風(fēng)力發(fā)電機(jī)載荷連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的設(shè)計(jì)

徐立軍，王維慶，程 靜

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047)

風(fēng)力發(fā)電機(jī)載荷連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型的設(shè)計(jì)

徐立軍，王維慶，程 靜

(新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047)

討論了風(fēng)力機(jī)載荷的二維及三維結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。使用拖曳力的規(guī)范表達(dá)將風(fēng)載荷引入公式并設(shè)計(jì)了優(yōu)化策略，使得在沒有阻礙風(fēng)的模型表面處可以忽略風(fēng)壓。運(yùn)用帶有懲罰因子的各向同性固體材料構(gòu)建了受到體積約束的最小柔度設(shè)計(jì)公式，引入移動(dòng)漸近線法解決了優(yōu)化問題，并通過線性搜索和改變漸近線的更新公式進(jìn)行調(diào)節(jié)。通過施加顯示約束控制設(shè)計(jì)變量的中間密度值得到了黑/白設(shè)計(jì)。數(shù)例驗(yàn)證結(jié)果表明，提出的公式合理地將風(fēng)載荷的影響納入拓?fù)鋬?yōu)化問題，并通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的空隙得以體現(xiàn)。

拓?fù)鋬?yōu)化;連續(xù)體結(jié)構(gòu);風(fēng)載荷;移動(dòng)漸近線

0 引言

目前，對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，各個(gè)工程領(lǐng)域的學(xué)者們已經(jīng)在各方面取得了很多創(chuàng)新性成果。很多時(shí)候，在不同的研究領(lǐng)域當(dāng)中，都會(huì)遇到載荷對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化的影響問題，如在靜態(tài)液壓?jiǎn)栴}中的對(duì)結(jié)構(gòu)的流體壓力載荷，土木工程結(jié)構(gòu)中的雪荷載以及海岸邊沿所受的風(fēng)力和水力載荷等。在這些問題中，載荷的位置、方向和大小均與具體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有關(guān)，因而不同研究領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn)有時(shí)無法直接進(jìn)行借鑒。

文獻(xiàn)［1］討論了在靜態(tài)載荷下彈性連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題，該文的作者還引入了一條等距密度曲線以模擬載荷的變化情況。在文獻(xiàn)［2］中，進(jìn)一步使用參數(shù)優(yōu)化的等距密度曲線來代表變化的載荷表面，從而使荷載表面識(shí)別模型具有更強(qiáng)的魯棒性。

在文獻(xiàn)［3］中，在保持總載荷恒定的情況下，采用動(dòng)態(tài)線來界定動(dòng)態(tài)載荷。每條動(dòng)態(tài)線的載荷都進(jìn)行預(yù)先定義，將沿該動(dòng)態(tài)線的位置作為優(yōu)化過程的一部分。通過在流體區(qū)域引入低模量材料并加強(qiáng)固體和液體區(qū)域之間的平滑移動(dòng)優(yōu)化了連續(xù)體結(jié)構(gòu)。這一新的結(jié)構(gòu)模式使得液壓載荷結(jié)構(gòu)(例如大壩)設(shè)計(jì)方面的性能有所提高。

文獻(xiàn)［4］對(duì)依賴于設(shè)計(jì)載荷制約的拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了研究。提出了一種利用虛擬熱載荷模擬設(shè)計(jì)依賴載荷的方法。拓?fù)鋬?yōu)化問題從兩相轉(zhuǎn)變?yōu)樵诠腆w、空隙以及靜液壓流體最優(yōu)化分配的設(shè)計(jì)域中的三相物質(zhì)分配問題。近來，該文作者又設(shè)計(jì)了一種新的方法來解決拓?fù)鋬?yōu)化中的載荷問題，即使用混合排驅(qū)壓力模式來解決基本有限元的問題。

上述文獻(xiàn)不能完全適用于本論文提到的風(fēng)力載荷問題。在本文中，將風(fēng)力載荷引入二維及三維連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化模式中，將優(yōu)化問題構(gòu)建為最小柔度問題，并使用改進(jìn)的移動(dòng)漸近法進(jìn)行分析，根據(jù)連續(xù)最優(yōu)化條件對(duì)低漸近線進(jìn)行修改。由于柔度的非單調(diào)收斂性，為了確保目標(biāo)函數(shù)的減少并滿足限制條件，采用了一維搜索方法并引用了顯示函數(shù)以獲得黑/白設(shè)計(jì)。

