“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題新解

戴中林

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充 637002）

1 引 言

問(wèn)題1 韓信點(diǎn)兵.有兵一隊(duì)，若列成五行縱隊(duì)，則末行一人；成六行縱隊(duì)，則末行五人；成七行縱隊(duì)，則末行四人；成十一行縱隊(duì)，則末行十人 ；求兵數(shù).

問(wèn)題2 黃宗憲《求一術(shù)通解》.今有數(shù)不知總，以五累減之無(wú)剩，以七百十五累減之剩十，以二百四十七累減之剩一百四十，以三百九十一累減之剩二百四十五，以一百八十七累減之剩一百零九，問(wèn)總數(shù)若干？

上述問(wèn)題的解法，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱(chēng)之為“大衍求一術(shù)”，即求解同余式組的問(wèn)題，一般利用孫子定理［1］來(lái)解決.但其解法較為繁瑣，且不能直接求出最小正整數(shù)解.為此本文給出了一種簡(jiǎn)便的并能直接求出同余式組最小正整數(shù)解的遞推公式解法.

2 本文的結(jié)果

首先給出引理.

依次求得的最小正整數(shù)解時(shí)，則解

3 “韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題新解

4 兩種解法之比較

本文定理解法 孫子定理解法k的個(gè)數(shù) n－1個(gè) n個(gè)計(jì)算k的難易程度計(jì)算較為簡(jiǎn)單m1k1≡a2－a1（mod m2），m1m2k2≡a3－x1（mod m3），……m1m2…mn－1kn－1≡an－xn－2（mod mn），其中xi＝a1＋ ∑計(jì)算較為麻煩，尤為mi過(guò)多時(shí)更甚.m2m3…mnk1≡1（mod m1），m1m3…mnk2≡1（mod m2），……m1m2…mn－1kn≡1（mod mn）.n－1 m1…miki.i＝1解的結(jié)構(gòu)可直接得到最小正整數(shù)解x＝xn－1，且解x的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易記.x＝a1＋m1k1＋m1m2k2＋…＋m1m2…mn－1kn－1解x的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，最后還應(yīng)適當(dāng)選取k使得解x大于零，才能將其化為最小正整數(shù)解.x＝（a1m2m3…mnk1＋a2m1m3…mnk2＋…＋anm1…mn－1kn）－m1…mnk

［1］閔嗣鶴，嚴(yán)仕健.初等數(shù)論［M］.北京：人民教育出版社，1957.

［2］杜德利U.基礎(chǔ)數(shù)論［M］.上海：科學(xué)技術(shù)出版社，1980.

［3］陳景潤(rùn).初等數(shù)論Ⅰ［M］.北京：科學(xué)出版社，1978.