基于自適應(yīng)形態(tài)提升小波與改進非負矩陣分解的發(fā)動機故障診斷方法

李兵，徐榕，賈春寧，郭清晨

(1.軍械工程學(xué)院 四系，河北 石家莊050003;2.總裝備部駐上海地區(qū)軍事代表室，上海201109)

0 引言

振動信號分析是對發(fā)動機進行結(jié)構(gòu)、故障分析和狀態(tài)監(jiān)測最為廣泛、也是最行之有效的方法之一。其中，振動信號處理與特征參數(shù)提取是實現(xiàn)發(fā)動機故障診斷的關(guān)鍵與核心［1］。

小波分析具有多尺度特性和“數(shù)學(xué)顯微”特性，因此近年來小波分析被越來越廣泛地應(yīng)用于發(fā)動機故障診斷中并取得了很好的效果［2-7］。然而傳統(tǒng)的小波分析是基于頻率的線性分解，對于具有特定非線性形態(tài)特征的信號，應(yīng)用傳統(tǒng)的線性小波分析方法有時得不到很好的效果。

形態(tài)小波變換是以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為基礎(chǔ)的一種小波變換，是小波理論非線性擴展研究的一個方向，它是由Goutsias 和Heijmans 在2000年時首先提出的［8-9］，它成功地將大多數(shù)線性小波和非線性小波統(tǒng)一起來，并形成了多分辨分析的統(tǒng)一框架。作為一種非線性小波，形態(tài)小波兼顧數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形態(tài)特性與小波的多分辨率特性，具有良好的細節(jié)保留和抗噪聲性能。目前，形態(tài)小波已經(jīng)在圖像壓縮、圖像融合以及電力系統(tǒng)故障檢測等方面得到了廣泛的應(yīng)用［10-13］，在機械設(shè)備振動信號中的分析也開始嶄露頭角［14-16］。

盡管形態(tài)小波具有很多優(yōu)良的性質(zhì)，但也存在一個明顯的限制，那就是濾波器結(jié)構(gòu)是固定的，即濾波算子對信號全局來講是固定不變的;而信號的突變處往往要求具有不同于平緩處的濾波特性，需要能夠根據(jù)信號局部特性的不同而對濾波算子進行相應(yīng)的改進［17-20］。

因此，本文在形態(tài)小波和自適應(yīng)小波理論的基礎(chǔ)上，提出了一種自適應(yīng)形態(tài)梯度提升小波分解方案(AMGLW)，在有效保留反映發(fā)動機故障特征的信號分量的前提下可以同時抑制噪聲;在此基礎(chǔ)上，提出采用改進非負矩陣分解技術(shù)(INMF)對信號進行特征提取，計算用于發(fā)動機故障診斷的特征參數(shù)集。采用實測的發(fā)動機在5 種狀態(tài)下的振動信號對本文提出的信號處理與特征參數(shù)計算方法進行了驗證，并與傳統(tǒng)的方法進行了對比。

1 自適應(yīng)形態(tài)提升小波

1.1 形態(tài)小波的概念

將線性小波中的線性濾波器用非線性形態(tài)濾波器代替，就可以構(gòu)成一類非線性形態(tài)小波，主要分為對偶小波和非對偶小波。對偶小波包含2 個分析算子和一個合成算子，分析算子一個作用于信號，另一個作用于細節(jié)信號。非對偶小波是對偶小波的一個特殊情況，它包含2 個合成算子，信號合成算子與細節(jié)信號合成算子，線性正交小波屬于非對偶小波，其信號分析算子與細節(jié)分析算子分別對應(yīng)于低通和高通濾波器;有關(guān)形態(tài)小波的具體概念和詳細闡述可參見文獻［9］。

1.2 自適應(yīng)形態(tài)提升小波

Piella 等［17-20］提出了一種根據(jù)信號局部梯度的自適應(yīng)更新方案，其框架如圖1所示。

圖1中D 為判決函數(shù)，λd為更新算子，π 為預(yù)測算子;φ0為信號合成算子.⊕d、Θd分別為廣義加法和減法算子。在標(biāo)準(zhǔn)提升方法的更新過程中，更新算子和加、減法算子固定不變。

