電梯懸掛系統(tǒng)在建筑搖晃引起位移激勵下橫向振動分析

王 文，錢 江

(同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092)

隨著城市建筑高度的不斷增加，電梯已成為不可或缺的垂直交通運輸工具，對電梯運行速度要求越來越快。高層建筑在風荷載與地震作用等水平荷載作用下，會產生或大或小的搖晃，從而引起電梯懸掛系統(tǒng)振動，嚴重影響電梯乘坐的舒適與安全。電梯懸掛系統(tǒng)振動包括沿軸線方向的縱向振動與垂直軸線方向的橫向振動。研究表明高速運行電梯受到外界橫向激勵時，繩索的橫向振動遠大于縱向振動，是影響乘坐舒適性和運行安全性的主要因素［1］。國內外對電梯懸掛系統(tǒng)的橫向振動已有大量研究。Terumichi等［2］研究在恒定速度下變長度提升系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)振動現(xiàn)象;Zhu等［3-8］研究運行電梯懸掛系統(tǒng)的橫向自由振動及振動主動控制、試驗模擬、外部激勵下受迫響應;杜小強等［9］引入非線性時變元模型，對曳引繩—轎廂系統(tǒng)非線性水平振動進行研究;Kimura等［10］應用波動法，得到不變張力、恒定速度運行電梯繩索受迫振動的理論解。

本文主要研究高速運行電梯懸掛系統(tǒng)在建筑物搖晃引起的外部位移激勵作用下橫向振動響應。將高層建筑簡化為懸臂梁，設建筑物按基本振型振動。應用Hamilton原理，建立電梯懸掛系統(tǒng)在受兩點位移激勵時的橫向振動偏微分方程，應用Galerkin方法將其離散化為常微分方程組進行求解，得到電梯懸掛系統(tǒng)在不同激勵頻率下的位移響應，并研究轎廂彈簧剛度、集中阻尼及繩索分布阻尼變化對振動的影響。

1 懸掛系統(tǒng)的橫向振動模型

豎向運行電梯懸掛系統(tǒng)可簡化為下端附有一定質量的變長度縱向運動張緊繩，如圖1所示。電梯轎廂用附加在繩索下端質量為me的剛體表示，假定其通過剛度為ke的彈簧、阻尼系數為ce的粘滯阻尼器與導軌相連，在高度為L的高層建筑中豎向運行。設繩索單位長度質量為ρ，彈性模量為E，繩索時變長度為l(t)。在電梯系統(tǒng)豎向運行過程中，曳引繩上x(t)處的橫向振動位移為y(x，t)。

假設建筑結構按基本振型Φ(z)振動，頂點處振動用f(t)表示。則懸臂結構基本振型為:

圖1 電梯懸掛系統(tǒng)模型Fig.1 Model of elevator hoisting system

令懸臂結構振動引起電梯懸掛系統(tǒng)上、下端位移激勵分別為e1(t)，e2(t)［l(t)，t］，有:

繩索系統(tǒng)動能為:

式中:微分算子:

繩索系統(tǒng)勢能為:

式中:P(x，t)為繩索縱向張力:

阻尼力虛功為:

據Hamilton原理:

將式(3)、式(5)、式(7)代入式(8)，應用變分原理與分部積分方法簡化可得繩索橫向振動控制方程為:

其邊界條件為:

式(9)可轉化為具有齊次邊界條件方程。橫向振動位移y(x，t)可表示為:

式中:u(x，t)為滿足相應齊次邊界條件部分，h(x，t)為不滿足齊次邊界條件部分。

將式(12)分別代入式(9)～式(11)得:

設h(x，t)可表示為一階多項式，即:

式中:a0(t)=e1(t)，a1(t)=e2［l(t)，t］-e1(t)。

將式(16)代入式(13)、式(15)，得新的外部激勵下偏微分方程組，解出u(x，t)后據式(12)可得繩索系統(tǒng)橫向振動位移。

2 偏微分方程離散化求解

引入變量ξ=x/l(t)，將對x時變積分區(qū)域［0，l(t)］轉化成關于ξ的定積分區(qū)間(0，1)。設(ξ，t)=u(x，t)，則u(x，t)對x，t的偏導數及(ξ，t)對ξ，t的偏導數存在關系為:

同理，令(ξ，t)=h(x，t)，則h(x，t)對x，t的偏導數及(ξ，t)對ξ，t的偏導數存在同樣關系。

設:

式中:qj(t)為廣義坐標，ψj(ξ)為假設振型函數，n為振型數。

據文獻［8］，ψj(ξ)可表示為:

將式(18)、(19)代入式(13)、式(15)，再乘以ψi(ξ)(i=1，2，3，…，n)，并在ξ=［0，1］內積分，將偏微分方程離散化成常微分方程:

式中:M(t)，C(t)，K(t)，F(xiàn)(t)分別為質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、廣義力矩陣。各矩陣元素Mij，Cij，Kij，F(xiàn)i的表達式分別為:

對式(20)進行逐步積分，可得不同時刻廣義坐標q值，代入式(18)、式(12)可得橫向振動位移y(x，t)。

3 算例與討論

本文用文獻［8］中典型高速電梯參數進行計算:ρ=1.005 kg/m，me=756 kg，ke=2 083 N/m，轎廂固有頻率ωe=1.66。設電梯系統(tǒng)初始條件為靜止狀態(tài)，即y(x，0)=0，yt(x，0)=0。電梯上升過程中位移、速度、加速度及加加速度曲線如圖2所示。設建筑物頂部位移激勵為f(t)=Z1sin(ω1t)，其中Z1=0.1 m。數值計算所取振型數均為n=20。

圖2 電梯上行運行曲線Fig.2 Upward movement profile of the elevator

圖3為不同頻率激勵下轎廂上方10 m處曳引繩無阻尼橫向振動位移響應，在遠小于繩索基本頻率低頻激勵下，橫向振動最大振幅很小，繩索振動頻率與激勵頻率近似相等。當激勵頻率等于轎廂自振頻率時，恰好在繩索基本頻率變化范圍內，三者產生共振，繩索最大振幅突然增大，振動頻率近似等于激勵頻率。隨激勵頻率的增大，離開共振區(qū)繩索最大振幅迅速減小后逐漸增大。圖中也可看到，隨高速電梯的不斷上升，繩索振動幅度及振動頻率逐漸加大，此為造成乘員在該階段的不適及聽到嗡鳴聲原因。

圖4為激勵頻率ω1=1.66時轎廂上方10 m處曳引繩無阻尼橫向振動位移隨轎廂剛度變化情況。當ke增大時，繩索振動離開共振區(qū)，位移響應迅速減少;隨ke的不斷增大，位移響應緩慢增加。

由圖3、圖4可知，無阻尼情況下繩索振動幅度遠大于激勵位移幅度，而實際工程中是不允許出現(xiàn)的。圖5、圖6為分別考慮集中阻尼、分布阻尼變化對繩索振動位移影響。圖5(a)、圖6(a)為繩索系統(tǒng)處于共振情況，從圖中看到隨集中阻尼、分布阻尼的增大，繩索位移響應逐漸減少;圖5(b)、圖6(b)為繩索系統(tǒng)處于非共振情況，集中阻尼變化對繩索響應位移基本未產生作用，但分布阻尼微小增加能迅速有效減少繩索的響應位移。

圖3 不同激勵頻率(rad/s)的繩索橫向振動Fig.3 Transverse vibration of rope with different frequencies excitations(Unit:rad/s)

圖4 不同彈簧剛度(N/m)的繩索橫向振動Fig.4 Transverse vibration of rope with different spring stiffness(Unit:N/m)

圖5 集中阻尼(N·s/m)對繩索橫向振動影響Fig.5 Effect of lumped damping(Unit:N·s/m)on Transverse vibration of rope

圖6 分布阻尼(N·s/m2)對繩索橫向振動影響Fig.6 Effect of distributed damping(Unit:N·s/m2)on Transverse vibration of rope

4 結論

通過對建筑物搖晃致高速運行電梯懸掛系統(tǒng)產生橫向振動響應分析及算例計算，結論如下:

(1)電梯上行過程中，曳引繩的橫向振動幅度與振動頻率增大;尤其當激勵頻率、繩索自振頻率與轎廂固有頻率接近時，會產生共振，導致轎廂劇烈振動，造成乘坐不舒適感甚至轎廂脫軌。改變轎廂彈簧剛度可改變其固有頻率，避免共振發(fā)生，能有效減少繩索振動幅度。

(2)發(fā)生共振時，增大分布阻尼與集中阻尼均能可不同程度減少繩索振動;在非共振區(qū)，增大集中阻尼不能改變繩索振動幅度，但分布阻尼的少許增大能迅速有效減小繩索振動幅度。

(3)本文對高速運行電梯懸掛系統(tǒng)在確定性兩點位移激勵下橫向振動響應分析，為研究電梯懸掛系統(tǒng)在隨機位移激勵下的動力響應與振動控制提供參考。

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