基于電路法的優(yōu)化式著色算法分析

張可為，申群太

(1. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410008；2. 湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湖南 湘潭，411101)

基于電路法的優(yōu)化式著色算法分析

張可為1,2，申群太1

(1. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410008；2. 湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湖南 湘潭，411101)

提出一種基于優(yōu)化形式的著色框架，并構(gòu)建其等效求解電路，從而把著色問題轉(zhuǎn)化為電路中節(jié)點(diǎn)電位的求解。設(shè)計(jì)一種能調(diào)節(jié)物體間顏色過渡帶寬度的改進(jìn)算法，并對(duì)其著色特性與現(xiàn)有混色算法進(jìn)行比較分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：根據(jù)電路理論中的基爾霍夫電流定律，證明了現(xiàn)有的2種著色算法等價(jià)；優(yōu)化式著色實(shí)際上是一種混色過程，其混色權(quán)重等于像素隨機(jī)游走的首達(dá)概率。優(yōu)化式著色算法既能獲得均勻的顏色漸變特性，又可以在物體間作很好的顏色區(qū)分。

著色；電路法；混色特性

著色指利用計(jì)算機(jī)輔助對(duì)黑白圖像添加色彩成為彩色圖像的技術(shù)。由于彩色圖像具有更豐富的視覺表現(xiàn)力，所以圖像著色廣泛地應(yīng)用于舊照片、老電影翻新以及醫(yī)學(xué)、遙感等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的著色方法先將圖像分割成塊再分塊涂上顏色，自動(dòng)分割算法難以精確確定模糊、復(fù)雜的區(qū)域邊界，需靠人工區(qū)隔，為此引入一些交互式分割方法，如賈云濤等[1]采用圖切分，Liu等[2]利用隨機(jī)游走分割等方法進(jìn)行著色。但基于分割的著色結(jié)果呈嚴(yán)格的顏色分塊，塊間沒有顏色過渡帶，著色效果較生硬，在處理平緩顏色漸變時(shí)問題更嚴(yán)重。另一類方法是通過從彩色參考圖像實(shí)現(xiàn)顏色遷移完成圖像著色[3?4]。該技術(shù)適用于不同顏色區(qū)域具有不同灰度紋理的圖像(否則用戶必須指定匹配塊來(lái)引導(dǎo)像素搜索)，但用戶對(duì)結(jié)果的控制非常不直接：要求參考圖不僅具有所需的全部顏色，而且各顏色的區(qū)域紋理必須與對(duì)應(yīng)的待著色區(qū)域相似，另外，對(duì)著色結(jié)果中問題區(qū)域調(diào)整非常困難。近年來(lái)出現(xiàn)的擴(kuò)展型著色方法不僅可以直接選色，也便于修改，而且避免了分割式出現(xiàn)的顏色分塊，它通過將用戶在圖像局部添加的顏色涂抹擴(kuò)散至整幅圖像完成著色。擴(kuò)展型著色按擴(kuò)展機(jī)理大致分為 2類：一類是混色式擴(kuò)展，如 Yatziv等[5]將圖像著色過程看作各顏色涂抹在每個(gè)像素上的混色，而混色權(quán)值取決于該像素至各類涂抹的最短路徑距離(距離越短對(duì)應(yīng)于權(quán)值越大)，李志永等[6]用不平度取代最短路徑距離，而Kawulok等[7]采用競(jìng)爭(zhēng)性最短路徑。最短路徑法著色在大面積顏色漸變區(qū)的均勻性欠佳，原因在于圖像中灰度的細(xì)小變化也會(huì)造成支路選擇的很大不同，使得著色結(jié)果對(duì)光照比較敏感。另一類為優(yōu)化式擴(kuò)展方式，通過假設(shè)相鄰像素滿足指定的局部關(guān)系模型，把著色問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，如 Levin等[8]假定每個(gè)像素的顏色可以表示成周圍像素的加權(quán)平均和，由此構(gòu)建一個(gè)全局代價(jià)函數(shù)，而用戶的涂抹作為約束條件。并轉(zhuǎn)化為線性稀疏系統(tǒng)求解。而 Liu等[9]則通過假設(shè)灰度相近的相鄰像素其顏色差異應(yīng)該越小，構(gòu)建出另一個(gè)全局代價(jià)函數(shù)，并引入機(jī)器學(xué)習(xí)中的半監(jiān)督學(xué)習(xí)求解。優(yōu)化式算法得到廣泛應(yīng)用，但這種基于局部關(guān)系模型的擴(kuò)展方式，難以了解算法的全局特性諸如著色結(jié)果與顏色涂抹的關(guān)系問題，另外優(yōu)化式擴(kuò)展往往對(duì)涂抹的數(shù)量與位置敏感，特別在物體交界區(qū)域，需要用戶添加大量涂抹，增加了用戶負(fù)擔(dān)。盡管一些后續(xù)算法通過加入邊緣信息[10?11]、非局部均值信息[12]來(lái)提高算法的魯棒性，但改進(jìn)質(zhì)量依賴于檢測(cè)精度。本文作者首先將優(yōu)化式著色納入同一個(gè)框架內(nèi)，并對(duì)其著色結(jié)果與顏色涂抹的關(guān)系做定量分析，提出一種靈活性更高的算法。

