關(guān)于兩類半離散含對(duì)數(shù)非齊次核逆向的Hilbert型不等式

楊必成

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關(guān)于兩類半離散含對(duì)數(shù)非齊次核逆向的Hilbert型不等式

楊必成

(廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東，廣州 510303)

應(yīng)用權(quán)系數(shù)的方法、復(fù)分析技巧及參量化思想,建立兩類具有最佳常數(shù)因子的、半離散含對(duì)數(shù)非齊次核逆向的Hilbert型不等式及其等價(jià)式。

權(quán)系數(shù)；參數(shù)；Hilbert型不等式；等價(jià)式；逆式

0 引言

這里，常數(shù)因子4仍為最佳值。式(2)稱Hilbert型積分不等式。以上兩個(gè)-1齊次核不等式與Hilbert不等式一樣，是分析學(xué)的重要不等式[1-2]，它們有不少推廣應(yīng)用[3-6]。近年，有關(guān)半離散Hilbert型不等式的研究漸趨熱潮。關(guān)于半離散、齊次核Hilbert型不等式，可參閱文[7-11]；關(guān)于半離散、非齊次核的Hilbert型不等式，其結(jié)果及方法可參閱文[1](定理351)及文[12-15]；關(guān)于半離散逆向的Hilbert型不等式，則可參閱文[16-18]。其方法特點(diǎn)是綜合應(yīng)用了離散與積分兩類不等式的思想技巧。最近文[19]建立了半離散含對(duì)數(shù)齊次核逆向的Hilbert型不等式。

1 引理

(N為正整數(shù)集)。則有如下不等式:

這里，

即有式(6)。證畢。

(8)

2 主要結(jié)果

則有如下等價(jià)不等式：

(12)

再由式(12)，有式(11)。反之，設(shè)式(11)成立。取

則由式(11)，有

故式(12)成立，且它與式(11)等價(jià)。

代入式(13)，式(11)成立。反之，設(shè)式(11)成立。取

故式(13)成立，且它與式(11)等價(jià)。故式(11)，式(12)與式(13)齊等價(jià)。

另一方面，有

式(12)、(式(13))的常數(shù)因子必為最佳值。不然，由式(14)、(式(16))，必將導(dǎo)出式(11)的常數(shù)因子也不為最佳值的矛盾。證畢。

證明 類似于定理1的方法，可證明式(20)，式(21)與式(22)成立且等價(jià)。下面只證式(20)的常數(shù)因子為最佳值。則由此結(jié)論及等價(jià)性，易證式(21)，式(22)的常數(shù)因子亦為最佳值。

(24)

再由L控制收斂定理，有

結(jié)合式(23)與式(24)，有

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[19] 楊必成.關(guān)于兩類半離散含對(duì)數(shù)非齊次核逆向的Hilbert型不等式[J].廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào),2012,40(5):433- 437.

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ON TWO CLASSES OF REVERSE HALF-DISCRETE HILBERT-TYPE INEQUALITIES WITH THE NON-HOMOGENEOUS KERNEL OF LOGARITHM

YANG Bi-cheng

(Department of Mathematics, Guangdong University of Education, Guangzhou,Guangdong 510303, China)

Based on the way of weight coefficients, the technique of complex analysis and the idea of introducing parameters, two classes of reverse half-discrete Hilbert-type inequalities as well as the equivalent forms with the non-homogeneous kernel of logarithm and a best constant factor are given.

weight coefficient; parameter; Hilbert-type inequality; equivalent form; reverse

1674-8085(2013)02-0001-06

O178

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.001

2012-11-21；

2013-01-28

2012年廣東省高等院校學(xué)科建設(shè)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(2012KJCX0079)

楊必成(1947-)，男，廣東汕尾人，教授，主要從事算子理論與不等式研究(E-mail: bcyang@gdei.edu.cn).