基于電磁超材料的兩種等效參數(shù)提取算法的比較分析*

丁敏 薛暉 吳博 孫兵兵 劉政 黃志祥? 吳先良2)?

1)(安徽大學(xué),計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,合肥 230039)

2)(合肥師范學(xué)院物理與電子工程系,合肥 230061)

(2012年6月29日收到;2012年9月17日收到修改稿)

1 引言

電磁超材料(metamaterials)是一種異于天然的人工復(fù)合結(jié)構(gòu)或復(fù)合材料[1],具有諸如負(fù)折 射 效 應(yīng)[2]、 反 常 Doppler效 應(yīng)[3]、 反 常Cherenkov效應(yīng)[4]、完美透鏡[5]等超常物理特性.近年來,對(duì)超材料結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)方面的研究,已經(jīng)從最初微波頻段的開口諧振環(huán)(SRR)[6,7]和電導(dǎo)線結(jié)構(gòu)逐步深入到光波頻段的漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)[8-10].很多學(xué)者選用傳統(tǒng)的反演算法[11,12]或基于Kramers-Kronig(K-K)關(guān)系[13-15]的改進(jìn)算法,提取微波頻段超材料結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)進(jìn)行研究分析.本文主要利用這兩種算法提取光波頻段超材料結(jié)構(gòu)的等效參數(shù),分析比較兩種算法的準(zhǔn)確度與適用性.

為了確定兩種算法的準(zhǔn)確度和適用性,我們考慮了兩類具有不同特性的漁網(wǎng)結(jié)構(gòu).將若干個(gè)超材料漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)小單元以固定的間隔d沿傳播方向疊加,根據(jù)d的取值不同,將結(jié)構(gòu)塊分為弱耦合和強(qiáng)耦合的情況,分別利用兩種算法對(duì)不同結(jié)構(gòu)提取等效參數(shù).計(jì)算表明,傳統(tǒng)的反演算法適用性很強(qiáng),對(duì)兩類結(jié)構(gòu)的超材料都可以準(zhǔn)確地提取等效參數(shù),但計(jì)算過程比較復(fù)雜;而基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法巧妙地避免了復(fù)雜的計(jì)算,并能簡單準(zhǔn)確地提取材料的等效參數(shù),但其使用范圍具有一定的局限性.

2 算法理論

2.1 傳統(tǒng)反演算法的基本理論

在研究超材料時(shí),一般將其描述為等效媒質(zhì).在波長遠(yuǎn)大于結(jié)構(gòu)單元的尺寸時(shí),電磁波將不能識(shí)別出其內(nèi)部結(jié)構(gòu),從而使得超材料可以用有效介電常數(shù)和有效磁導(dǎo)率來描述.計(jì)算中將超材料結(jié)構(gòu)描述為一種有一定厚度的平板均勻結(jié)構(gòu),如果得到其傳輸、反射系數(shù)的強(qiáng)度大小和相位[8-10],則通過反演計(jì)算可以求得復(fù)數(shù)折射率n和波阻抗z,進(jìn)一步可以得到媒質(zhì)的等效介電常數(shù)和磁導(dǎo)率[16,17].

本文利用上述原理,對(duì)復(fù)數(shù)折射率n的實(shí)部進(jìn)行研究分析.當(dāng)平面波垂直入射到一定厚度的超材料結(jié)構(gòu)上時(shí),通過計(jì)算或測(cè)量得到其傳輸系數(shù)T,反射系數(shù)R,再利用(1),(2a)和(2b)式,可以得到其波阻抗z和折射率n：

其中,k0是自由空間的波數(shù),deff是超材料結(jié)構(gòu)的有效厚度,m是整數(shù),代表不同分支.