1 問題描述

首先提出一種優(yōu)化式著色的框架，并將圖像著色問題轉(zhuǎn)化成電路節(jié)點(diǎn)電位的求解，在此基礎(chǔ)上分析 2種優(yōu)化著色算法的等價(jià)性。

1.1 優(yōu)化式著色方法的框架及電路法求解

黑白圖像只記錄了彩色原始場(chǎng)景的亮度信息，圖像著色本質(zhì)上是把圖像中像素的灰度用三維顏色矢量取代，意味著相同的亮度允許映射為不同的顏色，所以著色是一個(gè)“病態(tài)”問題，不具有唯一解。為了降低這種映射的不確定性應(yīng)引入顏色約束，顏色遷移型著色的約束體現(xiàn)在選擇參考圖像，而擴(kuò)展型則表現(xiàn)為在圖像上添加顏色涂抹。

除顏色約束外，圖像的著色效果應(yīng)盡量悅目自然，為此要求色度變化與灰度變化盡量一致：均勻灰度區(qū)域的色度變化小，而邊緣等灰度劇烈變化的區(qū)域色度變化的可能性大。

為了避免著色過程中顏色與灰度間產(chǎn)生混淆，應(yīng)將顏色與灰度分開，圖像著色常用 YUV顏色空間，其中Y為灰度通道，而U和V為兩色度通道，而著色的任務(wù)就是結(jié)合圖像Y通道信息，把涂抹像素上的U，V信息自動(dòng)擴(kuò)散到整幅圖像，所以最佳的著色情況應(yīng)該滿足一致性要求，即灰度越相似的相鄰像素，其色度(包括U,V)差異應(yīng)該越小。由于U與V相互獨(dú)立，且計(jì)算方法相同，因而可統(tǒng)一用色度C表示。通過設(shè)計(jì)以下Gibbs能量函數(shù)J(C)，求解C的最佳值分布可以表示為最小化該能量函數(shù)的過程，

其中，等式右邊第1項(xiàng)為光滑項(xiàng)，衡量與一致性假設(shè)的差異；第2項(xiàng)為數(shù)據(jù)約束項(xiàng)，λ為約束系數(shù)，反映涂抹像素最終的色度與初始色度的差異；n為像素總數(shù)，S為涂抹像素集合，b表示圖像初始色度；N(i)代表像素i的鄰居像素集合，即像素i周圍一圈8個(gè)像素(i在圖像邊緣時(shí)相鄰像素會(huì)減少), j為該集合中的一個(gè)像素；W為相似度矩陣，元素W(i, j)用來(lái)衡量像素i和j間相似程度，只有當(dāng)i和j位置為近鄰時(shí)，W(i, j)才可能為非0值，計(jì)算方法采用用寬度為σ的高斯核權(quán)值函數(shù)

其中：Y(i)表示像素i的灰度。由于W(i, j)=W(j, i)，所以W為對(duì)稱陣。

若要求涂抹像素在著色過程中盡量保持不變，可調(diào)整約束系數(shù)λ→∞，整理后得到

其中：In為n維單位矩陣。

下面將上述著色問題轉(zhuǎn)化成電路的電位求解。

根據(jù)用戶添加的涂抹以及圖像像素間關(guān)系組建一個(gè)外加直流電源的電阻網(wǎng)絡(luò)：以像素拓?fù)湮恢米鳛楣?jié)點(diǎn)，任意兩相鄰節(jié)點(diǎn)i和j間電阻等于像素間相似度的倒數(shù)，即涂抹像素的初始色度作為外接直流電源的電壓；而電源內(nèi)阻RS設(shè)為1/(2λ)，如圖1所示。

圖1 優(yōu)化式著色的等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit of optimization-based colorization