1 標(biāo)準(zhǔn)拓?fù)鋬?yōu)化公式

拓?fù)鋬?yōu)化問題的目標(biāo)是在一個(gè)給定范圍內(nèi)進(jìn)行最佳的材料分配。在本文中，將普遍使用的最小柔度公式結(jié)合材料體積約束提出了拓?fù)鋬?yōu)化問題如式(1):

式中:W是結(jié)構(gòu)的柔度，代表外力所做功的大小，也可表示處于平衡狀態(tài)時(shí)的總彈性能;矢量F代表外力;u*是Ω域在平衡狀態(tài)時(shí)的位移場(chǎng);間斷模型中的材料P的密度分配為一個(gè)設(shè)計(jì)變量，小數(shù)集P作為P的下界以避免數(shù)值不穩(wěn)定;V*是結(jié)構(gòu)的材料體積V的允許限度。

為獲得黑/白拓?fù)湓O(shè)計(jì)，選擇著名的各向同性固體微結(jié)構(gòu)(SIMP)方法［5］。材料的剛度定義如式(2):

式中:E0為基礎(chǔ)塑性模量;p是懲罰參數(shù)［6］(p≥3)。離散結(jié)構(gòu)的局部測(cè)量密度指標(biāo)ρi與有限元網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)有關(guān)。元素密度ˉρ等于元素周圍M個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均柔度插值，其公式為

這種棋盤模式在優(yōu)化過程中將被自動(dòng)抑制。

2 風(fēng)力負(fù)載拓?fù)湓O(shè)計(jì)

2.1 風(fēng)載荷函數(shù)

因?yàn)轱L(fēng)能具有間歇性，隨機(jī)性的特點(diǎn)，理論上，為了解釋作用于某一結(jié)構(gòu)的風(fēng)載荷的變化，在拓?fù)鋬?yōu)化過程中需要考慮多工況。為簡(jiǎn)便起見本文只考慮了一種載荷工況;假設(shè)風(fēng)向?yàn)閺淖蟮接业膯畏较颍?］(見圖1a)。

圖1 風(fēng)向和峰值函數(shù)曲線圖Fig.1 Graph of wind direction and peak function function curve

使用基于直接密度的方法(不考慮載荷受力面的邏輯函數(shù))，將風(fēng)載荷包括在函數(shù)中，通過使用拖曳力標(biāo)準(zhǔn)公式，引入載荷函數(shù)g，在離散域的每個(gè)節(jié)點(diǎn)界定風(fēng)載荷如式(4):

式中:Fwindc是在節(jié)點(diǎn)C處的風(fēng)載荷值;Q∞是來風(fēng)的動(dòng)壓;CD是阻力系數(shù);A是YZ方面來風(fēng)作用的側(cè)面區(qū)域。A區(qū)域的計(jì)算取決于C節(jié)點(diǎn)位置，即，該節(jié)點(diǎn)是在一角、一側(cè)或是該離散區(qū)域的中心。例如，對(duì)于一個(gè)中間節(jié)點(diǎn)，在二維情況下，A等于該結(jié)構(gòu)厚度的a倍，而在三維情況下，A等于a2，在本文中，a是均格網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)之間的距離。g是峰值函數(shù)，其公式為

式中:ρc為節(jié)點(diǎn)C的密度;ρN為與風(fēng)向相反的方向上鄰近節(jié)點(diǎn)的密度;σ為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差參數(shù)。

風(fēng)力Fwindc施加于該區(qū)域的每個(gè)結(jié)點(diǎn)處，同時(shí)使用峰值函數(shù)g將其值導(dǎo)向 0，[ ]1區(qū)間(見圖1b)，并確保風(fēng)載荷僅施加于密度發(fā)生較大變化的節(jié)點(diǎn)處，明確在結(jié)構(gòu)表面載荷是單方向的。也就是說，只有當(dāng)節(jié)點(diǎn)C是在固體區(qū)域，以及節(jié)點(diǎn)N在空隙時(shí)，才施加載荷。