利用超材料自身的特性條件可以確定波阻抗z和折射率n的正負(fù)符號(hào).一般非增益超材料要求Re(z)＞0,因此可以得出(1)式的符號(hào).同樣地,Im(n)＞0,就惟一地確定了(2a)及(2b)式的符號(hào),至于分支m的確定需要結(jié)合具體的物理概念,比如可依據(jù)一般超材料折射率具有連續(xù)性等限制條件決定m的具體取值.若是有效厚度deff取值較大,這些分支將十分靠近,很難準(zhǔn)確地選擇正確的分支數(shù).傳統(tǒng)反演算法的計(jì)算復(fù)雜度也就體現(xiàn)在分支數(shù)的選擇上.尤其是多層漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)[18]的模型,分支選擇的計(jì)算量就更大更復(fù)雜.

2.2 基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法的基本理論

K-K關(guān)系的原理與傳統(tǒng)反演算法基本一致.這種算法的新穎之處在于根據(jù)折射率的虛部利用KK關(guān)系得到折射率的實(shí)部,確保了等效參數(shù)的惟一性,避免了分支選擇的復(fù)雜性,從而降低了計(jì)算的復(fù)雜度.K-K關(guān)系的本質(zhì)是利用解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的內(nèi)在聯(lián)系,其物理本質(zhì)則在于物理系統(tǒng)因果率的體現(xiàn).

基于K-K關(guān)系的算法步驟如下：波阻抗z可由T及R惟一地確定.折射率n的計(jì)算涉及一個(gè)復(fù)對(duì)數(shù)計(jì)算(5)式,這個(gè)復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù),但多值性只針對(duì)n的實(shí)部.這時(shí)可用K-K關(guān)系由n的虛部來聯(lián)系其實(shí)部,那么n的實(shí)部值就是取最接近K-K關(guān)系預(yù)測(cè)的對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的分支.但是,此算法要求折射率和頻率是連續(xù)的.

該算法需要兩個(gè)輸入數(shù)據(jù),一是有效厚度deff,即電磁波的傳播方向上所包含的單元格的長度的總和;二是參數(shù)T及R.平面波垂直入射到均勻介質(zhì)板上,波阻抗和折射率與T及R的關(guān)系如下：

其中,R01=(Zeff-1)/(Zeff+1),Zeff(ω)是復(fù)波阻抗,Neff(ω)=neff(ω)+ikeff(ω),是復(fù)折射率,neff(ω)是折射率,keff(ω)是消耗系數(shù),k0是自由空間波數(shù),ω是角頻率.

其中,P.V.是柯西主值.

對(duì)(9)式可以利用梯形積分規(guī)則進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.但為了避免不當(dāng)?shù)腒-K積分的奇異性,我們可以將積分分成兩個(gè)部分,從而可以得到近似的K-K積分：

這里的Round()函數(shù)是取最接近的整數(shù).因此,折射率的計(jì)算也就是選擇最接近K-K關(guān)系預(yù)測(cè)值的那個(gè)分支.

3 數(shù)值算例

3.1 開口諧振環(huán)組成的超材料模型

首先,選用開口諧振環(huán)[6,7]組成的負(fù)磁導(dǎo)率超材料模型,分別用傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法提取其等效參數(shù),用來驗(yàn)證改進(jìn)算法的適用性.如圖1所示,邊長為2.5 mm的空氣立方體單元模型,中間嵌入厚度為0.25 mm的FR4基板,在基板的一側(cè)是厚度為0.017 mm的銅材質(zhì)開口諧振環(huán).開口環(huán)外側(cè)邊長2.2 mm,開口間隙0.3 mm,內(nèi)外環(huán)間距0.15 mm,環(huán)寬0.2 mm.圖2是開口諧振環(huán)模型計(jì)算得到的傳輸系數(shù)、反射系數(shù)和吸收系數(shù)的結(jié)果.