該電路總功耗P由電阻網(wǎng)絡(luò)功耗與電源功耗2部分組成，

其中，v(i)為節(jié)點(diǎn)i電位。

由于電路中所有節(jié)點(diǎn)的電位分布滿足最小能耗原理，故電位分布可以表示為最小化能耗的過程：

與式(1)一致，它表明電路中任意節(jié)點(diǎn)的電位與其對(duì)應(yīng)的像素的色度相等，即要獲得圖像像素的色度可通過轉(zhuǎn)化為構(gòu)建相應(yīng)電路求解其節(jié)點(diǎn)電位來(lái)完成，所以稱該電路為優(yōu)化式著色的等效電路。

另外，約束系數(shù)λ通過改變電源內(nèi)阻影響各節(jié)點(diǎn)電位。λ越大，電源內(nèi)阻越小，而當(dāng)λ→∞，內(nèi)阻短路，外接電源等效為理想電源，此時(shí)涂抹像素電位等于外接電源電位，對(duì)應(yīng)于涂抹像素在著色過程中保持不變的情形。

1.2 新框架與Levin著色算法、半監(jiān)督學(xué)習(xí)著色算法的關(guān)系

Levin著色算法的基本假定為每個(gè)未涂抹像素的顏色均可以用周圍像素的加權(quán)平均和表示，即

而考察上述電路，根據(jù)基爾霍夫電流定律，電路中經(jīng)過任意節(jié)點(diǎn)的電流總和為0 A，結(jié)合歐姆定律，將任意節(jié)點(diǎn)i及相鄰節(jié)點(diǎn)的電位表述為

它表明任意節(jié)點(diǎn)電位可表示成相鄰節(jié)點(diǎn)的加權(quán)平均，說明任意像素的色度均可以表示成鄰域像素顏色的加權(quán)平均，這正是Levin算法的假定，說明新算法與Levin算法等價(jià)。

Liu等[9]把著色問題轉(zhuǎn)化為機(jī)器學(xué)習(xí)中的半監(jiān)督學(xué)習(xí)，將C的最佳分布表示為最小化以下能量函數(shù)的過程。

其中，μ→0。

與式(1)相比可知：Liu的算法結(jié)果與式(1)在λ→∞的情況對(duì)應(yīng)，同時(shí)也表明半監(jiān)督學(xué)習(xí)法著色算法與λ→∞時(shí)的Levin算法等價(jià)。

2 基于首達(dá)概率的混色式著色算法

2.1 優(yōu)化式著色算法的混色特性

優(yōu)化式著色通過求解約束優(yōu)化問題實(shí)現(xiàn)著色，其結(jié)果與顏色涂抹的關(guān)系不直觀，相反，混色式將圖像著色結(jié)果看作不同顏色的涂抹在每個(gè)像素上的混色，而且對(duì)混色權(quán)值賦予明確的意義。首先引入混色和首達(dá)概率的概念，然后利用等效電路證明優(yōu)化式著色算法也具有混色特性。

定義 1 混色指圖像的像素色度均可以表示成涂抹色度的加權(quán)平均和，且權(quán)值非負(fù)。

其中：x必須為非負(fù)的行歸一化矩陣。

定義 2 首達(dá)概率指從一個(gè)像素出發(fā)隨機(jī)游走，首次遇到的涂抹像素屬于某種顏色涂抹的概率。

若定義任意像素i首達(dá)其中任意一種涂抹r的概率為p(i,r)，則p(i,r)具有以下性質(zhì)：

首達(dá)概率可以通過下列電路求解[13]：若定義等效電路，其電阻網(wǎng)絡(luò)與圖1一致，將任意一個(gè)電源——如第r種涂抹電源改為單位電源，且使其單獨(dú)作用(其他涂抹電源接地)，用y(i,r)表示此時(shí)在指定像素節(jié)點(diǎn)i的電位，則有 p(i,r) =y(i,r)。

結(jié)合上述定義討論優(yōu)化型著色的混色特性。

定理 1 優(yōu)化型著色也是一種混色式著色方法，且每種顏色涂抹所占的混色權(quán)重等于像素至該種涂抹的首達(dá)概率。

證明 由于等效電路為電阻網(wǎng)絡(luò)組成的線性電路，根據(jù)疊加原理，所有涂抹電源同時(shí)作用時(shí)在一電路節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的電位應(yīng)該等于每種涂抹電源單獨(dú)作用所得電位的代數(shù)和。取vr(i)表示第r種涂抹電源單獨(dú)作用時(shí)在節(jié)點(diǎn)i產(chǎn)生的的電位，則

