兩種并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度及有限元分析

王南，高鵬，崔國華，郝麗紅

(1.河北工程大學(xué)機電學(xué)院，河北邯鄲056038;2.中國科學(xué)院深圳先進技術(shù)研究院，廣東深圳518055)

并聯(lián)機構(gòu)的剛度是并聯(lián)機構(gòu)性能的重要指標(biāo)，并且為并聯(lián)機構(gòu)的設(shè)計提供重要理論依據(jù)。對并聯(lián)機構(gòu)的建立精確的剛度模型，成為近年來研究學(xué)者的研究重點。陳吉清等［1］利用螺旋矢量法建立了并聯(lián)機床剛度的數(shù)學(xué)模型，并對并聯(lián)機床動態(tài)性能進行了分析。呂亞楠等［2］利用有限元法研究了一種冗余并聯(lián)機床的靜剛度。李育文等［3］用有限元法分析了一種6-UPS并聯(lián)機床靜剛度，并且考慮了并聯(lián)機床的支鏈和機架的變形。王友漁等［4］借助子結(jié)構(gòu)綜合思想和Ansys參數(shù)化設(shè)計語言，構(gòu)造了Trivariant和Tricept兩種機械手的有限元模型，充分考慮了機構(gòu)中各種鉸鏈對并聯(lián)機構(gòu)處于不同位形時的整機靜、動態(tài)特性的有限元快速重構(gòu)技術(shù)。胡波等［5］提出了一種將3-RPS機構(gòu)的變形和剛度轉(zhuǎn)化為一個等效無約束反力的6自由度并聯(lián)機構(gòu)3-RPPS的變形和剛度進行分析。

在少自由度并聯(lián)機構(gòu)中，由于機構(gòu)結(jié)構(gòu)自身的原因，使得機構(gòu)內(nèi)部存在約束力/約束力矩，從而對整機的剛度精度產(chǎn)生重要影響，因此在分析中應(yīng)予以考慮［6］。本文就3-RPS并聯(lián)機構(gòu)及其變種3-SPR并聯(lián)機構(gòu)建立含約束力/力矩的剛度模型，并利用商用有限元軟件Ansys Workbench驗證兩種并聯(lián)機構(gòu)剛度模型的正確性。

1 系統(tǒng)簡介

3-RPS并聯(lián)機構(gòu)是三自由度并聯(lián)機構(gòu)。由上下2個平臺以及3個支鏈組成。其中3條支鏈由R、P、S3個運動副組成，支鏈通過R副與定平臺相連，另一端通過S副與動平臺相連，其中驅(qū)動力由P副提供。三條支鏈平均分布將動、定平臺連接起來(圖1-a)。3-SPR并聯(lián)機構(gòu)是3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的變異模型，上、下兩個平臺通過3個SPR支鏈連接。一端由S副連接定平臺，另一端由R副連接動平臺。其中P副提供動力輸出(圖1-b)。

1.1 位置逆解

圖2為兩種并聯(lián)機構(gòu)的機構(gòu)簡圖。建立笛卡爾直角坐標(biāo)系B-XYZ，以定平臺的中心點為坐標(biāo)系原點B，X軸平行BB1且方向向右，Y軸沿BB2方向，Z軸垂直于面B1B2B3且向上。以動平臺的中心點A建立動坐標(biāo)系A(chǔ)-uvw，u軸方向AA1且方向向右，v軸沿AA2方向，w軸垂直于面A1A2A3且向上。

設(shè)定A點的初始坐標(biāo)為(0，0，H)，動平臺的任一位形可描述為動平臺繞u軸旋轉(zhuǎn)α，繞v軸旋轉(zhuǎn)β，w方向的位移ZA。

封閉向量Li為

式中:qi-桿長;li-沿桿方向的矢量;Ai-點Ai在B-XYZ坐標(biāo)系中的位矢;-動平臺上Ai的坐標(biāo)變化齊次矩陣。

由于機構(gòu)本身的約束關(guān)系，可以得到

聯(lián)立式(1)、式(2)、式(3)得桿長qi為

1.2 雅可比矩陣的求解［7］

設(shè)動平臺的速度為V，則

則微動平臺的驅(qū)動映射雅可比矩陣JA為

ri球鉸各點相對于動平臺中心點的矢徑

球鉸點S的速度矢量AVi可表示為

AVi在R的投影Vui=0，可得

則可得到約束映射矩陣JC

并可得到完整的映射矩陣

1.3 剛度矩陣的求解

各分支在驅(qū)動力Fai和約束反力Fpi的作用下產(chǎn)生變形，設(shè)約束反力Fpi產(chǎn)生的變形δri沿ri方向，可以得到

式中:A-桿的橫截面積;Ee-彈性模量;ki-各分支的剛度系數(shù)。

由于δri很小，其方向可以看作是沿Fpi方向，也就是R副的方向，可知

式中:EeI-分支的彎曲剛度;I-分支的慣性矩。

得到機構(gòu)的剛度矩陣K為

由于3-SPR并聯(lián)機構(gòu)與3-RPS的結(jié)構(gòu)類似，推導(dǎo)雅可比矩陣的過程同上。在剛度模型中，由于S副位于其支鏈的下面，其變形情況也與3-RPS類似，推導(dǎo)過程略。

