二階脈沖微分方程周期正解的存在性

張曉穎

(長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022)

格林函數(shù)，則x(t)是脈沖微分方程(1)的解。

0 引言

本文論述下面具有脈沖的周期邊值問(wèn)題的正解的存在性

假設(shè)J=［0，T］，0 ＜ t1＜ t2＜ … ＜ tp＜ T是給定的，Ik∈C(J，R)，其中表示x'(t)在t=tk的右極限 (左極限)。

假設(shè)f關(guān)于變量t是T-周期函數(shù)并且在上［0，T］×R滿(mǎn)足Cara the odory條件，也就是說(shuō)(i)對(duì)每個(gè)x∈R，函數(shù)f(x)在［0，T］上是可測(cè)的;(ii)對(duì)幾乎所有的K?R，存在hk∈L1［0，T］使得對(duì)所有x∈K和幾乎處處的 t∈［0，T］，都有 |f(t，x)| ≤hk(t)成立。

文獻(xiàn)［1］對(duì)這種一階脈沖微分方程的的周期性邊值問(wèn)題進(jìn)行了研究。在本文中，我們將致力于研究二階脈沖微分方程的解的存在性問(wèn)題。結(jié)合文獻(xiàn)［1，2］的理論，我們將［2］的結(jié)果進(jìn)行了推廣。

1 主要結(jié)果

引理1:如果 a≤0，對(duì)幾乎所有的 t∈［0，T］，都有當(dāng)(t，s)∈［0，T］×［0，T］時(shí) G(t，s)＜ 0成立。

若a≥0，對(duì)于每一個(gè)t∈［0，T］，將用到下面最佳索伯列夫常數(shù)

引理2:假設(shè)a≥0對(duì)幾乎所有的t∈［0，T］以及1≤p≤∞，都有a∈Lp(0，T)成立。如果‖a‖p?K(2p)* ，則 G(t，s)?0 對(duì)所有的(t，s)∈［0，T］×［0，T］成立。

讓我們定義函數(shù)集合Λ-={a∈L1(0，T):a≤0}，對(duì)幾乎所有的t∈［0，T］成立。

Λ+={a∈L1(0，T):a≥0，對(duì)某些1≤p≤∞，有‖a‖p＜ K(2p)*}，對(duì)幾乎所有的t∈［0，T］。綜上，容易看到，如果 M=max0≤s，t≤TG(t，s)且 m=min0≤s，t≤TG(t，s)，則當(dāng) a ∈ Λ+時(shí)，M ＞ m ＞ 0。當(dāng) a ∈ Λ-時(shí)，m＜M＜0。

為了定義(1)的解，我們將考慮下面的空間 J'=J{t1，t2…，tn}，X=PC'(J，R)=

定義1:如果一個(gè)函數(shù)x∈PC'(J，R)∩C2(J'，R)是(1)的解，則它滿(mǎn)足微分方程x″+a(t)x=f(t，x)，并且在 J{tk}，k=1，2，…，p 上，對(duì)每個(gè) k=1，2，…，p，函數(shù) x(t)滿(mǎn)足條件

格林函數(shù)，則x(t)是脈沖微分方程(1)的解。

引理4:令X是巴拿赫空間，K是X中的錐.假設(shè)Ω1，Ω2是X中滿(mǎn)足0∈Ω1?Ω2的兩個(gè)開(kāi)集。令Φ:K∩)→K是一個(gè)絕對(duì)連續(xù)的映射，滿(mǎn)足(i)對(duì)所有的x∈K∩?Ω1，有‖Φx‖≤‖x‖，(ii)存在Ψ∈K{0}使得當(dāng)x∈K∩?Ω2且λ ＞0時(shí)，x≠Φx+λΨ.則Φ在K∩()上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

2 結(jié)語(yǔ)

現(xiàn)在，我們將考慮以下的周期邊值問(wèn)題

其中f∈Car(［0，T］× R，R)滿(mǎn)足對(duì)所有的x∈R+和t∈［0，T］，有a(t)f(t，x)≥0 且 a(t)Ik(x)≥0，R+= ［0，∞)。

從第1節(jié)的研究，我們知道，如果a∈Λ+，則M ＞m ＞0，如果a∈Λ-則 m ＜M ＜0，其中m和 M是滿(mǎn)足x″+a(t)x=0周期邊值條件格林函數(shù)的最小值和最大值。本節(jié)中，我們將利用引理4研究系統(tǒng)(3)正解的存在性。

定理1:假設(shè) a∈Λ+，f(t，x)≥0且Ik(x)≥0對(duì)所有和幾乎所有的R成立。則問(wèn)題(3)有至少一個(gè)正解。如果下面兩個(gè)條件中的一個(gè)成立

可以證明K是PC［0，T］中的一個(gè)錐。

定義一個(gè)映射K如下:

明顯的，Φ:K→X是絕對(duì)連續(xù)?，F(xiàn)在證明Φ(K)?K。

x(s))d s+∑pk=1IK(x(tK))］。

f(t，x)≥ (1- ε)fra(t)x，Ik(x)≥ (1- ε)Ir(k)x，k=1，2，…，p，故有Ψ∈K。現(xiàn)證明

若上式不成立，則存在x0∈K∩?Ωr，且λ0＞0使得x0=Φx0+λ0Ψ。

因?yàn)閤0∈K∩?Ωr，則，則對(duì)所有 0 ≤ t≤ T，有

這表明μ＞μ+λ0，矛盾。因此 (4)成立。

因此有，‖Φx‖≤‖x‖。

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