應(yīng)用電勢(shì)梯度求場強(qiáng)時(shí)應(yīng)注意的一個(gè)問題

張振川 王曉輝 李 博 安 雷

（軍械工程學(xué)院 學(xué)員2旅21連，河北 石家莊 050003）

在目前國內(nèi)使用的大學(xué)物理教材中，大多數(shù)在系靜，即電E場＝部－分ΔU都.介由紹于了靜電電勢(shì)場與中電電場勢(shì)強(qiáng)的度可的疊微加分性關(guān)，利用這種微分關(guān)系更容易求得電場強(qiáng)度.然而在實(shí)際應(yīng)用中，如何合理利用這種微分關(guān)系卻存在一些需要注意的問題.

1 提出問題

許多教材在討論電勢(shì)與電勢(shì)的微分關(guān)系應(yīng)用時(shí)都以均勻帶電圓環(huán)軸線上電勢(shì)與電場強(qiáng)度的關(guān)系為例子.

例1 計(jì)算半徑為R、帶電量為q的均勻帶電圓環(huán)軸線上距離環(huán)心x 處的P 點(diǎn)的電場強(qiáng)度，見圖1.

解：先求電勢(shì)：

圖1

利用電勢(shì)與電場強(qiáng)度的微分關(guān)系在直角坐標(biāo)系中有

可得

此結(jié)果與利用電場疊加原理得到的結(jié)果相同.

此例題給出了在已知某一直線上的電勢(shì)分布求電場強(qiáng)度的方法，很容易給初學(xué)者一種印象：只要知道某一直線上的電勢(shì)分布情況，就可以利用梯度關(guān)系求該直線上的電場強(qiáng)度.但這個(gè)觀點(diǎn)是正確的嗎？

仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面的例子只是一個(gè)特例，并不適于一般情況.因?yàn)檫x取同樣是半徑為R、帶電量為q 的非均勻帶電圓環(huán)，討論其軸線上任意點(diǎn)的電勢(shì)和電場強(qiáng)度，其結(jié)論就會(huì)出現(xiàn)偏差.

計(jì)算可得非均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì)為

與均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì)分布相同.

如果仿照前面的方法也會(huì)得到

而由于軸線上的電勢(shì)U 只是x 的函數(shù)，故Ey＝Ez＝0.但如果利用場強(qiáng)疊加原理分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果存在問題.均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)由于環(huán)上電荷呈軸對(duì)稱分布，環(huán)上全部電荷的dE⊥互相抵消，故只有x 軸方向的投影.而非均勻帶電圓環(huán)的電荷分布不存在軸對(duì)稱，其環(huán)上全部電荷的dE⊥無法完全互相抵消，而會(huì)有部分剩余體現(xiàn)在y 軸和z 軸的投影，通常不會(huì)出現(xiàn)Ey＝Ez＝0的情況.

對(duì)此結(jié)果進(jìn)行比較，不免出現(xiàn)一個(gè)疑問：同樣是利用電勢(shì)與電場強(qiáng)度的微分關(guān)系，為什么會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果？

2 分析問題

由于電場中各點(diǎn)電場強(qiáng)度與該點(diǎn)的電勢(shì)梯度等值而反向，故可以從梯度的性質(zhì)出發(fā)來探尋用電勢(shì)梯度求場強(qiáng)的適用性.對(duì)于一個(gè)可以用連續(xù)函數(shù)U （x ，y，z） 表示的數(shù)量場梯度的定義是：對(duì)其沿任意的l方向求其方向?qū)?shù)，

當(dāng)l的方向分別取x、y、z軸的方向時(shí)可得

上式中，α1、β1、γ1分別是E 與x、y、z 軸正向的夾角.

由以上推導(dǎo)可以看出：在靜電場中，雖然只確定某一特定軸向上的電勢(shì)情況下得不到該軸線上的電場強(qiáng)度，但可以得到其在軸向上的投影.

下面分析均勻帶電圓環(huán)和非均勻帶電圓環(huán)軸線上的情況.

對(duì)于均勻帶電圓環(huán)，由于環(huán)上電荷呈軸對(duì)稱分布，環(huán)上全部電荷的dE⊥互相抵消，其軸線上的場點(diǎn)滿足α1＝0的情況，即場強(qiáng)E 的方向與x 軸正向相同，故

對(duì)于非均勻帶電圓環(huán)，其軸線上不滿足α1＝0的情況，故只滿足

例如求均勻帶電量為q的半徑為R 半圓環(huán)軸線上距環(huán)心x 處的電場強(qiáng)度.

圖2

利用電勢(shì)疊加原理可得

其中，λ·πR＝q于是上式可寫為

利用電勢(shì)與電場強(qiáng)度的微分關(guān)系可得

而利用場強(qiáng)的疊加原理可得其場強(qiáng)

可以看到：利用場強(qiáng)疊加原理得到的電場強(qiáng)度在x 軸方向的投影與利用電勢(shì)與電場強(qiáng)度的微分關(guān)系得到的結(jié)果相同.

3 結(jié)論

利用電勢(shì)微分與電場強(qiáng)度的關(guān)系求場強(qiáng)在許多教科書中都有涉及，但其例題及習(xí)題大都是特殊情況下的計(jì)算，如求均勻帶電細(xì)棒中垂面、延長線的電勢(shì)與場強(qiáng)，求均勻帶電圓盤中垂線上的電勢(shì)與場強(qiáng)等.雖然部分教材中指出了由于電場具有對(duì)稱性才采用了一維簡化的形式，但這種編排容易讓初學(xué)者產(chǎn)生誤解.故在講解此類例題時(shí)建議強(qiáng)調(diào)其特殊性.

［1］康穎.大學(xué)物理（上冊(cè)）［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［2］費(fèi)里德曼.西爾斯當(dāng)代大學(xué)物理（上冊(cè)）［M］.鄧如鐵，孟大敏，徐元英，等譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.

［3］吳百詩.大學(xué)物理基礎(chǔ)（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［4］張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)（下冊(cè)）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2003.