圖1 開口諧振環(huán)模型

如圖3所示,傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法結(jié)果基本符合,從而驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性.圖3中曲線neff是用傳統(tǒng)的反演算法計(jì)算出的折射率的實(shí)部,而曲線nK-K是用基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法計(jì)算出的結(jié)果,曲線keff是折射率的虛部,根據(jù)結(jié)算結(jié)果可以看出針對(duì)此結(jié)構(gòu)傳統(tǒng)方法與基于K-K方法的結(jié)果符合得較好,這樣從側(cè)面證實(shí)了K-K方法的有效性.圖4也給出了基于K-K關(guān)系反演得到的磁導(dǎo)率實(shí)部隨頻率變化曲線.

圖2 開口諧振環(huán)模型的傳輸、反射和吸收系數(shù)

圖3 開口諧振環(huán)模型的折射率

圖4 開口諧振環(huán)模型的磁導(dǎo)率

3.2 漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型

3.2.1 強(qiáng)、弱耦合模型的確定

圖5(a)是超材料漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的一個(gè)單元模型[8,18],結(jié)構(gòu)由金屬銀和電介質(zhì)氟化鎂(MgF2)組成,金屬銀分布在氟化鎂(其介電常數(shù)為1.9)兩側(cè).金屬銀是用Drude模型來模擬的,其等離子頻率為1.37×1016rad/s,電碰撞系數(shù)為8.19×1013rad/s.傳播方向是沿正z軸方向,結(jié)構(gòu)在傳播方向上是幾何對(duì)稱的.其電場(chǎng)方向(E)、磁場(chǎng)方向(H)和波矢方向(k),如圖5(a)所示.其中,ax=ay=860 nm,wx=565 nm,wy=265 nm,s=50 nm,t=30 nm.

圖5 (a)一個(gè)單元模型;(b)7層單元模型疊加的側(cè)視圖

圖5(b)是兩個(gè)單元模型的疊加,中間由空氣層隔開,間距為d.根據(jù)d的取值不同,將疊加的模型分為弱耦合模型和強(qiáng)耦合模型.當(dāng)d取某個(gè)閾值時(shí),每個(gè)單元模型之間的相互影響很小,以這個(gè)特定的d而疊加的多個(gè)單元模型,結(jié)構(gòu)的等效參數(shù)將保持穩(wěn)定,不會(huì)隨著結(jié)構(gòu)的疊加而改變,這樣的情況看作是弱耦合模型;當(dāng)d取值超過閾值時(shí),每個(gè)單元模型之間的相互影響很大,近似于光子晶體,這樣的情況看作是強(qiáng)耦合模型.

圖6是該漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的諧振頻率隨d變化的曲線圖.隨著d的增加,結(jié)構(gòu)的諧振頻率也不斷變化.在d取值大于90 nm時(shí),諧振頻率趨于固定值141.6 THz,不再隨著d的增加而變化,即在90 nm處,諧振頻率達(dá)到飽和.因此,界定當(dāng)多個(gè)單元模型以d=90 nm為閾值間距沿傳播方向增加時(shí),構(gòu)成的多層模型稱為弱耦合模型.當(dāng)d取值小于90 nm的情況均可視為強(qiáng)耦合模型.

圖6 漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的諧振頻率隨間距d的變化曲線圖

3.2.2 多層弱耦合模型

確定強(qiáng)、弱耦合的閾值后,首先研究的是多層弱耦合模型,由7層單元模型沿傳播方向疊加,每個(gè)單元模型之間的間距d=90 nm.圖7是計(jì)算得到的傳輸系數(shù)、反射系數(shù)和吸收系數(shù)的結(jié)果.