雖然Piella 等提出的自適應(yīng)提升小波具有非冗余性和完美重構(gòu)等優(yōu)點，但對濾波器的限制十分嚴重，而且其本質(zhì)仍然是線性小波變換，很難采用更加靈活的方式構(gòu)造非線性小波，比如形態(tài)小波。

圖1 自適應(yīng)更新提升方案Fig.1 Adaptive update lifting scheme

本文提出了一種自適應(yīng)形態(tài)梯度提升小波(AMGLW)方案，其結(jié)構(gòu)圖與圖1一樣，與Piella 等提出的方法不同，本文采用形態(tài)梯度提升算子和平滑濾波器構(gòu)造自適應(yīng)形態(tài)提升小波變換。

在判斷信號奇異點上采用與Piella 等相同的方法，即梯度法，信號的局部梯度值定義為

判別函數(shù)定義為

式中T 為閾值。

當(dāng)d(n)=1 時，采用形態(tài)梯度更新算子，即

提升后的信號和細節(jié)系數(shù)分別為

當(dāng)d(n)=0 時，采用平滑算子，令提升后的信號和細節(jié)系數(shù)分別為

由上述各式可以看出，當(dāng)信號局部梯度值較大時即信號出現(xiàn)沖擊特征時，采用梯度提升算子，保留信號的沖擊特征;當(dāng)信號較為平滑時，采用均值濾波，以有效地濾除噪聲。

2 改進非負矩陣分解

雖然AMGLW 能夠有效地提取出原始信號中包含的故障信息，但處理后的空間維數(shù)仍然非常高，不能直接用來進行分類。為節(jié)省存儲空間，降低計算復(fù)雜度，避免“維數(shù)災(zāi)難”，必須對信號進行進一步的特征提取。

非負矩陣分解(NMF)算法是1999年由Lee 和Seung［21］在《Nature》上提出的一種新的特征提取方法。非負矩陣分解的心理學(xué)和生理學(xué)構(gòu)造依據(jù)是對整體的感知由對組成整體的部分的感知構(gòu)成的(純加性的)，這也符合直觀的理解:整體是由部分組成的，因此它在某種意義上抓住了智能數(shù)據(jù)描述的本質(zhì)。此外，這種非負性的限制導(dǎo)致了相應(yīng)描述在一定程度上的稀疏性，稀疏性的表述已被證明是介于完全分布式的描述和單一活躍分量的描述之間的一種有效數(shù)據(jù)描述形式。非負矩陣分解算法實現(xiàn)簡便，而且具有可解釋性和明確的物理意義，已經(jīng)引起許多科學(xué)家和研究人員的廣泛重視。

2.1 非負矩陣分解主要思想

非負矩陣分解的主要思想為:已知非負矩陣V，尋找適當(dāng)?shù)姆秦摼仃囈蜃覹 和H，使得

即給定數(shù)據(jù)向量集合Vn×m，其中n 為數(shù)據(jù)樣本的維數(shù)，m 為集合中數(shù)據(jù)樣本的個數(shù)，這個矩陣可以近似的分解為矩陣Wn×r和矩陣Hr×m的乘積。一般情況下，r 的選擇要滿足(n+m)r ＜nm，從而W 和H的維數(shù)都會小于原始矩陣V，由此可得實現(xiàn)對原始數(shù)據(jù)維數(shù)壓縮。

2.2 非負矩陣分解的算法實現(xiàn)

2001年Lee 和Seung 提出了簡化的計算非負矩陣分解的2 種算法［22］。一種算法以最小化剩余的Frobenius-Norm 為目標(biāo)函數(shù);另一種算法則是最小化修正的Kullback-Laebler 散度為目標(biāo)函數(shù)。

本文采用最小化修正的Kullback-Laebler 散度為目標(biāo)函數(shù)，給定非負矩陣Vn×m，尋找矩陣Wn×r和矩陣Hr×m，使得矩陣V 和矩陣WH 的Kullback-Laebler 散度最小，因此非負矩陣分解算法可轉(zhuǎn)化為如下的帶約束的優(yōu)化問題:

Lee 和Seung 等提出了采用乘性迭代規(guī)則對上述優(yōu)化問題進行求解，為了消除尺度對于基矩陣的影響，對基矩陣W 限制其L-1 范數(shù)為1.

