準零剛度隔振系統(tǒng)倍周期分岔研究＊

楊慶超 樓京俊 劉樹勇 李海峰

（海軍工程大學科研部 武漢 430033）

準零剛度系統(tǒng)具有固有頻率低、承載能力大、隔振效果好的優(yōu)點，近年來引起了學者們的興趣［1－2］.A.Carrella等［3－5］學者對準零剛度隔振系統(tǒng)剛度特性的影響因素及傳遞率特性進行了深入分析.I.Kovaci等［6－7］學者對以某一工作范圍內(nèi)系統(tǒng)剛度最小為目標，對準零剛度系統(tǒng)進行了優(yōu)化設(shè)計研究.彭獻等［8－10］學者對單層準零剛度隔振系統(tǒng)的動力學特性進行了分析.針對船舶機械隔振系統(tǒng)的特點，本文考慮了船舶隔振系統(tǒng)基座的彈性特性，建立了準零剛度隔振系統(tǒng)動力學方程并對其動力學特性進行了分析，得到系統(tǒng)倍周期分岔點及倍周期分岔隨系統(tǒng)參數(shù)變化的規(guī)律.

1 準零剛度隔振系統(tǒng)運動微分方程的建立

船舶機械隔振系統(tǒng)的基座不能再看作無限大的剛體，而應(yīng)考慮基座的動態(tài)特性，將其看作具有一定阻抗的彈性基座，對于低頻振動，基座可以簡化為一個由彈簧和阻尼器支撐的質(zhì)量塊，這樣就將具有彈性基座的隔振系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為了雙層隔振系統(tǒng)，其中準零剛度系統(tǒng)的剛度特性可以用一個三次方式子表示，船舶準零剛度隔振系統(tǒng)示意圖見圖1.

圖1 準零剛度隔振系統(tǒng)示意圖

以向上為正方向，由圖1a）可得

為消除方程中的重力項，對式（1）進行坐標變換，以彈簧處于平衡狀態(tài)時，質(zhì)量塊所處位置為原點，如圖1b）所示.

令X1＝Z1－h(huán)1，X2＝Z2－h(huán)2，H＝h1－h(huán)2，則式（1）可以轉(zhuǎn)化為

式（2）的第一式乘以w，與第二式相加得式（3）

2 幅頻特性分析

設(shè)系統(tǒng)的周期響應(yīng)為

將式（4）代入式（3）第二式，可得到x2（t）各諧波系數(shù)與x1（t）各諧波系數(shù)的關(guān)系：

將式（4）代入式（3）第一式，并將式（5）代入化簡，令b1，1＝－A1sin（ρ），c1，1＝A1cos（ρ），N＝1可得

取w＝0.2，?1＝0.05，?2＝0.15，a＝4，b＝3，k1＝3，k2＝2，可以得出基諧波的幅頻特性曲線（f＝6），和諧波響應(yīng)幅值與激勵力幅值之間的關(guān)系（ω＝4），如圖2、圖3所示.由圖2可見，在線性共振點后，系統(tǒng)存在一個反共振點，在反共振點處，系統(tǒng)振幅突然變小.由圖3可見，當f∈［0，1］時，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定的諧波解.當f∈［2，26］時，系統(tǒng)存在3個諧波解，具體為哪個諧波解由初始條件決定.當f∈［26，28］時，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定的諧波解.

圖2 基諧波幅頻特性曲線

圖3 諧波響應(yīng)與激勵力幅值之間的關(guān)系

3 基諧波穩(wěn)定性分析

基諧波失穩(wěn)將會產(chǎn)生第1級次諧波，通過分析基諧波的穩(wěn)定性，可以得到第1級次諧波產(chǎn)生的邊界.針對該系統(tǒng)為強非線性系統(tǒng)的特點，本文運用諧波平衡法將基諧波穩(wěn)定性的分析轉(zhuǎn)化為變分方程（Hill方程）解穩(wěn)定性的分析.

