MQ函數(shù)在偏微分方程中的應(yīng)用

摘要討論了用徑向基multiquadric（MQ）函數(shù)（r）=r2+c2作為基函數(shù)解一類偏微分方程，給出方法步驟，并通過一個(gè)數(shù)值算例，說明這個(gè)方法是可行的．針對數(shù)值算例，比較了在相同步長時(shí)，用徑向基函數(shù)在不同的形狀參數(shù)時(shí)絕對誤差的差異，說明微分方程數(shù)值解的精確程度與徑向基函數(shù)形狀參數(shù)的取值密切相關(guān)，得出節(jié)點(diǎn)越密時(shí)，數(shù)值解的精度不一定越高．同時(shí)也論證了在插值過程中所得到的矩陣方程解的存在唯一性．

關(guān)鍵詞MQ函數(shù)；數(shù)值解；偏微分方程

中圖分類號O241.82 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A 文章編號10002537（2012）05001505

許多物理現(xiàn)象和工程技術(shù)問題都可以歸結(jié)為一個(gè)微分方程.大多數(shù)情況下，偏微分方程的解析解是不容易得到的，所以人們致力于尋找微分方程的數(shù)值解.微分方程的數(shù)值逼近可以通過Euler法，RungeKutta法和數(shù)值積分等方法得到［12］.

近些年來，人們的主要目標(biāo)是尋找各種各樣的無網(wǎng)格方法，利用徑向基函數(shù)（RBF）解微分方程是受到普遍關(guān)注的無網(wǎng)格方法，人們已經(jīng)用徑向基函數(shù)配置法解線性和非線性的偏微分方程［38］.1971年，Hardy［9］總結(jié)評論了關(guān)于multiquadric（MQ）函數(shù)的各種應(yīng)用，特別是在地理，遙感，信號系統(tǒng)等方面的成功應(yīng)用.自從Kansa［1011］用徑向基函數(shù)解偏微分方程（PDE），并且得到非常精確的解后，用徑向基函數(shù)解偏分方程引起越來越多的關(guān)注，Madych和Nelson［1214］證實(shí)了MQ插值的收斂性.

用徑向基函數(shù)配置法解微分方程的過程中，會(huì)得到一個(gè)線性方程組，只要此線性方程組的解存在唯一，就可以得到微分方程的數(shù)值解.所以驗(yàn)證線性方程組解的存在唯一性，也是徑向基函數(shù)配置法解微分方程的重要部分.去年，本文作者已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)選用正定徑向基函數(shù)時(shí)，線性方程組的解是存在唯一的［15］.但是對于非正定徑向基函數(shù)的情形，還沒有得到證明.

由表1可知，選取的形狀參數(shù)不同，所得到的最大絕對誤差有很大差異，說明偏微分方程數(shù)值解的精確程度與形狀參數(shù)的選取有密切的關(guān)系.從表1可以看出，當(dāng)形狀參數(shù)c=5時(shí)，所得到的最大絕對誤差達(dá)到10－5，而選取形狀參數(shù)c=0.5的時(shí)候，最大絕對誤差是10－2，并且c=2時(shí)的誤差明顯優(yōu)于c=0.5，但是，這并不能說明，當(dāng)形狀參數(shù)越大，所得到的誤差越好，比如，c=4時(shí)的誤差要優(yōu)于c=5.

一般來說，節(jié)點(diǎn)取得越細(xì)，劃分得越密，所得到的數(shù)值解精度越高，但實(shí)際結(jié)果并非如此，本例取N=57，步長h=π8，選取形狀參數(shù)c=0.5，數(shù)值解與精確解比較，結(jié)果見表2，通過數(shù)值運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，只有當(dāng)形狀參數(shù)在0.1到0.9之間時(shí)，最大絕對誤差可以達(dá)到10－2或10－3，在其余范圍取值時(shí)，絕對誤差甚至達(dá)到103.3結(jié)論

本文中利用MQ函數(shù)解偏微分方程所得到的解與精確解比較，有很小的絕對誤差，所以在插值點(diǎn)得到令人滿意的數(shù)值解.通過選擇相同的步長及不同的形狀參數(shù)，得到不同的絕對誤差，所以所得數(shù)值解與徑向基函數(shù)形狀參數(shù)的選取密切相關(guān).那么，如何選取形狀參數(shù)？一般地，通過2個(gè)形狀參數(shù)，對所得數(shù)值解進(jìn)行比較，逐步選取合適的形狀參數(shù)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)逐步計(jì)算，這種方法并不是很好，甚至有時(shí)候不能得到滿意的數(shù)值解，所以徑向基函數(shù)的形狀參數(shù)如何選取，還需進(jìn)一步研究.

參考文獻(xiàn)：

［1］胡建偉，湯懷民.微分方程數(shù)值方法［M］.天津：科學(xué)出版社，1999.

［2］張池平.數(shù)值方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

［3］KHATTAKAJ，LSLAMSU．AcomparativestudyofnumericalsolutionsofaclassofKdVequation［J］．ApplMathComput，2008，199（2）：425434．

［4］LSLAMSU，HAQS，UDDINM．Ameshfreeinterpolationmethodforthenumericalsolutionofthecouplednonlinearpartialdifferentialequations［J］．EngAnalBoundElem，2009，33（3）：399409．

［5］CHENR，WUZM．Solvingpartialdifferentialequationbyusingmultiquadricquasiinterpolation［J］．ApplMathComput，2007，186（2）：15021510．

［6］KHATTAKAJ，TIRMIZISIA，LSAMSU．Applicationofmeshfreecollocationmethodtoaclassofnonlinearpartialdifferentialequations［J］．EngAnalBoundElem，2009，33（5）：661667．

［7］秦伶俐，黃文彬，周喆．徑向基函數(shù)在無單元方法中的應(yīng)用［J］．中國農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，9（6）：8084．

［8］錢向東．基于緊支徑向基函數(shù)的配點(diǎn)型無網(wǎng)格方法［J］．河海大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，29（1）：9698．

［9］HARDYRL.Theoryandapplicationsofthemultiquadricbiharmonicmethod：20yearsofdiscovery19681988［J］.ComputMathAppl，1990，19（8/9）：163208.

［10］KANSAEJ．Multiquadrics：ascarrereddataapproximationschemewithapplicationtocomputationalfluiddynamics：surfaceapproximationsandpartialderivativeestimates［J］．ComputMathApplic，1990，19（8/9）：127154．

［11］KANSAEJ．Multiquadrics：ascarrereddataapproximationschemewithapplicationtocomputationalfluiddynamics：parabolic，andellipticpartialdifferentialequations［J］．ComputMathApplic，1990，19（8/9）：146161．

［12］MADYCHWR，NELSONSA．Miscellaneouserrorboundsformultiquadicandrelatedinterpolators［J］．ComputMathAppl，1992，24（12）：121138．

［13］MADYCHWR，NELSONSA．Multivariateinterpolationandconditionallypositivedefinitefunctions［J］．MathComput，1990，54（189）：211230．

［14］MADYCHWR，NELSONSA．Miscellaneouserrorboundsformultiquadicandrelatedinterpolators［J］．ComputMathAppl，1992，24（12）：121138．

［15］張穎超．用徑向基函數(shù)解偏微分方程［J］．湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34（5）：16．

［16］BEATSONRK，POWELLMJD．Univariatemultiquadricapproximation：quasiinterpolationtoscattereddata［J］．ConstrApprox，1992，3（8）：275288．