對應(yīng)于(10)式的乘性迭代規(guī)則為迭代公式如下所示:

由(11)式～(12)式可以看出，在上述算法的每一步迭代過程中，W 和H 的新值可以通過其當(dāng)前值與一些因子的乘積來獲得，(13)式保證了基矩陣的范數(shù)為1.

2.3 非負矩陣分解的改進

原始的非負矩陣分解技術(shù)是一種非監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，因此由非負矩陣分解技術(shù)直接得出的特征參數(shù)并不一定取得很好的分類效果，這已經(jīng)在某些研究中得到了驗證。文獻［23 -24］提出了一種鑒別非負矩陣分解方法，該方法將鑒別分析直接引入到NMF 的優(yōu)化過程中，取得了比原始NMF 更好的分類精度，但該方法存在著算法無法收斂的問題;文獻［25］將NMF 矩陣分解后得到的編碼系數(shù)進一步進行Fisher 線性鑒別分析，同樣取得了較好的分類效果。文獻［26］提出了一種更為簡單的改進方法，該方法在NMF 分解后采用Fisher 判別準(zhǔn)則對分解后的基向量進行選擇，在提高分類精度的同時進一步壓縮了特征維數(shù)。本文采用這種方法對NMF 進行改進。

該方法的主要思想為，NMF 算法收斂后得到基向量矩陣Wn×r和系數(shù)矩陣Hr×m(特征矩陣)，計算系數(shù)矩陣中每個特征的Fisher 判別度:

式中:C 為樣本類別數(shù);mik和mjk分別為第i 類和第j類樣本第k 個特征的均值;σik和σjk分別為第i 類和第j 類樣本第k 個特征的方差。Fisher 判別度越大，證明該特征的區(qū)分性能越高。

因此，根據(jù)上式計算的F 值對所有r 個特征進行排序，選擇前d 個特征所對應(yīng)的基向量組成改進后的基向量矩陣W'n×r，由此可以去除原基向量矩陣中與分類信息無關(guān)的基向量，不但進一步壓縮了特征向量的維數(shù)，而且可以提高特征子集的分類精度。

3 發(fā)動機故障診斷

3.1 發(fā)動機試驗

實驗在某型發(fā)動機上進行，加速度傳感器粘貼在第一缸缸蓋處，實驗在空間較大的車間內(nèi)進行，計算機、電荷放大器等裝置在車間里的控制間內(nèi)放置。實驗時發(fā)動機轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，采樣頻率為40 kHz，采樣點數(shù)為發(fā)動機一個工作周期。為結(jié)合發(fā)動機故障診斷研究的需要，實驗中除采集正常運行工況的數(shù)據(jù)外，還根據(jù)實際的實驗條件，采用人為手動設(shè)置故障的方式，對部分發(fā)動機典型的故障模式進行模擬。實驗中設(shè)置發(fā)動機在5 種狀態(tài)下工作，分別為正常、1 缸失火、2 缸失火、進氣門間隙過大、排氣門間隙過大。實驗中在發(fā)動機每種運行狀態(tài)下采集20 個樣本，共100 個樣本。

圖2 發(fā)動機在正常狀態(tài)下的振動信號Fig.2 Vibration signal from engine with normal state

圖2為發(fā)動機在正常狀態(tài)下缸蓋振動信號的時域波形，圖中給出了信號中主要沖擊分量所應(yīng)的發(fā)動機工作過程。由于傳感器安裝在發(fā)動機1 缸體上，因此信號中的主要分量為1 缸燃爆信號、1 缸進、排氣門落座信號和2 缸燃爆信號。

3.2 基于AMGLW 的發(fā)動機信號處理

本文分別采用傳統(tǒng)的線性小波變換(采用db5小波)、極大形態(tài)提升小波、Piella 提出的自適應(yīng)提升小波(ALW)和本文提出的自適應(yīng)形態(tài)梯度提升小波(AMGLW)對發(fā)動機正常信號進行分解，分解層數(shù)為3.在分解中，設(shè)定判別函數(shù)的閾值為信號梯度最大值的1/2.

