解析C－半群生成元的Kato擾動(dòng)

楊延濤， 趙華新

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 陜西延安716000)

0 引言

算子半群的擾動(dòng)理論作為半群理論的重要內(nèi)容之一，近二三十年取得了顯著的發(fā)展，已涉及到多類(lèi)半群，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此也作了大量的研究工作［1－8］．Tanaka在1989年引入了解析C－半群的概念，其中C是Banach空間X上的有界單射線性算子，且，其后有學(xué)者也做了相應(yīng)的研究．本文給出了與文獻(xiàn)［9］條件不同的特征刻劃，并得到解析C－半群新的擾動(dòng)定理．

設(shè)X為Banach空間，B(x)表示X中一切有界線性算子全體構(gòu)成的空間．D(A)，R(A)，ρc(A)及R(λ，A)分別表示A的定義域，值域，C－預(yù)解集及C－預(yù)解式．

定義1［8］設(shè)A:D(A)→X是線性算子，如果存在閉線性算子A，使得 D(A)?D(A)，Ax=Ax，x∈?XD(A)，即 A?，則稱(chēng)A是可閉化算子 為A的閉化算子．

定義2［9］設(shè)X為Banach空間，C是X上的有界單射線性算子，且，稱(chēng)有界線性算子族{T(t):＜δ}(0＜δ≤)是解析C－半群，若滿足下列條件:

定義3［9］若解析C－半群)對(duì)任意給定 ε∈(0，δ)存在正常數(shù)Mε，使‖T(t)‖≤Mε，對(duì)}成立，則稱(chēng))是一致有界解析C－半群．

引理1［9］設(shè)A為解析C－半群的無(wú)窮小生成元，B為閉線性算子，s．t．D(A)?D(B)，CD(B)?D(B)和‖Bx‖≤a‖Ax‖ +b‖x‖，x∈D(A)，且 BCx=CBx，對(duì) x∈D(B)成立，則存在δ＞0，使得當(dāng)0≤a≤δ時(shí)，則A+BC是解析C－半群的無(wú)窮小生成元．

引理2［9］線性算子A是一致有界解析C－半群的無(wú)窮小生成元．當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件:

(c)對(duì) ε∈(0，δ)，存在正常數(shù)Mε，使得，對(duì)

引理3［10］設(shè)A為解析C－半群成立;)的無(wú)窮小生成元，B為可閉化線性算子，使得 D(A)?D(B)，CD(B)?D(B)，‖Bx‖≤a‖Ax‖ +b‖x‖，x∈D(A)，且 BCx=CBx，對(duì) x∈D(B)成立，則存在δ＞0，使得當(dāng)0≤a≤δ時(shí)，A+是解析C－半群的無(wú)窮小生成元．

1 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A為一致有界解析C－半群的無(wú)窮小生成元，B為可閉化算子，滿足D(A)?D(B)，CD(B)?D(B)，‖Bx‖≤a‖Ax‖，x∈D(A)，且 BCx=CBx，對(duì) x∈D(B)成立．當(dāng) 0時(shí)，則 A+是一致有界解析C－半群的生成元．

證明 假設(shè)T(t)為一致有界解析C－半群，則由引理2可知，存在常數(shù)M＞0，對(duì)任意δ＞0，ρε(A)?{λ:有

又因

則

和

算子B是A的一個(gè)Kato擾動(dòng)，亦即B滿足條件:

(ⅰ)D(A)?D(B);

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，需要加強(qiáng)教師對(duì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的重視，轉(zhuǎn)變教師觀念，積極進(jìn)行課堂改革，形成有效的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。

則存在常數(shù)k，M'＞0，使得A+BC－kI也滿足(1)和(2)式，但(2)中的常數(shù)M變?yōu)榇颂幍某?shù)M'．證明 任意x∈X，λ∈∑，k∈R+，則 λ+k∈∑且

利用A(λ+k－A)－1C=(λ+k)(λ+k－A)－1C－C和條件

可得

因此，算子(I－B(λ +k－A)－1C)－1存在，又因 λ +k∈ρc(A)，故(λ +k－A)－1C 存在，利用

便知 λ +k∈ρc(A+BC)，λ∈∑，即

結(jié)合(2)，(5)便得

聯(lián)合(4)，(6)，定理得證．

推論1 設(shè)A為一解析C－半群的無(wú)窮小生成元，B是A的Kato擾動(dòng)，且BCx=CBx，對(duì)x∈D(B)成立，則A+BC－kI(k＞0)是一解析C－半群S(z)的無(wú)窮小生成元，A+BC是解析C－半群T(z)=ekzS(z)的無(wú)窮小生成元．

證明 因A為解析C－半群的無(wú)窮小生成元，便知算子A滿足(1)，(2)式，B是A的Kato擾動(dòng)，則算子A+BC －kI也滿足(1)，(2)，因此，由引理3 知(a)，(c)成立，又 BCx=CBx，對(duì) x∈D(B)成立，易推出對(duì) x∈D((λ －(A+BC －kI))－1)有(λ －(A+BC －kI))－1Cx=C(λ －(A+BC －kI))－1x，(b)成立．

又CD(A)是A的核心，故存在xn∈CD(A)，使得

又因

由(7)式可推出

所以CD(A+BC－kI)是A+BC－kI的核心．

因此，由引理3可知，A+BC－kI是一解析C－半群S(z)的無(wú)窮小生成元，A+BC是解析C－半群T(z)=ekzS(z)的無(wú)窮小生成元．

推論2 設(shè)A為一解析C－半群的無(wú)窮小生成元，B1，B2，…，Bn是A的一個(gè)Kato擾動(dòng)，且BiCx=CBix，i=1，2，…，n，對(duì) x∈D(B)成立，則仍是解析C－半群的無(wú)窮小生成元．其中a1，a2，…，ak是常數(shù)．

證明 因?yàn)橛邢迋€(gè)Kato擾動(dòng)的線性組合仍然是Kato擾動(dòng)，所以結(jié)合定理2和推論1即證．

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