圖7 7層弱耦合模型的傳輸、反射和吸收系數(shù)

根據(jù)傳輸和反射系數(shù),就可以利用傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法計(jì)算出漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)的折射率.由于兩種算法計(jì)算折射率的虛部的原理基本一致,所以其虛部曲線是完全一致的,也就是圖8中的曲線keff.在圖8中,曲線neff是用傳統(tǒng)的反演算法計(jì)算出的折射率的實(shí)部,而曲線nK-K是用基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法計(jì)算出的結(jié)果.可以看出頻率在大概136—150 THz的區(qū)域內(nèi)是負(fù)值,這體現(xiàn)了超材料負(fù)折射率的奇異特性.由于K-K積分中存在積分近似的過程,折射率的實(shí)部曲線nK-K與曲線neff大體趨勢(shì)相同,計(jì)算結(jié)果表明兩種方法在處理弱耦合時(shí)的一致有效性.而傳統(tǒng)的反演算法在計(jì)算折射率的實(shí)部時(shí),需要進(jìn)行分支選擇,計(jì)算過程比較復(fù)雜,而基于K-K關(guān)系的算法卻巧妙地利用K-K關(guān)系得到折射率的實(shí)部,具有一定的計(jì)算優(yōu)勢(shì).

圖8 7層弱耦合模型的折射率

3.2.3 多層強(qiáng)耦合模型

多個(gè)單元模型疊加時(shí),其間距d取小于90 nm的情況稱為強(qiáng)耦合模型.此處以d=0 nm為進(jìn)行數(shù)值模擬的強(qiáng)耦合模型.組成強(qiáng)耦合模型的單個(gè)模型之間的相互作用較強(qiáng),所以它的折射率等效參數(shù)就會(huì)呈現(xiàn)出一些特別的情況,比如不連續(xù)的現(xiàn)象.通過計(jì)算分析,強(qiáng)耦合模型的折射率確實(shí)出現(xiàn)了不連續(xù)的情況,所以這時(shí)基于K-K關(guān)系的算法就無法適用了,因?yàn)樗笥?jì)算的參數(shù)是解析、連續(xù)的.

傳統(tǒng)的反演算法可以用于計(jì)算不連續(xù)的模型,但是比較復(fù)雜,因?yàn)樗婕熬唧w分支選擇的問題.這里,計(jì)算的是19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型,通過人工選擇分支確定折射率的值.

圖9是19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型的傳輸系數(shù)曲線.當(dāng)頻率f＜136 THz時(shí),傳輸系數(shù)T≈0,這是一種金屬特性,也是f＜136 THz時(shí)Re(n)≈0的原因.

圖10是折射率實(shí)部的不同分支曲線圖,其中：m=1(青色),m=0(藍(lán)色),m=-1(紅色),m=-2(綠色),m=-3(品紅色),m=-4(黑色).19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型分別是用交叉符號(hào),菱形符號(hào)和圓圈表示.

從圖中可以看出,在頻率136 THz附近,折射率的實(shí)部出現(xiàn)了不連續(xù)現(xiàn)象.頻率小于136 THz時(shí),折射率的實(shí)部趨于0.基于傳統(tǒng)的反演算法,根據(jù)(2b)式中m的不同選擇及不同層數(shù)重疊情形,可以確定出最終折射率實(shí)部的曲線如圖10中陰影部分所示.

圖9 19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型的傳輸系數(shù)

圖10 19層、23層和27層強(qiáng)耦合模型的折射率實(shí)部反演結(jié)果

4 結(jié)論

本文主要利用兩種反演算法分析光波頻段電磁超材料結(jié)構(gòu)的等效媒質(zhì)理論.給出了多層弱耦合和強(qiáng)耦合結(jié)構(gòu)模型的閾值,利用多層弱耦合和多層強(qiáng)耦合漁網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型探討了傳統(tǒng)的反演算法和基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法的適用性及有效范圍.結(jié)果表明傳統(tǒng)的反演算法適用性很強(qiáng),對(duì)兩種情況的模型都可以計(jì)算其等效參數(shù),但是比較復(fù)雜,需人工選擇分支來確定等效參數(shù);而基于K-K關(guān)系的改進(jìn)算法巧妙地利用K-K積分來避免了分支的選擇,但是這種算法又存在一定的局限性,即計(jì)算模型的等效參數(shù)必須是解析的和連續(xù)的.我們的結(jié)果為電磁超材料的等效媒質(zhì)理論提供了新的技術(shù)支持.

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