若假設(shè)并不存在尾流效應(yīng)，則該公式特別適用于桁架之類的結(jié)構(gòu)。

2.2 靈敏度分析

設(shè)計(jì)變量柔度的靈敏度，在這里用節(jié)點(diǎn)密度表示［8，9］，其公式為

式(6)中的位移的靈敏度可以通過相關(guān)結(jié)點(diǎn)密度的微分方程得到，并可表示為

式中:K是全域剛度矩陣;Fwind是風(fēng)載荷矢量。

柔度的靈敏度可表示為

從式(8)中可以看出，柔度的靈敏度受兩個(gè)因素影響，第一個(gè)是由于外力對(duì)設(shè)計(jì)變量的依存度，第二個(gè)是由于剛度對(duì)同一變量的依存度。分別用ψ和φ來代表這種關(guān)系。施加于一個(gè)給定結(jié)構(gòu)的外力也可分解為兩部分，即靜載荷和進(jìn)風(fēng)風(fēng)力。假定恒載與結(jié)構(gòu)外形無關(guān)，因此，每個(gè)節(jié)點(diǎn)C的ψ的表達(dá)式只取決于風(fēng)載荷并簡(jiǎn)化為

式中:下標(biāo)L和R分別是指節(jié)點(diǎn)C左側(cè)和右側(cè)的節(jié)點(diǎn)。采用同樣的命名法，uC和uR分別是節(jié)點(diǎn)C和其右側(cè)鄰近節(jié)點(diǎn)的水平位移。

2.3 優(yōu)化過程

優(yōu)化問題通過移動(dòng)漸近法(Method of Moving Asymptotes，MMA)得以解決。柔度的近似公式為

式中:k為MMA迭代指數(shù);n為在離散區(qū)節(jié)點(diǎn)總數(shù);p(k)0j和qk0j由第一塔克(K－T)條件的一次近似值決定;L(k)j和U(k)j分別是低漸近線和高漸近線。

在某些情況下，當(dāng)用MMA法求解程序嘗試更新漸近線L(k)j和U(k)j時(shí)，優(yōu)化過程易于振動(dòng)，根據(jù)本地K－T條件解釋的連續(xù)最佳條件，可通過調(diào)節(jié)低漸近線來穩(wěn)定收斂性，高漸近線的更新保持不變，使用本地K－T條件連續(xù)優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行優(yōu)化，該函數(shù)可近似表示為

該近似值可通過線性化最近設(shè)計(jì)點(diǎn)周圍的剛度系數(shù)ρ(k)j而得到:

式中:Lj是低漸近線的修正式。

需要注意的是，盡管進(jìn)行了上述修正，MMA求解程序有時(shí)并不收斂，在有些情況下，會(huì)發(fā)生分叉。為了改善其性能，對(duì)系數(shù)p(k)0j和qk0j的計(jì)算方法，通過分別調(diào)節(jié)Ф和ψ的靈敏度進(jìn)行修正:

可以看出，在MMA一個(gè)步長(zhǎng)之后，該目標(biāo)函數(shù)并不總是遞減，并且有時(shí)會(huì)出現(xiàn)違反限制的情況，為了解決這個(gè)問題，本文采用了線性搜索，以確保滿足限制條件以及目標(biāo)值的減少。如果kth次迭代之后，MMA計(jì)算得出的解用ρ*表示，那么相應(yīng)的方程:

式中:需要計(jì)算參數(shù)α(α∈［0，1］)，從而滿足限制條件和實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的減少。可使用目標(biāo)近似三次多項(xiàng)式以及作為自變量α函數(shù)的約束來解一維近似最佳化問題，從而得到α的值。

3 顯示約束

風(fēng)力機(jī)支撐結(jié)構(gòu)的初步拓?fù)鋽?shù)據(jù)顯示如圖2(a)所示，為灰度設(shè)計(jì)，不是預(yù)計(jì)的黑/白設(shè)計(jì)。這種結(jié)果與如圖2(b)所示結(jié)點(diǎn)上的風(fēng)載荷的分布有關(guān)。圖中的每個(gè)方柱是載荷在節(jié)點(diǎn)沿著特定垂直線的直方圖。需強(qiáng)調(diào)的是，風(fēng)載荷雖然分布在整個(gè)定義域，但只在結(jié)構(gòu)底部的少數(shù)幾個(gè)節(jié)點(diǎn)處較大，理論上在迎風(fēng)面的風(fēng)載荷的分布必須是均勻的，但實(shí)際情況并非如此。為了生成黑/白設(shè)計(jì)，引入顯示約束來解決公式化問題，從而控制中間密度。該約束定義為

