圓柱形磁鐵在金屬管中的下落時間

黃志雷 王 越

（清華大學，北京 100084）

1 引言

磁鐵在金屬管中，因為電磁感應而慢速下落的實驗，是電磁學課程中一個經(jīng)典的演示實驗.這個過程的物理圖像是磁鐵下落在金屬管中產(chǎn)生感生電流，由楞次定律可知這個感生電流會阻礙磁鐵下落.雖然定性分析比較簡單，但是鮮有人對這個過程進行定量分析.本文希望從理論上，利用磁鐵、金屬管的各參數(shù)，對這個問題進行理論計算，并與實驗結(jié)果進行比較，將電磁學教科書上的知識應用到實際問題中.

2 理論計算

經(jīng)觀察，在金屬管內(nèi)壁半徑略大于圓柱磁鐵半徑的情況下，磁鐵在金屬管中下落時，很快達到恒定速度，保持該速度勻速下落.并且在下落時，磁鐵基本保持豎直，與金屬管共軸，即兩圓形表面平行于水平面，圓心與金屬管中心重合.因此，計算磁鐵在金屬管中豎直、勻速下落的速度，便可求得其在金屬管中的下落時間.

磁鐵周圍有一個磁場分布，當磁鐵以一定速度運動時，根據(jù)該磁場分布和速度，可以求得金屬管中的電流.而金屬管中的電流又會產(chǎn)生磁場，該磁場與磁鐵作用，對磁場下落產(chǎn)生阻力.當該阻力與磁鐵所受重力相等時，磁鐵在金屬管中勻速運動，此狀態(tài)即為所求.這里忽略了金屬管中電流產(chǎn)生的磁場的變化對金屬管中電流的影響.使用上述思路對磁鐵在金屬管中下落問題進行研究比較繁瑣，在計算時需要計算多次積分.從能量角度可以將計算簡化.當磁鐵勻速下落時，重力對磁鐵做功，重力勢能減少.由于磁鐵是勻速下落，因此重力勢能全部轉(zhuǎn)化為金屬管中電流產(chǎn)生的焦耳熱.當焦耳熱的熱功率與重力所做功的功率相等時，便是磁鐵勻速下落的狀態(tài).

計算出磁場分布后，可以進而計算磁鐵運動時，在金屬管中產(chǎn)生的電流.可以將金屬管看作許多金屬圓環(huán)疊在一起.由于整個系統(tǒng)具有軸對稱性，因此金屬圓環(huán)之間沒有電流.每個金屬環(huán)產(chǎn)生的電動勢可以根據(jù)磁鐵產(chǎn)生的徑向磁場和磁鐵下落速度進行計算.當金屬管管壁厚度相對金屬管半徑非常小時，可以近似認為金屬環(huán)外徑和內(nèi)徑中點所處點的磁場徑向分量，就是整個金屬環(huán)上每一點磁場徑向分量.

圖1 各物理量方向及位置示意圖

3 理論結(jié)果與實驗結(jié)果對比

對磁鐵在金屬管中的下落時間進行實際測量.實驗中所用圓柱形磁鐵直徑（13.97±0.02）mm，高（10.00±0.01）mm，剩磁（1.21±0.03）T，這些為磁鐵的已知參數(shù).實驗使用3根長約1m，半徑約9mm，管壁厚度約2mm 的金屬管.材質(zhì)分別為黃銅、紫銅和鋁.本實驗中，除了金屬管電阻率外，其余物理量都比較容易測量.本實驗使用四點法測量金屬管電阻，再依據(jù)金屬的形狀，得到金屬的電阻率.測量時，先用砂紙將金屬管兩端外層的氧化層打磨掉，再用銅箔進行包裹作為電極.測量時，兩端接入電流從－1A 變化到1A，得到電壓和電流的關系后進行線性擬合，進而得到金屬管的電阻.圖2是測量黃銅管電阻的數(shù)據(jù)的擬合圖.得到的不同金屬管的電阻和電阻率如表1.

圖2 測量黃銅管電阻的數(shù)據(jù)和擬合直線

表1 不同金屬管的電阻和電阻率

表2為磁鐵下落的理論時間與實際測量時間的對比，從中可以看出，該計算結(jié)果具有較高的精確度.這也可以說明，理論計算所做的抽象模型和假設是較為合理的.

表2 磁鐵下落的理論計算的時間與實際測量時間的對比

下面對結(jié)果進行簡要的分析和討論.從表2中可以看出，鋁的下落時間的理論值和實驗值之差明顯大于另外兩種金屬管.這是由于鋁的電阻率的測量有較大誤差.鋁在空氣中會迅速氧化，使得在打磨之后，鋁的表面依舊會出現(xiàn)對測量產(chǎn)生較大影響的氧化層.這意味著測量的電阻率要比實際電阻率大，計算的下落時間小于實驗測量時間，與結(jié)果在趨勢上相符.

還可以對磁鐵在金屬管中加速下落的時間進行粗略估計.金屬管中電流正比于磁鐵下落速度，磁鐵受到的阻力正比于電流.這樣磁鐵加速度與速度是線性關系，即a＝g－kv，g 是重力加速度，k為一常比例系數(shù).這樣，下落速度的形式為vs（1－et/τ），其中vs是穩(wěn)定速度，時間常數(shù)τ＝vs/g 反映加速運動時間.以紫銅為例，τ≈4ms，這意味著在當前測量精度下，加速下落過程確實可以忽略不計.

4 小結(jié)

理論上用磁荷法計算得到磁鐵磁場分布，進而得到磁鐵在金屬管中下落時間，與實驗測量的結(jié)果相符.從開始的理論建模到之后的具體計算、與實驗結(jié)果比較，這個過程將電磁學書籍中理想的理論公式應用到了具體的物理現(xiàn)象中.這個現(xiàn)象還存在一定的應用價值.比如磁鐵的剩磁是比較難測量的物理參數(shù)，在已知金屬管電阻率的情況下，可以利用這種方法對其進行測量.類似的，在已知磁鐵剩磁的情況下，可以對導體棒的電阻率進行測量，特別是如果導體棒的橫向電阻與縱向電阻不一致時，這種方法可以測量難以測量的橫向電阻.

［1］胡友秋，程福臻，葉邦角.電磁學與電動力學 上冊［M］.北京：科學出版社，2008，176～181

［2］梁燦彬等.電磁學 2 版［M］.北京：高等教育出版社，2004.303～307