圖3 圖2中信號4 種小波分解的第3 層近似系數(shù)Fig.3 Third level approximation coefficient of signal in Fig.2 deposed by four type wavelet schemes

圖3給出了采用前述的4 種小波分解方法對信號進行3 層分解后的第3 層近似信號?？梢园l(fā)現(xiàn)，本文提出的自適應(yīng)形態(tài)梯度提升小波具有最好的沖擊信號提取效果。

圖4為發(fā)動機在5 種狀態(tài)下的振動信號。圖5為采用AMGLW 對發(fā)動機5 種狀態(tài)下振動信號進行3 層分解后近似系數(shù)的波形圖，從中可以看出，AMGLW 在大幅壓縮信號長度的前提下，不僅有效地保留了反映發(fā)動機工作狀態(tài)地沖擊特征信號，而且大大降低了噪聲的干擾，為準(zhǔn)確有效地判斷發(fā)動機工作狀態(tài)提供了堅實的基礎(chǔ)。

3.3 特征提取

采用AMGLW 對發(fā)動機故障信號進行3 層分解后，可以得到得到一個512 ×100 的樣本集。

每類狀態(tài)下選擇10 個樣本作為訓(xùn)練樣本，這樣可以得到訓(xùn)練矩陣X512×50，表1給出了發(fā)動機故障信號經(jīng)AMGLW 處理后的部分訓(xùn)練樣本向量集，表中每行對應(yīng)發(fā)動機的一種工作狀態(tài)。

圖4 發(fā)動機在5 種狀態(tài)下的振動信號Fig.4 Vibration signals from engine with five states

在對發(fā)動機訓(xùn)練樣本集X 采用NMF 技術(shù)進行分解之前，首先采用PCA 技術(shù)確定基向量秩r，經(jīng)PCA 分析后發(fā)現(xiàn)，前40 個特征值的累積貢獻率超過了99%，因此在對發(fā)動機故障信號進行非負矩陣分解時選擇基向量秩為r=40.

在訓(xùn)練過程開始之前，采用PCA 對非負矩陣分解的基向量和系數(shù)向量進行初始化。采用PCA 對X 進行分解后，取前40 個特征值對應(yīng)的特征向量的絕對值作為初始化的基矩陣W，取X 在W 上的投影系數(shù)的絕對值作為初始化的系數(shù)矩陣H.非負矩陣分解訓(xùn)練迭代次數(shù)設(shè)置為200.

訓(xùn)練結(jié)束后可得到基向量矩陣W512×40和編碼矩陣H40×50，表2給出了由非負矩陣分解得到的40 個基向量中部分基向量，表3給出了由非負矩陣分解得到的部分編碼系數(shù)，即特征參數(shù)，表3中的25 個數(shù)據(jù)與表1中25 個樣本為一一對應(yīng)關(guān)系。

圖5 采用AMGLW 對圖4信號進行3 層分解后近似系數(shù)Fig.5 Third level approximation coefficients of signals in Fig.4 deposed by AMGLW

圖6給出了由(14)式計算出的由非負矩陣分解后得到的40 個特征值的Fisher 判別度，可以看出部分特征值的Fisher 判別度明顯高于其他特征值，因此，本文選擇前20 個Fisher 判別度較大的特征值所對應(yīng)的基向量作為改進后的基向量矩陣W'.

對于訓(xùn)練樣本來說，可用編碼矩陣對其進行描述，對于剩余的測試樣本，可采用下式得到編碼矩陣:

由此可得到描述發(fā)動機故障信號的特征參數(shù)集。本文將基于AMGLW 和NMF 技術(shù)得到的特征參數(shù)集記為FAMGLW-NMF，將基于改進NMF 技術(shù)所得到的特征參數(shù)集記為FAMGLW-INMF.