對基諧波響應(yīng)疊加一個擾動量得

將式（7）代入式（3），其中xi滿足式（3），可得Hill方程為

Hill方程為周期參數(shù)激勵系統(tǒng)，在不穩(wěn)定區(qū)域可能存在2種不同形式的解.其中當w≈時，式（8）的解為

當激勵力周期為T時，式（9）的周期為2T，因此，當系統(tǒng)以式（9）方式失穩(wěn)時，系統(tǒng)將發(fā)生倍周期分岔，通過求解系統(tǒng)以式（9）方式失穩(wěn)的邊界就可得到倍周期分岔的分岔值.當系統(tǒng)以式（10）方式失穩(wěn)時，系統(tǒng)將發(fā)生鞍結(jié)分岔，這種情況常存在折疊點.

4 倍周期分岔分析

為得到穩(wěn)定的邊界，令式（9）ξ＝0，并代入式（8）第二式，可得u1（t）與v2（t）的關(guān)系式：

將式（9）和式（11）代入式（8）第一式，并令cos（ωt／2），sin（ωt／2）系數(shù)為零，可以得到

要使線性方程組（12）有非零解，其系數(shù)矩陣的行列式需等于零，即求得倍周期分岔的基諧波穩(wěn)定邊界.在邊界內(nèi)，ξ＞0，線性方程組（12）系數(shù)行列式小于零，基諧波失穩(wěn)，產(chǎn)生周期為2T的新周期解.在邊界外，ξ＜0，線性方程組（12）系數(shù)行列式大于零，不發(fā)生倍周期分岔，即為基諧波穩(wěn)定區(qū)域.

按照前面的參數(shù)設(shè)置，即w＝0.2，?1＝0.05，?2＝0.15，a＝4，b＝3，k1＝3，k2＝2，f＝6，可作出系統(tǒng)發(fā)生T→2T倍周期分岔的邊界，與系統(tǒng)的幅頻曲線疊加，即可求得基諧波發(fā)生倍周期分岔的分岔值，如圖4所示.其中實線為系統(tǒng)的幅頻曲線，虛線為系統(tǒng)發(fā)生T→2T倍周期分岔的分岔邊界，兩者的交點即為倍周期分岔值.通過分析可知，前者分岔點為不穩(wěn)定分岔點，即分岔得到的2T周期解不穩(wěn)定，在數(shù)值計算時得不到該2T周期解.當控制參數(shù)ω由大變小，經(jīng)過后一個分岔點時，系統(tǒng)將發(fā)生一次穩(wěn)定的倍周期分岔，分岔圖見圖5.

圖4 倍周期分岔邊界

圖5 系統(tǒng)倍周期分岔圖

通過將系統(tǒng)幅頻曲線（見圖6）和線性方程組（12）的系數(shù)矩陣行列式聯(lián)立求解，運用延拓算法可得到T→2T倍周期分岔隨其他系統(tǒng)參數(shù)變化的規(guī)律，如圖6所示.由圖6a）可知，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域隨著?1的增大而減小，當?1＝0.1時，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域為ω∈［3.5，4.8］；當?1＝0.8時，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域為ω∈［3.7，4.3］.由圖6b）可知，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域隨著f的增大而減小，且逐漸向高頻移動，當f＝15時，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域為ω∈［3.9，5］；當f＝30時，系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域為ω∈［4.6，5.3］.

圖6 倍周期分岔隨系統(tǒng)參數(shù)變化的曲線

5 結(jié)束語

考慮船舶隔振系統(tǒng)基座彈性特性，建立了準零剛度隔振系統(tǒng)動力學方程，并運用諧波平衡法分析了系統(tǒng)的幅頻特性.針對準零剛度隔振系統(tǒng)具有強非線性的特點，通過分析系統(tǒng)變分方程的穩(wěn)定性，得到了系統(tǒng)倍周期分岔點.運用延拓法分析了系統(tǒng)隨參數(shù)變化時倍周期分岔的規(guī)律，即系統(tǒng)倍周期分岔區(qū)域隨著?1的增大而減小，隨著f的增大而減小，且逐漸向高頻移動.

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