循環(huán)環(huán)的商環(huán)的結(jié)構(gòu)

張子衛(wèi)，鄒宗蘭，魏國(guó)祥

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000）

循環(huán)環(huán)的商環(huán)的結(jié)構(gòu)

張子衛(wèi)，鄒宗蘭，魏國(guó)祥

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系，四川 遂寧 629000）

首先研究了一般循環(huán)環(huán)的商環(huán)，得到循環(huán)環(huán)的商環(huán)仍是循環(huán)環(huán)，并給出了其生成元.然后，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了有限循環(huán)環(huán)和無限循環(huán)環(huán)的商環(huán)，并給出了它們的階.

循環(huán)環(huán)；商環(huán)；結(jié)構(gòu)

如果環(huán)R對(duì)加法作成一個(gè)循環(huán)群，即加群(R, +)是循環(huán)群，則稱R是一個(gè)循環(huán)環(huán)，并稱(R,+)的生成元a為循環(huán)環(huán)R的生成元，記R=＜a＞．如果循環(huán)環(huán)R的階有限，則稱R是有限循環(huán)環(huán)，否則稱R是無限循環(huán)環(huán).關(guān)于循環(huán)環(huán)的構(gòu)造理論，在文獻(xiàn)[1-2]中已有深入、完整的研究.本文研究循環(huán)環(huán)的商環(huán)的結(jié)構(gòu)，顯然它在環(huán)論中也具有重要的理論意義.

由文獻(xiàn)[3]知道，循環(huán)環(huán)的子加群、子環(huán)、理想三者是一回事，即：設(shè)R=＜a＞是循環(huán)環(huán)，HR，則

在文獻(xiàn)[4-5]中有如下的結(jié)論：

整數(shù)環(huán)Z關(guān)于模nm的剩余類環(huán)的n階子環(huán)為n階循環(huán)環(huán)，即為

其中m是模nm的剩余類環(huán)中m所在的剩余類．

此結(jié)論表明，循環(huán)環(huán)mZ關(guān)于其子環(huán)nmZ的商環(huán)是以m為生成元的n階循環(huán)環(huán)，本文要研究的循環(huán)環(huán)的商環(huán)的結(jié)構(gòu)正是這一結(jié)論的推廣.我們將先研究一般循環(huán)換的商環(huán)，然后研究有限循環(huán)環(huán)和無限循環(huán)環(huán)的商環(huán).

1 循環(huán)換的商環(huán)

定理1設(shè)循環(huán)環(huán)R=＜a＞，H≤R，則商環(huán)R/H是以a為生成元的循環(huán)環(huán)，其中a是a所在的剩余類，即R/H=＜a＞，a=a+H.

定理2設(shè)R=＜a＞是s階循環(huán)環(huán)，m,n是大于等于1的整數(shù)，則＜ma＞關(guān)于＜nma＞的商環(huán)是以ma為生成元的k階循環(huán)環(huán)，即

其中a=a+＜nma＞∈＜a＞/＜nma＞，k=(nm,s）/（m,s)．證明：由定理1,有

又因＜ma＞/＜nma＞的階為

[s/(m,s）]/[s/(nm,s)]=(nm,s）/（m,s)=k，所以結(jié)論成立.

3 無限循環(huán)環(huán)的商環(huán)

對(duì)于無限循環(huán)環(huán)R，有R/{0}=R，R/R={0}，即H是R的平凡理想時(shí)，商環(huán)R/H已經(jīng)很清楚，下面對(duì)H是R的非平凡理想的情形進(jìn)行討論.

定理3設(shè)R=＜a＞是無限循環(huán)環(huán)，m,n是大于等于1的整數(shù)，則＜ma＞關(guān)于＜nma＞的商環(huán)是以ma為生成元的n階循環(huán)環(huán)，即

證明：由定理1已有

故＜ma＞/＜nma＞ {0,ma,2ma,…,(n-1)ma}，從而等式成立．

(j-i)ma=0，(j-i)ma=knma(k∈Z)，

由于a的加法階是∞，故(j-i)m=knm，j-i=kn，從而k=0，j=i，即＜ma＞的階為n，從而結(jié)論成立．

推論1設(shè)＜a＞是無限循環(huán)環(huán)，則＜a＞關(guān)于

＜na＞的商環(huán)是n階循環(huán)環(huán)，即

其中，a=a+＜na＞∈＜a＞/＜na＞.

推論2設(shè)R=＜a＞是無限循環(huán)環(huán)，a2=ka，m,n是大于等于1的整數(shù)，則

證明：由定理3，＜ma＞/＜nma＞=＜ma＞是n階循環(huán)環(huán)，且(ma)2=m2ka=mk(ma)，由[2]的定理2的推論2知結(jié)論成立．

[1]楊子胥．關(guān)于循環(huán)環(huán)及其冪等元[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1985，15（03）：73-76．

[2]張隆輝，石化國(guó)，廖輝，等．有限循環(huán)環(huán)的構(gòu)造[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011,41（11）：150-153．

[3]楊子胥．近世代數(shù)（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，20 03：178-181．

[4]杜福昌．剩余類環(huán)Z/mZ的理想素理想極大理想[J]．遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1989，12（01）：66-68．

[5]張隆輝，石化國(guó)，趙鳳鳴．關(guān)于nZ的理想及商環(huán)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2011,27（03）：50-52．

On theStructureof theQuotientRingofaCircularRing

Z H A N G Z i w ei,Z OU Z onglan,W E I G uo x iang
(D epar tment of A ppl ied M athematicsand E conomicsof S ichuan V ocational and T echnical C ol lege,S ichuan S uining 629000)

I n this paper,thequotient ringof a general circular ring is studied,it is got that the quotient ringof ageneral circular ring is alsoa circular ring,and its generator is gi v enout.O n the basis,then,the quotient rings of a f inite cycl ic ring and a inf inite cycl ic ring are fur ther studied ,and their ordersaregi v enout.

C ircular R ing;Q uotient R ing;S t ructure

O153.3

A

1672-2094(2013)01-0154-02

責(zé)任編輯：張隆輝

2012-07-28

四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2009Z05）；四川省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（11Z B174）.

張子衛(wèi)（1963-），男，四川遂寧人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系副教授.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

鄒宗蘭（1965-），女，四川遂寧人，四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)系副教授，碩士.研究方向：數(shù)學(xué)教育.