作是均勻的，離子只受到加速或減速，而沒(méi)有聚焦作用，場(chǎng)的作用等效于一個(gè)均勻加速場(chǎng)．在每個(gè)分點(diǎn)上，場(chǎng)的作用看成是一個(gè)聚焦薄透鏡．因此，整個(gè)三圓筒透鏡的傳輸矩陣等于所有小區(qū)間和分點(diǎn)的矩陣連乘積．強(qiáng)流脈沖束在三圓筒透鏡中傳輸時(shí)，考慮空間電荷力，假設(shè)粒子在六維相空間中為K-V分布，三圓筒透鏡的第i區(qū)間(zi-1，zi)和分點(diǎn)處zi的傳輸矩陣分別表示為［2］:

2 高斯—賽德爾迭代

由雅可比迭代公式可知，迭代的每步計(jì)算是用向量x(k)的全部分量來(lái)計(jì)算x(k+1)的全部分量．顯然在計(jì)算第i個(gè)分量x(

ik+1)時(shí)，已經(jīng)計(jì)算出的新分量x1(k+1)，…，x(

i-k1+1)沒(méi)有被利用．因此，對(duì)這些新計(jì)算出來(lái)的第k+1次近似x(k+1)的分量x(

ik+1)加以利用，就得到所謂解方程組的高斯—塞德爾迭代．相比雅可比迭代，高斯—賽德爾迭代的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)只需要一組存儲(chǔ)單元，因此需要的系統(tǒng)資源更少，并且具有更快的收斂速度．高斯—賽德爾迭代的基本步驟為:

Step 1 輸入系數(shù)矩陣A，常數(shù)列b，初始向量x(0)、精度ε以及迭代的最大次數(shù)N;

Step 2 k=0;

Step 3 對(duì) i=0，1，2，…，n-1，計(jì)算

Step 4 d＜ε成立，轉(zhuǎn)Step 6，否則繼續(xù);

Step 5 k≤N成立，k=k+1，轉(zhuǎn)Step 3，否則轉(zhuǎn)Step 7;

Step 6 輸出 x(k+1)i(i=0，1，2，…，n-1);

Step 7 結(jié)束.

3 束流包絡(luò)模擬與分析

為了驗(yàn)證高斯—賽德爾迭代的可行性，保證TTLS的合理性和可靠性，用TTLS、TRANSPORT-EM［14］及PARMILA(version 2.36)進(jìn)行了模擬比較.圖2為用來(lái)模擬計(jì)算的束流傳輸系統(tǒng)，由離子源、三圓筒透鏡、自由空間和靶室等組成.已知離子的初始能量為35 keV，質(zhì)量數(shù)和電荷數(shù)均為1.圖3為在20 mA束流流強(qiáng)條件下TRANSPORT和PARMILA束流包絡(luò)曲線的模擬圖.

圖4為TTLS和TRANSPORT在不同束流流強(qiáng)條件下束流包絡(luò)曲線的模擬圖.從圖4(a)可以看出，TTLS和TRANSPORT的束流包絡(luò)曲線模擬圖吻合較好，從而說(shuō)明TTLS算法是可靠的.從圖4(b)～(d)容易看出，隨著束流流強(qiáng)增大，TTLS模擬的束流包絡(luò)曲線橫向截面半徑逐漸增大，這證實(shí)了TTLS算法的合理性.因?yàn)槭髁鲝?qiáng)越大，空間電荷力越強(qiáng)，空間電荷力對(duì)束流包絡(luò)曲線發(fā)散作用越顯著.

圖5為TTLS和PARMILA在不同束流流強(qiáng)條件下束流包絡(luò)曲線的模擬圖.從圖5(a)可以看出，TTLS和PARMILA的束流包絡(luò)曲線模擬圖很吻合，說(shuō)明在束流流強(qiáng)較小時(shí)，計(jì)算束流傳輸時(shí)是否采用高斯—賽德爾迭代對(duì)結(jié)果影響不大.從圖5(b)～(d)容易看出，隨著束流流強(qiáng)增大，TTLS和PARMILA的束流包絡(luò)曲線模擬圖的偏離逐漸增大.這是因?yàn)槭髁鲝?qiáng)越大，空間電荷力對(duì)束流包絡(luò)曲線發(fā)散作用越強(qiáng)，非自洽解與自洽解的偏離越大.

圖4 TTLS and TRANSPORT包絡(luò)曲線模擬比較Fig．4 Comparison of envelope simulation of TTLS and TRANSPORT

圖5 TTLS and PARMILA包絡(luò)曲線模擬比較Fig．5 Comparison of envelope simulation of TTLS and PARMILA

4 結(jié)論

本文基于強(qiáng)流脈沖束在三圓筒透鏡中的傳輸理論，用高斯—賽德爾迭代方法計(jì)算強(qiáng)流脈沖束的傳輸，編寫了束流在三圓筒透鏡中傳輸模擬程序.通過(guò)對(duì)比分析TTLS與其他程序的模擬計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了高斯—賽德爾迭代的可行性及TTLS的合理性和可靠性.從模擬結(jié)果可以看出，束流在三圓筒透鏡傳輸時(shí)，三圓筒透鏡對(duì)束流有橫向聚焦效應(yīng)，空間電荷力對(duì)束流有橫向發(fā)散效應(yīng);當(dāng)束流流強(qiáng)較弱時(shí)，三圓筒透鏡的橫向聚焦效應(yīng)大于空間電荷力的橫向發(fā)散效應(yīng)，束流橫向包絡(luò)是趨于聚焦的，反之，束流橫向包絡(luò)是趨于發(fā)散的.本文模擬計(jì)算結(jié)果對(duì)研究其他靜電透鏡的橫向聚焦效應(yīng)和空間電荷力的橫向發(fā)散效應(yīng)具有一定參考價(jià)值.

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