2 數(shù)值算例

給定參數(shù)RB=100 mm，RA=80 mm，初始高度H=75 mm，

由兩種并聯(lián)機構(gòu)的靜剛度可以發(fā)現(xiàn)(表1)，Z方向的剛度值總比其它兩個方向大，并且3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的剛度比3-RPS的剛度要大。

3 有限元分析

并聯(lián)機構(gòu)的剛度模型是位形的函數(shù)，因此在應(yīng)用有限元軟件對并聯(lián)機構(gòu)分析時，定會針對不同位形對并聯(lián)機構(gòu)進行有限元分析［8］。利用Solidworks三維實體建模軟件建立兩種并聯(lián)機構(gòu)的實體模型，利用軟件自身的裝配將并聯(lián)機構(gòu)按照實際情況裝配到一起。根據(jù)桿長，將并聯(lián)機構(gòu)調(diào)整到需要的位姿，然后導(dǎo)入到Ansys Workbench中，按照并聯(lián)機構(gòu)的運動副設(shè)置其連接條件。兩種并聯(lián)機構(gòu)的材料按照彈性模量E=2.11e11 Pa，泊松比γ=0.3，屈服極限δ=350 MPa。整機模型采用四面體和六面體單元劃分網(wǎng)格，單元數(shù)目為14 368，節(jié)點數(shù)為51 153。外載荷F=［10 -15 20］N，M=［-20 10 15］N/m。

表2中列出了兩種并聯(lián)機構(gòu)在不同位形時的變形情況。結(jié)合表1可以看到理論分析值與有限元分析的結(jié)果的極為相近，說明剛度模型的準(zhǔn)確性?？v向?qū)Ρ缺?中位置Ⅰ位置Ⅱ位置Ⅲ的變形云圖，Z方向的剛度總比其余兩個方向大，即兩種并聯(lián)機構(gòu)承受Z方向載荷能力強于其余兩個方向。從兩種并聯(lián)機構(gòu)的X方向變形云圖中可以看出，兩種并聯(lián)機構(gòu)在不同位形時，3-SPR并聯(lián)機構(gòu)在X方向的剛度均略大于3-PRS，跟理論分析的結(jié)果一致。

表1 兩種并聯(lián)機構(gòu)靜剛度Tab.1 Static stiffness of the two parallel mechanism N/m2

表2 兩種并聯(lián)機構(gòu)各向變形云圖Tab.2 Each direction deformation of the two parallel mechanism

4 結(jié)論

有限元軟件驗證結(jié)果表明，3-SPR并聯(lián)機構(gòu)的剛度性能優(yōu)于3-RPS并聯(lián)機構(gòu)的剛度性能，兩種并聯(lián)機構(gòu)的Z方向剛度均比X、Y兩個方向的剛度大。

［1］陳吉清，蘭鳳崇.Stewart并聯(lián)機床瞬時剛度分析與應(yīng)用［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報，2007，31(4):482-486.

［2］呂亞楠，王立平，關(guān)立文，等.一種冗余并聯(lián)機床靜剛度有限元分析與優(yōu)化設(shè)計［J］.機械設(shè)計與制造，2008，2(2):1-3.

［3］李育文，張華，楊建新，等.6-UPS并聯(lián)機床靜剛度的有限元分析和實驗研究［J］.中國機械工程，2004，15(2):112-115

［4］王友漁，趙興玉，黃田，等.可重構(gòu)混聯(lián)機械手Trivariant和Tricept的靜動態(tài)特性預(yù)估與比較［J］.天津大學(xué)學(xué)報，2007，40(1):41-45.

［5］胡 波，路懿.求解3-RPS并聯(lián)機構(gòu)剛度的新方法［J］.機械工程學(xué)報，2010，46(1):24-29.

［6］劉樹青，吳洪濤.一種新型起重機器人的運動學(xué)分析與應(yīng)用［J］.河北科技大學(xué)學(xué)報，2004，25(2):58-61.

［7］王南，張莉婷，郝莉紅.空間3-UPU/UPU機構(gòu)的剛度分析［J］.河北工程大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，29 (3):85-87.

［8］LU Y，HU B.Analyzing kinematics and solving active/ constrained forces of a 3SPU+UPR parallel manipulator［J］.Machine and Mechanism Theory，2007，42 (10):1298-1313.