常系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的一種新求法

彭慶英

（常州技師學(xué)院，江蘇常州 213000）

1 引 言

對(duì)于常系數(shù)線性微分方程組

其中A為n×n常數(shù)方陣，x＝x（t）是未知的n維列向量.關(guān)于方程組（1）的求解問(wèn)題，總是個(gè)繁雜的問(wèn)題，而求解的關(guān)鍵在于求其一個(gè)基解矩陣.根據(jù)A的特征向量的特點(diǎn)采取合適的方法尤為重要，合適的方法可以使計(jì)算簡(jiǎn)捷.不同體系的教材，都大致相同地介紹了多種不同的求解方法.然而，不管矩陣A有沒(méi)有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，利用哈密頓—?jiǎng)P萊定理求基解矩陣都是一種行之有效的方法.因此，文章對(duì)該方法計(jì)算基解矩陣expAt進(jìn)一步研究.

2 利用哈密頓—?jiǎng)P萊定理計(jì)算基解矩陣

的解.

定理2將計(jì)算基解矩陣expAt的問(wèn)題歸結(jié)為求解齊線性微分方程組（3）滿(mǎn)足初始條件（4）的初值問(wèn)題.由于方程組（3）是一個(gè)特殊的一階常系數(shù)齊次線性方程組，其系數(shù)矩陣

是一個(gè)下三角矩陣，容易直接求解且其解可用初等函數(shù)的有限積分形式來(lái)表達(dá)，并且當(dāng)A為實(shí)矩陣時(shí)，由公式（2）求出來(lái)的基解矩陣一定是實(shí)的.該方法是通過(guò)解微分方程求基解矩陣.但事實(shí)上，有時(shí)候解微分方程組也是比較麻煩的.通過(guò)改進(jìn)將解微分方程組轉(zhuǎn)化為解線性方程組的問(wèn)題.進(jìn)而得到一種求解基解矩陣的簡(jiǎn)單易行的方法.

定理3 對(duì)于方程組（1），設(shè)n階方陣A的各相異特征根為λj（j＝1，2，…，s），其對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)為mj，則方程組（1）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣

例1中解法1是利用定理2通過(guò)解微分方程組來(lái)解決，解法2是利用定理3解決的，定理3將計(jì)算基解矩陣expAt的問(wèn)題歸結(jié)為求解關(guān)于a0（t），a1（t），…，an－1（t）的非齊次線性方程組（6）的問(wèn)題，而解方程組（6）可利用線性代數(shù)中的方法，如對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，方法更簡(jiǎn)單.

3 應(yīng) 用

從常微分方程誕生之日起，就根植在生產(chǎn)和生活實(shí)際中，并且伴隨著物理和其他工程學(xué)（如生物工程、信息工程、環(huán)境工程甚至人口與計(jì)劃工程）的發(fā)展而不斷豐富和發(fā)展.下面我們給出一個(gè)實(shí)際應(yīng)用的例子，并利用前面所講的方法求解.

3.1 復(fù)雜電路的計(jì)算

在由電阻、電感和電源等組成的多回路的復(fù)雜電路中，可以通過(guò)回路電壓定律和節(jié)點(diǎn)電流定律建立起描述各支路中電流所滿(mǎn)足的方程組.通過(guò)求解而得到電流的變化規(guī)律.考慮圖1所示的復(fù)雜電路中電流的變化規(guī)律.

圖1

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.2版.北京：高等教育出版社，1988：303.

［2］周義倉(cāng)，靳禎，秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，2010：195－196.

［3］王高雄.常微分方程［M］.2版.北京：高等教育出版社，1996：236，209.