表1 非負矩陣分解部分訓(xùn)練樣本集示意圖(每行代表一種狀態(tài))Tab.1 Part of the training samples for NMF (Each row represents one engine state)

表2 非負矩陣分解得到的基向量(部分)示意圖Tab.2 Part of the basic vectors acquired by NMF

表3 非負矩陣分解得到的編碼向量示意圖(每行代表一種狀態(tài))Tab.3 Coding vectors acquired by NMF (Each row represents one engine state)

圖6 非負矩陣分解40 個特征值的Fisher 判別度Fig.6 Fisher discriminate degree of the forty features acquired by NMF

3.4 發(fā)動機故障分類

為證明提出的特征提取方法的有效性和優(yōu)越性，本文還采用廣泛應(yīng)用的統(tǒng)計特征來提取信號的特征，本文采用了4 個有量綱統(tǒng)計特征參數(shù)(均值、標(biāo)準(zhǔn)差、均方根和峰-峰值)和6 個無量綱特征參數(shù)(偏度、峭度、峰值指標(biāo)、脈沖指標(biāo)、波形指標(biāo)和裕度指標(biāo))作為統(tǒng)計特征參量，分別計算原始信號、包絡(luò)信號和小波3 層分解后各層系數(shù)的統(tǒng)計特征參數(shù)作為一個特征參數(shù)集，其維數(shù)為60，記該特征參數(shù)集為FSTAT.此外，為驗證AMGLW 對發(fā)動機信號處理的效果，本文還計算了AMGLW 3 層分解后各層系數(shù)的統(tǒng)計特征參數(shù)，其維數(shù)為40，記為FAMGLW-STAT.

采用前述各種特征參數(shù)提取方法，可得到描述發(fā)動機故障信號的4 個特征參數(shù)集，即FSTAT、FAMGLW-STAT、FAMGLW-NMF和FAMGLW-INMF.為驗證結(jié)果的通用性，采用3 種常見的分類器，即最近鄰分類器(KNNC)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BP-NN)和支持向量機分類器(SVM)對發(fā)動機的5 種狀態(tài)進行分類。

在分類實驗中，從發(fā)動機每類狀態(tài)下隨機選擇10 個樣本作為訓(xùn)練樣本，剩余的10 個樣本作為測試樣本，為保證結(jié)果的有效性，將此隨機選擇過程重復(fù)50 次，并將50 次運算結(jié)果的平均值作為評價標(biāo)準(zhǔn)。表4給出了前述4 個特征子集的分類精度。

表4 各特征子集的發(fā)動機故障診斷精度Tab.4 Engine fault diagnosis accuracy of different feature subsets

由表4可以看出，在發(fā)動機故障診斷中，本文所提出的基于AMGLW 和改進非負矩陣分解的特征子集FAMGLW-INMF取得了最好的分類精度，而且特征子集的維數(shù)也比傳統(tǒng)的統(tǒng)計特征參數(shù)FSTAT、FAMGLW-STAT和FAMGLW-NMF低。這一方面是由于AMGLW 能夠有效地提取振動信號中能夠反映發(fā)動機工作狀態(tài)的有用分量，另一方面是因為改進的非負矩陣分解不僅可以去除原基向量矩陣中與分類信息無關(guān)的基向量，還進一步降低了特征向量的維數(shù)，因此可以以較少的特征參數(shù)獲得較高的故障診斷精度。

4 結(jié)論

1)提出了一種自適應(yīng)形態(tài)梯度提升小波(AMGLW)方法。針對傳統(tǒng)小波變換濾波器結(jié)構(gòu)固定的缺點，采用信號的局部梯度作為判斷信號奇異性的度量指標(biāo)，在信號突變處采用提出的形態(tài)梯度提升算子以保留信號的沖擊特征，在信號緩變處采用平滑算子以抑制噪聲。

在發(fā)動機故障信號中的應(yīng)用表明，AMGLW 能在強噪聲和強干擾條件下用較少的小波系數(shù)有效地提取信號中的沖擊特征，因此可有效地提取振動信號中能夠反映發(fā)動機工作狀態(tài)的有用分量。

2)在采用AMGLW 對發(fā)動機振動信號處理的基礎(chǔ)上，采用改進非負矩陣分解技術(shù)對信號進行特征參數(shù)提取，實際的故障診斷結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的信號處理與特征提取技術(shù)相比，本文提出的基于AMGLW 與改進非負矩陣分解的特征子集不僅維數(shù)較低，而且具有更高的分類精度。

本文提出的信號處理與特征提取方法為準(zhǔn)確判斷發(fā)動機工作狀態(tài)提供了一種新的行之有效的技術(shù)手段，并可推廣至其他機械設(shè)備比如齒輪、軸承等設(shè)備的故障診斷中去。

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