式(16)執(zhí)行過程如下:在最開始時(shí)，該約束條件被忽略，這時(shí)顯示結(jié)果為灰色設(shè)計(jì)，約束函數(shù)的值用ε(0)p表示。然后，問題pk的序列被解出，每個(gè)附加約束中的εp是從ε(0)p開始初始化的相關(guān)遞減序列的第kth項(xiàng)，并根據(jù)式(17)進(jìn)行更新:

該過程一直進(jìn)行到εp解不收斂為止。

圖2 帶有顯示約束的風(fēng)機(jī)支撐結(jié)構(gòu)拓?fù)浞治鼋Y(jié)果及風(fēng)載荷風(fēng)布圖Fig.2 Topology analysis results of wind turbine support structures and the figure of wind load distribution with explicit constraint

4 數(shù)值算例

為了評(píng)估風(fēng)載荷對(duì)優(yōu)化拓?fù)涞挠绊懀疚倪M(jìn)行了陸地風(fēng)力機(jī)的支撐結(jié)構(gòu)的數(shù)值算例。該設(shè)計(jì)域?yàn)槿鐖D3所示的平行六面體，在二維情況下，可視為矩形域，輪轂和轉(zhuǎn)子重量為Pwr，以及轉(zhuǎn)子升力Fw視為恒載并施加于該域的頂部中心位置，其值分別為2.55和0.125 MN。該空間域可視為箱形結(jié)構(gòu)，其高度為120 m，長(zhǎng)12 m，寬12 m，其底部固定。假定吹來的風(fēng)是從左向右，風(fēng)速為25 m/s。在二維和三維情況對(duì)該問題進(jìn)行研究，假設(shè)結(jié)構(gòu)為線性變形，使用材料為彈性模量為E=200 000 MPa的鋼材，泊松比ν=0.3，懲罰因子設(shè)為3，體積比設(shè)為0.3，密度采用下限ρ=10－3，峰值函數(shù)中2σ2的值固定為0.1，β的值為0.05。

4.1 二維數(shù)例

首先進(jìn)行風(fēng)機(jī)支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化驗(yàn)證。該問題的結(jié)果采用一個(gè)15*141節(jié)點(diǎn)的離散網(wǎng)格生成，如圖4所示。圖4a和4b分別為無風(fēng)載荷和有風(fēng)載荷的分析結(jié)果。

圖3 設(shè)計(jì)域圖Fig.3 Design domain

圖42D優(yōu)化拓?fù)鋱DFig.4 Optimum 2D topology

可以看出，無風(fēng)的拓?fù)涫且蛔恢С趾爿d的斜塔。而承受風(fēng)載荷的拓?fù)湓诟坑幸粋€(gè)枕木。而且，從圖4a和4b可看出，該塔是一個(gè)有著堅(jiān)實(shí)底座的狹窄的懸臂，產(chǎn)生這種結(jié)果歸因于兩種力量大小的差距:Pwr大約是Fw的20倍。無風(fēng)載荷的拓?fù)浜陀酗L(fēng)載荷的拓?fù)溆煤泔L(fēng)力載荷計(jì)算的柔度分別為0.022 9 MN·m和0.013 9 MN·m。因此，在設(shè)計(jì)公式中包括風(fēng)載荷導(dǎo)致同樣材料與體積的結(jié)構(gòu)剛度下降了40%。如果力Fw施加于頂面的前端，該塔可能更加傾斜并可能產(chǎn)生更好的優(yōu)化效果。

圖5顯示了風(fēng)機(jī)塔架拓?fù)涞难葑冞^程。算法收斂為大約884次迭代的黑/白拓?fù)?。可以看出，該拓?fù)湟曰疑性O(shè)計(jì)開始，以在塔根的枕木的黑/白設(shè)計(jì)結(jié)束。