這種混色稱為概率式混色。利用式(3)可以找出首達(dá)概率的計(jì)算方法。由于初始顏色b可表示為涂抹的混色形式，b=Mc，其中 M 為n×m矩陣，其元素M(i, j)為

2.2 物體間過渡帶寬度調(diào)節(jié)

在自然圖像中，物體間出現(xiàn)顏色過渡帶主要有幾個(gè)原因：運(yùn)動(dòng)模糊效應(yīng)、光學(xué)模糊效應(yīng)以及離散化偽影等，這些效應(yīng)所形成的過渡帶較窄。但擴(kuò)展型著色在涂抹較少以及距離物體邊界較遠(yuǎn)時(shí)，難以區(qū)分邊界，容易出現(xiàn)過寬的過渡帶。以最短路徑為例，當(dāng)像素至物體內(nèi)涂抹距離過遠(yuǎn)時(shí)，它難以區(qū)分2種灰度差的累加——經(jīng)過本物體內(nèi)長(zhǎng)距離的低灰度區(qū)和穿過短距離的邊界高灰度區(qū)，從而難以識(shí)別物體邊界。同樣，概率法混色的權(quán)重也受制于2個(gè)因素：距離和單步轉(zhuǎn)移概率，如果物體內(nèi)涂抹距離過遠(yuǎn)也會(huì)大大降低像素至該類標(biāo)志的首達(dá)概率，從而降低該涂抹對(duì)應(yīng)的混色權(quán)重。傳統(tǒng)的解決方法為由用戶在交界處附近兩邊設(shè)置大量涂抹，既費(fèi)工也費(fèi)時(shí)，而下面直接利用調(diào)節(jié)混色權(quán)重來(lái)控制過渡帶寬度，從而提高物體邊緣處的著色質(zhì)量。

為了減弱空間距離對(duì)識(shí)別物體邊界的影響，引入歸一化指數(shù)函數(shù)，

其中：B為混色因子，當(dāng)B＞1時(shí)可以增加本物體的涂抹的混色比重。該函數(shù)在文獻(xiàn)[5]以及摳圖中都有應(yīng)用[14?15]。

以 2種涂抹(m=2)為例給出權(quán)值映射的結(jié)果見圖2。由圖2可見，x相同時(shí)，隨著B增大，新權(quán)值xB趨近于0或1，過渡速度加快，過渡帶變窄。

圖2 權(quán)值映射關(guān)系Fig.2 Corresponding relation of weight mapping

2.3 算法描述

利用優(yōu)化式擴(kuò)展的混色特性以及混色式擴(kuò)展在邊界過渡帶寬設(shè)置的靈活性，將優(yōu)化式著色算法改造成一種混色算法。算法步驟如下：

(1) 添加顏色標(biāo)記。用戶在圖像的均勻顏色區(qū)域添加少量的顏色涂抹。

(2) 轉(zhuǎn)換顏色空間。將標(biāo)示后圖像轉(zhuǎn)換成YUV顏色空間，以便于將彩色信息與灰度信息分開(也可以采用其他顏色空間如 YIQ，Lab，只要能將灰度與色彩分開即可)。

(3) 建立相似度矩陣。

(4) 采用式(10)求出混色權(quán)重。

(5) 權(quán)值映射混色。先采用式(15)映射，然后用公式 C = xBc混色。

(6) 輸出圖像整合。將傳播獲得的 U，V通道值與圖像的灰度結(jié)合轉(zhuǎn)換回 RGB空間，從而整合成最終的改色圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)據(jù)分析

擴(kuò)展式著色的質(zhì)量主要取決于2個(gè)因素：物體間顏色區(qū)分和物體內(nèi)顏色漸變的均勻性。下面通過實(shí)驗(yàn)對(duì)新算法與Levin算法、最短路徑混色算法進(jìn)行比較。鑒于著色的結(jié)果與各顏色涂抹所占的混色比例具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，算法的著色質(zhì)量可以通過各顏色在圖像中的混色比例分布反映，為此通過歸一化灰度圖來(lái)表示混色比例分布：圖中像素的灰度越大表示指定顏色所占的混色比例越大，而其他顏色所占比例越小。黑色對(duì)應(yīng)于 0，表示像素不含該種顏色，而白色對(duì)應(yīng)于混色權(quán)重為100%，表示完全由該顏色組成。

