具有階段結(jié)構(gòu)且發(fā)生率為雙線性的SIR傳染病模型

張慧敏

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

0 引言

在以往研究的大部分傳染病模型[1-6]中，種群無(wú)論其年齡大小都假設(shè)對(duì)疾病有相同的傳染力、免疫力、恢復(fù)力，然而在現(xiàn)實(shí)生活中，由于活動(dòng)范圍與傳播途徑等因素的影響，許多傳染病例如白喉等一般只在成年個(gè)體中傳播，而幼年個(gè)體不易被感染，因此建立具有階段結(jié)構(gòu)的傳染病模型具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義，該方面研究也有了豐碩的結(jié)果[7-9].

本文建立了具有兩個(gè)階段且發(fā)生率為雙線性的SIR傳染病模型.為了方便討論，假設(shè)只有成年個(gè)體感染此病，而幼年種群個(gè)體X不感染，且將成年個(gè)體分為易感者S，染病者I和恢復(fù)者R三部分，只考慮成年易感者具有生育能力，成年染病者會(huì)因病死亡，但恢復(fù)后可獲得終生免疫能力，且假設(shè)種群的成熟期比此種傳染病平均染病周期要長(zhǎng)，設(shè)出生率為α,幼年個(gè)體夭折比率為γ,β為傳染率,d1、d2為死亡率，τ為成熟期，其數(shù)學(xué)模型為：

初始條件為：

(2)

1 解的非負(fù)性和有界性

定理1 當(dāng)t>0時(shí),系統(tǒng)(1)滿足初值X(t)>0,S(t)>0,I(0)>0,R(0)>0,t∈[-τ,0]的解是正的.

作比較方程

(3)

因方程(3)的解可以表示為

=0.

由(3)可知u(t)是嚴(yán)格減的，所以在t∈(0,τ]，有u(t)>u(τ)=0.由比較定理知，當(dāng)0≤t≤τ時(shí)，有X(t)>u(t)>0.類似文獻(xiàn)[10]的方法，可以證明，當(dāng)nτ0.故當(dāng)t>0時(shí)，X(t)>0.

由系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程、第四個(gè)方程知

定理2 滿足初始條件(2)的系統(tǒng)(1)的正解是最終有界的.

證明：由前面的討論可知只需考慮

由系統(tǒng)(1)第二個(gè)方程知

由比較定理及推論,存在T及ε>0，當(dāng)t>T時(shí)，

作V(t)=X(t)+S(t)+I(t)+R(t),

V(t)沿系統(tǒng)(1)求導(dǎo)數(shù)得

≤αS(t)-γX(t)-d2I(t)-d1R(t)

≤αS(t)-μX(t)-μS(t)+μS(t)-μI(t)-μR(t)

≤(α+μ)S(t)-μV

(4)

其中，μ=min{γ,d1,d2}.

由(4)可得當(dāng)t>T時(shí)，

t→+∞

又因?yàn)閄(t)>0,S(t)>0,I(t)>0,R(t)>0,

故X,S,I,R最終有界，定理證畢.

2 系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

(5)

由此方程組可知系統(tǒng)存在兩個(gè)邊界平衡點(diǎn)

當(dāng)αβe-γτ>d1(d2+k)時(shí)，存在唯一正平衡點(diǎn)E2(X*,S*,I*,R*)，

易知E0是不穩(wěn)定的，下面分析E1、E2的穩(wěn)定性.

2.1 系統(tǒng)邊界平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性分析

J(E1)=

特征方程為

|J(E1)|=(λ+γ)[λ-αe-γτ(e-λτ-2)].

即

(6)

顯然λ=-γ,λ=-d1是負(fù)根，且λ=αe-γ τ(e-λτ-2)的根均具有負(fù)實(shí)部，否則

Reλ=αe-γτ[e-γ Reλcos(τlmλ)-2]<0

2.2 系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

作代換X0=X-X*,S0=S-S*,I0=I-I*,R0=R-R*仍用X,S,I,R記X0,S0,I0,R0，得系統(tǒng)(1)在E2處的Jacobian特征矩陣為

J(E2)=

特征方程為

|J(E2)|= (λ+γ)[(λ+2d1S*+βI*-αe-(λ+γ)τ)]

·(λ-βS*+d2+k)(λ+d1)+β2S*I*(λ+d1)=0

即

|J(E2)|=(λ+γ)(λ+d1)[λ2+(2d1S*+β(I*-S*)+d2+k)λ

-αe-γτe-λτλ+βI*(d2+k)

+(2d1S*-αe-(λ+γ)τ)(-βS*+d2+k)]

(7)

顯然λ=-γ,λ=-d1是負(fù)根，對(duì)于方程

λ2+(2d1S*+β(I*-S*)+d2+k)λ

-αe-γτe-λ τλ+βI*(d2+k)

+(2d1S*-αe-(λ+γ)τ)(-βS*+d2+k)=0

(8)

因?yàn)?2d1S*-αe-(λ+γ)τ)(-βS*+d2+k)=0,

記m=2d1S*+β(I*-S*)+d2+k

n=-αe-γτ<0

p=βI*(d2+k)

則(8)可簡(jiǎn)化為

λ2+mλ+ne-λ τ+p=0

(9)

記λ=iw,w>0是(9)的一個(gè)純虛根，代入(9)分離實(shí)部與虛部得

p-w2+nwsin(wτ)=0,

mw+nwcos(wτ)=0,

消去sin(wτ)及cos(wτ)得關(guān)于w的方程

w4+(m2-n2-2p)w2+p2=0

(10)

其根的判別式

Δ=(m2-n2-2p)2-4p2=(n2-m2)(n2+4p-m2)

由(8)知n2-m2<0，所以當(dāng)n2+4p-m2>0時(shí)Δ<0，方程(10)無(wú)實(shí)根；當(dāng)n2+4p-m2≤0時(shí)，Δ≥0，此時(shí)有n2+2p-m2<0，于是有

矛盾，故方程(10)無(wú)實(shí)根.

當(dāng)τ=0時(shí),方程(9)變?yōu)棣?+(m-α)λ+p=0，當(dāng)m-α<0時(shí)，方程有正根，線性系統(tǒng)的零解不穩(wěn)定；當(dāng)m-α>0時(shí)，方程的根均具有負(fù)實(shí)部，線性系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定，而方程(10)無(wú)根，由文獻(xiàn)[11]中的定理3.3.1知，對(duì)所有的τ≥0，線性系統(tǒng)在E2(x*,S*,I*,R*) 處的零解是漸近穩(wěn)定的.因此系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定.

3 傳染病滅絕

證明：由前面的分析已知系統(tǒng)(1)不存在正平衡點(diǎn),因此只證邊界平衡點(diǎn)E1是全局漸近穩(wěn)定的.由系統(tǒng)(1)第二個(gè)方程知

由比較定理及推論知存在T，ε>0，當(dāng)t>T時(shí)，

下面，我們證明

記

(11)

(12)

由系統(tǒng)(1)第二個(gè)方程知，在tk處有

(13)

用類似的方法可證

故有

由系統(tǒng)第一個(gè)方程知存在T，當(dāng)t>T>τ時(shí)，

X(t)=X(T)e-γ(t-T)

=KS＾〗-e-γτ〗 limt→+∞>∫tTαe-γ(t-y)dy=α

故有

故E1是全局漸近穩(wěn)定的，也就是說(shuō)傳染病將最終滅絕.

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