單擺周期是否存在“無(wú)窮大”——由“太空授課”引發(fā)的思考

王太軍 唐忠敏

（1.西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所，甘肅 蘭州 730070；2.西北民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730030）

2013年6月20日上午10時(shí)“神舟十號(hào)”航天員王亞平在“天宮一號(hào)”中給地面的師生講授了一堂“太空物理課”（下稱“太空授課”）.此次太空授課主要面向中小學(xué)生，使其了解失重條件下物體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)、液體表面張力的作用，加深對(duì)質(zhì)量、重量以及牛頓定律等基本物理概念和規(guī)律的理解.

太空授課中所做的物理實(shí)驗(yàn)，可謂奇妙無(wú)比，是在地面重力環(huán)境下無(wú)法完成的，讓人尤為感慨“知道”與“看到”太不一樣了.其中最為中小學(xué)生熟悉的莫過(guò)于“單擺實(shí)驗(yàn)”：T形支架上，細(xì)繩拴著一顆小球，這是物理課上常見的實(shí)驗(yàn)裝置——單擺.航天員王亞平將小球拉開離支架一定角度后釋放，小球卻以非常慢的速度移動(dòng)，并沒有像在地面上那樣來(lái)回?cái)[動(dòng)，隨后她再拿著小球拉直細(xì)繩，輕推小球，小球即繞著支架的固定點(diǎn)不停地做圓周運(yùn)動(dòng).

1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)力學(xué)方程

做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體要受到回復(fù)力的作用，其回復(fù)力F與物體相對(duì)于平衡位置的位移x成正比，方向與位移x的方向相反，即F＝－kx，其中k是比例系數(shù).對(duì)于質(zhì)量為m的小球，設(shè)在t時(shí)刻的位移是為x，加速度為a，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有F＝ma＝－kx，可得

這就是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體的周期.

2 單擺的周期及其適用條件

單擺是一種典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，是一種理想化的物理模型.在地面上，實(shí)際的擺只要懸掛小球的擺線不會(huì)伸縮，懸線的長(zhǎng)度又比球的直徑大很多，或擺球的直徑與懸線長(zhǎng)相比可以忽略，再忽略各部分阻力，可認(rèn)為是構(gòu)成單擺的條件之一.

圖1

當(dāng)擺球靜止在O點(diǎn)時(shí)，擺球受到的重力G和擺線的拉力T平衡，如圖1所示，這個(gè)O點(diǎn)就是單擺的平衡位置.讓擺球偏離平衡位置，此時(shí)，擺球受到的重力G和擺線的拉力T就不再平衡.在這兩個(gè)力的作用下，擺球?qū)⒃谄胶馕恢肙附近來(lái)回往復(fù)運(yùn)動(dòng).當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)到任一點(diǎn)P時(shí)，重力G沿著圓弧切線方向的分力G1＝mgsinθ提供給擺球作為來(lái)回振動(dòng)的回復(fù)力，因此有

其中L為單擺的長(zhǎng)度，g為地球表面的重力加速度.

表1

在單擺周期公式的推導(dǎo)中如果用θ代替sin θ，從理論上講，相比直接用sinθ所產(chǎn)生的相對(duì)誤差，隨最大擺角的增大而增大.由表1可以看出，最大擺角為5°時(shí)相對(duì)誤差約為0.13%，10°時(shí)約為0.51%，14°時(shí)約為1.00%.當(dāng)實(shí)際擺的最大擺角為θ＜10°時(shí)，其周期與理想單擺的相對(duì)誤差不超過(guò)0.5%，可近似地認(rèn)為單擺的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).這一結(jié)論，與用不同的方法通過(guò)對(duì)單擺模型動(dòng)力學(xué)方程的解的高階無(wú)窮小量分析所得結(jié)論基本一致［5］.

3 關(guān)于單擺的周期是否存在“無(wú)窮大”情形的探討

根據(jù)公式（7），從純數(shù)學(xué)的角度看，g→0時(shí)，有T→∞，似乎成立.但是這在物理意義上講，g→0時(shí)，意味著是在近乎完全失重的條件下，而此時(shí)擺的模型中就不存在回復(fù)力了，沒有回復(fù)力，其運(yùn)動(dòng)就不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然也就談不上物理意義上的“單擺”了.那么，不是單擺的物理模型，而仍然用單擺模型的運(yùn)動(dòng)規(guī)律去討論，顯然這是不妥的，它失去了原有的意義.

地面上常用的單擺裝置在“天宮一號(hào)”內(nèi)，由于在近乎完全失重的狀態(tài)下，沒有了回復(fù)力，這時(shí)細(xì)繩并沒有給球拉力，裝置的鋼球不再像地面上那樣來(lái)回?cái)[動(dòng)，而是幾乎靜止在原始位置，它不構(gòu)成單擺的條件，所以不能說(shuō)成是“單擺的周期無(wú)窮大”，因?yàn)槠淝疤峋褪清e(cuò)誤的.若此時(shí)推動(dòng)小球，相當(dāng)于給了小球一個(gè)初速度，同時(shí)細(xì)繩又給小球提供拉力，細(xì)繩拉力平衡離心力，小球便繞著支架的固定點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng).這就是“太空授課”中后來(lái)我們能看到的“單擺不擺繞圓周”的有趣現(xiàn)象.

如果說(shuō)從g→0的角度來(lái)探討單擺的周期“無(wú)窮大”情形沒有物理意義，那么據(jù)公式（7），單擺的擺長(zhǎng)L→∞時(shí)，是否能得出單擺的周期“無(wú)窮大”？回答依然是否定的，因?yàn)楣剑?）的導(dǎo)出過(guò)程中實(shí)際上是在把地球表面看作無(wú)限大的平面情況下得到的，而事實(shí)上地球半徑的有限性使得地球表面是一個(gè)球面［6］.當(dāng)擺長(zhǎng)L很長(zhǎng)以至可和地球半徑R相比時(shí)，考慮到地球萬(wàn)有引力和單擺擺線的拉力的共同作用，我們必須對(duì)單擺周期公式重新進(jìn)行推導(dǎo)［7］，得到單擺周期的修正公式為

故單擺的最長(zhǎng)周期是約84min，而不是“無(wú)窮大”.

1 周衍柏.理論力學(xué)教程（3版）.北京：高等教育出版社，2009.

2 譚志中.求大擺角單擺周期近似解的“局部?；狈椒?大學(xué)物理，2005（12）：14～17

3 劉鳳祥.單擺運(yùn)動(dòng)周期的近似解.大學(xué)物理，1999（19）：5～7

4 邵子蘭.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的求解方法.安徽大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1993（3）：92～94

5 吳云虎.對(duì)單擺周期測(cè)定值誤差的詮釋.中學(xué)物理教學(xué)參考，2004（6）：18～19

6 管習(xí)文，韋聯(lián)福.單擺周期與地球半徑.四川師范大學(xué)學(xué)（自然科學(xué)版），1991（4）.

7 于俊亭.對(duì)單擺周期公式若干問題的理論詮釋.中學(xué)物理，2008（7）：11