著色算法對(duì)物體區(qū)分的效果比較如圖3所示。用戶希望將灰色波浪帶添加紅色，其他部分為黃色。添加的涂抹見圖3 (a)，而圖3 (b)～(d)為新算法取不同B值時(shí)獲得的黃色混色權(quán)重圖。B=1對(duì)應(yīng)于Levin算法和基于半監(jiān)督學(xué)習(xí)的著色算法，從混色權(quán)重分布反映出著色圖像中存在黃色擴(kuò)散嚴(yán)重不足和紅色發(fā)散的現(xiàn)象，原因在于該算法在物體交界處的區(qū)隔性不太強(qiáng)，對(duì)涂抹位置與數(shù)量敏感，導(dǎo)致在距涂抹位置較遠(yuǎn)處著色質(zhì)量不高。但隨著B的增大，邊界的過渡帶變窄，著色效果得到改善?？梢钥吹剑寒?dāng)B=3時(shí)，2種顏色已經(jīng)可以很好地區(qū)隔。

圖3 混色因子B對(duì)著色的影響Fig.3 Influence of factor B on visual result

圖4 2種混色法在平緩漸變區(qū)的著色Fig.4 Colorization on gentle transition area

圖4所示為2種混色法在平緩漸變區(qū)的著色效果比例。為了形成紅花綠葉、花蕊至花瓣顏色漸變的著色結(jié)果，用戶添加3種涂抹，如圖4(a)所示。從圖4可以看到，2種混色方法對(duì)花與葉之間都區(qū)隔得很好，但在花瓣內(nèi)形成顏色平緩變化的區(qū)域著色效果差異較大。采用最短路徑的著色效果均勻度較差，原因在于最短路徑法的混色權(quán)重只考慮最短路徑，相當(dāng)于在等效電路中找出一條最小串聯(lián)電阻的支路進(jìn)行信息傳播，由于只結(jié)合串聯(lián)特性，若區(qū)域內(nèi)灰度梯度較小，光影的細(xì)小變化也會(huì)造成支路選擇的很大不同，使得著色結(jié)果對(duì)光照比較敏感；而概率混色算法在計(jì)算最短路徑時(shí)兼顧了流量，具有串并聯(lián)特性，與最短路徑法相比，可以獲得更好的顏色漸變特性。

4 結(jié)論

(1) 提出一種一般性優(yōu)化著色框架后建立其等效電路，從而把著色問題轉(zhuǎn)化成電位的求解問題。在此基礎(chǔ)上利用基爾霍夫定律證明了Levin基于加權(quán)平均和的優(yōu)化算法與基于半監(jiān)督學(xué)習(xí)的著色算法等價(jià)。

(2) 采用齊次定理、疊加原理等論證了優(yōu)化著色算法本質(zhì)上也是一種混色算法，圖像中每個(gè)像素的顏色由各初始顏色涂抹按比例權(quán)重混色而成，其中各顏色的混色權(quán)重等于像素隨機(jī)游走首先到達(dá)該顏色涂抹的概率。

(3) 設(shè)計(jì)了一種兼具優(yōu)化、混色法優(yōu)點(diǎn)的著色算法，既能在平緩過渡區(qū)域獲得均勻的著色效果，也可以通過控制過渡帶寬加強(qiáng)算法對(duì)涂抹數(shù)量與位置的魯棒性。

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(編輯 趙俊)

Optimization-based colorization algorithms based on circuit principle

ZHANG Kewei1,2, SHEN Quntai1

(1. College of Information Science & Engineering, Central South University, Changsha 410008, China;2. College of Electrical & Information Engineering, Hunan institute of Engineering, Xiangtan 411101, China)

A general frame for colorization based on optimization was put forward, and followed by its equivalent electrical circuit which formulates colorization process as evaluating potential of all nodes. An improved algorithm which is capable of adjusting width of transition area in between two objectives was designed. And then the colorization feature was compared with that of existing chrominance blending methods. The results indicate that it has been proved that the two existing methods are equivalent according to Kirchhoff’s current law, and the optimization-based colorization can be also viewed as that of chrominance blending where every blending weight of each pixel equals this pixel’s first-reach probability in its random walk to relevant kind of scribble. This proposed approach has provides good quality in both distinguishing from two objects and preserving homogeneous gradient colors inside.

colorization; circuit principle; chrominance blending

TP391.41

A

1672?7207(2013)03?1043?06

2012?02?15；

2012?05?21

湖南省教育廳科研項(xiàng)目(08c220)

張可為(1966?)，男，湖南益陽(yáng)人，博士研究生，講師，從事圖像處理及智能控制研究；電話：13187322670；E-mail: d10zhangkw@yahoo.com.cn