指數(shù)分布具有耐抗性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)①

尹菊芳， 莊海軍， 高 敏

(1.吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)，吉林 長春130022;2。公主嶺市第三中學(xué)，吉林 公主嶺136100;3.吉林師范大學(xué)，吉林 四平136000)

指數(shù)分布是壽命試驗(yàn)和可靠性理論中最常用的分布，相關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷理論也一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)家關(guān)心的問題(參見文獻(xiàn)［1 ～3］). 以往文獻(xiàn)中得到的關(guān)于指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)量對于數(shù)據(jù)的局部不良行為反應(yīng)比較敏感，也就是說不具有耐抗性. 具有耐抗性的統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)部分?jǐn)?shù)據(jù)改變，即使這一部分?jǐn)?shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)差別很大，結(jié)果也不會有太大的改變.耐抗方法重視數(shù)據(jù)的主體部分，而不重視數(shù)據(jù)當(dāng)中的離群值. 分位數(shù)是耐抗統(tǒng)計(jì)量，但樣本均值和樣本方差卻都不是. 眾所周知，再好的數(shù)據(jù)也難免有一小部分?jǐn)?shù)據(jù)存在一定的錯誤或重大偏差，因而如果想要防御這些數(shù)據(jù)給我們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果帶來較大的負(fù)面影響，我們必須關(guān)注耐抗性. 文獻(xiàn)［4］討論了一類特殊均勻分布具有耐抗性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)問題.本文進(jìn)一步討論指數(shù)分布具有耐抗性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)問題，利用樣本的四分位矩這樣具有耐抗性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量，對指數(shù)分布的參數(shù)做出估計(jì). 與此同時(shí)，我們也討論了估計(jì)量的優(yōu)良性.

定義1 設(shè)X，X，…X 是來自某總體的簡單隨機(jī)樣本，X(1)≤X(2)≤…≤X(n)是相應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量，定義樣本中位數(shù)的深度，四分?jǐn)?shù)的深度，其中［x］表示不超過x 的最大整數(shù). 在四分?jǐn)?shù)的深度k 的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步定義樣本下四分?jǐn)?shù)樣本上四分?jǐn)?shù)以及樣本四分位矩dF= FU- FL

引理1［5］若n，則數(shù)列{an}存在極限，其極限c 為尤拉常數(shù)，c = 0.577216….

證明: (1)首先我們求總體的四分位矩:

其次求樣本四分位矩(分n = 4m，n = 4m +1，n = 4m +2，n = 4m +3 四種情況討論:首先討論n= 4m 情形:中位數(shù)深度，四分?jǐn)?shù)深度k，上四分?jǐn)?shù)，下四分 數(shù)用樣本的四分位矩估計(jì)總體的四分位矩得參數(shù)θ 的估計(jì)同理可得，當(dāng)n = 4m +1 時(shí)，當(dāng)n = 4m +2 時(shí)，當(dāng)n = 4m+3 時(shí)

由文獻(xiàn)［6］定理2 可知E(X(k)) =.首先考慮n = 4m 情形. 注意到

令

同理，當(dāng)n = 4m +1，n = 4m +2 以及n = 4m +3 時(shí)，= θ 因此是θ 的漸近無偏估計(jì).

［1］ 趙海兵，程依明. 指數(shù)分布場合下無失效數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析［J］. 應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2004，20(1):59 -65.

［2］ 蔣福坤，劉正春. 指數(shù)分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)［J］.嘉興學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，16(3):12 -14.

［3］ 蔣福坤，劉正春. 兩指數(shù)分布總體參數(shù)比的區(qū)間估計(jì)［J］. 浙江教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，(1):46 -50.

［4］ 趙志文，徐江.關(guān)于一類特殊均勻分布的具有耐抗性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，(4):11 -12.

［5］ 劉玉璉，傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義［M］. 北京:高等教育出版社，1995.

［6］ 周莉，張維華.利用次序統(tǒng)計(jì)量估計(jì)指數(shù)分布的均值和方差［J］. 錦州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，21(3):69 -70.