圖6表示，考慮風(fēng)載荷的設(shè)計(jì)中的風(fēng)載荷分布?？梢钥闯?，風(fēng)載荷均勻分布于整個(gè)設(shè)計(jì)域。而在有些情況特別是強(qiáng)風(fēng)情況下，風(fēng)力載荷在設(shè)計(jì)域的某些部分并未均勻分布。這主要是因?yàn)槿岫冉浦档南禂?shù)的更新方式，以及顯示約束參數(shù)的減小。需要進(jìn)行進(jìn)一步的研究以決定這些系數(shù)的合適的更新方案。圖6b顯示了收斂歷史，從圖中可以看出，收斂過程相當(dāng)光滑，在柔度上有一些跳躍，對(duì)應(yīng)于灰度密度的收斂公差。盡管顯示約束的引入導(dǎo)致收斂的迭代數(shù)量的增加，但得到的解從物理角度上看會(huì)更有意義。

圖5 風(fēng)機(jī)塔架拓?fù)溲葑冞^程Fig.5 Evolution of wind turbine tower－truss support topology

圖6 風(fēng)載荷分布及收斂曲線圖Fig.6 Wind load distribution and convergence history curve

4.2 三維數(shù)例

陸上風(fēng)機(jī)的域以15×15×141節(jié)點(diǎn)呈離散態(tài)。圖7顯示經(jīng)過后處理為黑/白拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)后，有風(fēng)載荷和無風(fēng)載荷情況下，風(fēng)機(jī)優(yōu)化拓?fù)涞牟煌憩F(xiàn)。沒有考慮風(fēng)載荷的柔度為0.023 9，考慮風(fēng)載荷的柔度為0.015 1，兩個(gè)解的差異為37%。

比較圖5和圖7可以看出，3D拓?fù)淇雌饋砼c2D拓?fù)浞浅Ｏ嗨啤？紤]風(fēng)載荷的風(fēng)機(jī)拓?fù)溆山Y(jié)構(gòu)底部的兩個(gè)框架支持。圖7表明，在公式中包括風(fēng)載荷，相比較于沒有風(fēng)載荷的拓?fù)?，面向風(fēng)力載荷可以有一個(gè)較大的空隙。

圖7 風(fēng)機(jī)支撐結(jié)構(gòu)的3D拓?fù)鋱DFig.7 3D topology of wind turbine support structures

5 結(jié)論

本文提出了在最小柔度拓?fù)鋬?yōu)化問題中納入風(fēng)載荷的構(gòu)想。使用該方法無需知道負(fù)載表面的明確結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)。運(yùn)用經(jīng)過修改的MMA方法，并加入了線性搜索以保證拓?fù)鋬?yōu)化問題的收斂，在拓?fù)鋬?yōu)化方程式中加入了顯示約束以控制中間密度值，并確保拓?fù)錇楹?白拓?fù)洹Ｓ脭?shù)例驗(yàn)證了風(fēng)載荷對(duì)優(yōu)化拓?fù)涞挠绊懀治鼋Y(jié)果表明，使用該方法進(jìn)行有風(fēng)載荷的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，可以在同樣的剛度條件下減小風(fēng)機(jī)的體積，并允許在載荷受力表面有空隙的存在，因此，在初步設(shè)計(jì)階段使用該方法，能夠顯著減少結(jié)構(gòu)重量，從而使得風(fēng)機(jī)制造的總成本降低。

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Wind load modeling for topology optimization of continuum structures

XU Li－jun，WANG Wei－qing，CHENG Jing
(College of Electric Engineering，Xinjiang University，Urmqi 830047，China)

Topology optimization of two and three dimensional structures subject to wind loading is discussed.The wind loading is introduced into the formulation by using standard expressions for the drag force，and a strategy is devised so that wind pressure can be ignored where there is no surface obstructing the wind.A minimum compliance design formulation is constructed that subject to a volume constraint using a solid isotropic material with penalization model.The optimization problem is solved using the method of moving asymptotes，modified by including a line search and by changing the formula for the update of asymptotes.To obtain the black and white design，intermediate density values，which are used as design variables，are controlled by imposing and explicit constraint.Numerical examples of a windmill structure show that the proposed formulation rationally incorporates the effect of wind loading into the topology optimization problem as illustrated by void appearing in the optimal structure.

topology optimization;continuum structure;wind loads;moving asymptotes

TM315

A

1007－2691(2013)05－0015－05

10.3969/j.ISSN.1007－2691.2013.05.03

2013－06－01.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (51267017).

book=30,ebook=6

徐立軍 (1978－)，男，副教授，研究方向?yàn)轱L(fēng)力發(fā)電機(jī)控制及其并網(wǎng)。